Равнодиагональный четырехугольник

Равнодиагональный четырехугольник с равными диагоналями, ромбом Вариньона и перпендикулярными бимедианами.

В евклидовой геометрии равнодиагональный четырехугольник — это выпуклый четырехугольник , две диагонали которого имеют одинаковую длину. Равнодиагональные четырехугольники играли важную роль в древнеиндийской математике , где четырехугольники классифицировались сначала в зависимости от того, были ли они равнодиагональными, а затем на более специализированные типы.

Особые случаи

Примеры равнодиагональных четырехугольников включают равнобедренные трапеции , прямоугольники и квадраты .

Равнодиагональный воздушный змей с максимальным соотношением периметра к диаметру, вписанный в треугольник Рело.

Среди всех четырехугольников форма, имеющая наибольшее отношение периметра к диаметру , — это равнодиагональный змей с углами π/3, 5π/12, 5π/6 и 5π/12.

Характеристики

Выпуклый четырехугольник является равнодиагональным тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона , параллелограмм, образованный серединами его сторон, является ромбом . Эквивалентным условием является то, что бимедианы четырехугольника (диагонали параллелограмма Вариньона) перпендикулярны .

Выпуклый четырехугольник с длинами диагоналей $p$ и $q$ и бимедианные длины $m$ и $n$ равнодиагональна тогда и только тогда, когда

$pq=m^{2}+n^{2}.$

Область

Площадь равнодиагонального четырехугольника легко вычислить , K длины бимедиан m и n . если известны Четырехугольник является равнодиагональным тогда и только тогда, когда

$\displaystyle K=mn.$

Это прямое следствие того, что площадь выпуклого четырехугольника в два раза больше площади его параллелограмма Вариньона и что диагонали в этом параллелограмме являются бимедианами четырехугольника. Используя формулы для длин бимедиан , площадь также можно выразить через стороны a, b, c, d равнодиагонального четырехугольника и расстояние x между серединами диагоналей как

$K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}.$

Другие формулы площади можно получить, полагая p = q в формулах площади выпуклого четырехугольника .

Связь с другими типами четырехугольников

Параллелограмм является равнодиагональным тогда и только тогда , когда он является прямоугольником. а трапеция является равнодиагональной тогда и только тогда, когда она является равнобедренной трапецией . Вписанные равнодиагональные четырехугольники представляют собой в точности равнобедренные трапеции.

Существует двойственность между равнодиагональными четырехугольниками и ортодиагональными четырехугольниками : четырехугольник является равнодиагональным тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона ортодиагонален (ромб), а четырехугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона является равнодиагональным (прямоугольник). Эквивалентно, четырехугольник имеет равные диагонали тогда и только тогда, когда у него есть перпендикулярные бимедианы, а перпендикулярные диагонали у него есть тогда и только тогда, когда у него равные бимедианы. Сильвестр (2006) дает дальнейшие связи между равнодиагональными и ортодиагональными четырехугольниками посредством обобщения теоремы ван Обеля .

Четырехугольники, которые являются как ортодиагональными, так и равнодиагональными и в которых диагонали имеют длину не менее всех сторон четырехугольника, имеют максимальную площадь своего диаметра среди всех четырехугольников, что решает случай n = 4 задачи о самом большом маленьком многоугольнике . Квадрат — один из таких четырехугольников, но существует бесконечно много других. Равнодиагональные, ортодиагональные четырехугольники называются среднеквадратными четырехугольниками. потому что они единственные, для которых параллелограмм Вариньона (с вершинами в середине сторон четырехугольника) является квадратом. Такой четырехугольник с последовательными сторонами a, b, c, d имеет площадь

$K={\frac {1}{4}}\left(a^{2}+c^{2}+{\sqrt {4(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2})-(a^{2}+c^{2})^{2}}}\right).$

Среднеквадратный параллелограмм является в точности квадратом.

• 
  пример четырехугольника со средним квадратом
• 
  средняя квадратная трапеция
• 
  средний квадратный воздушный змей
• 
  «средний параллелограмм», квадрат