Круг антиподобия
В инверсной геометрии круг антиподобия (также известный как средний круг ) двух кругов α α и β является эталонным кругом, для которого и β являются обратными друг другу. Если α и β непересекающиеся или касаются друг друга, существует единственный круг антиподобия; если α и β пересекаются в двух точках, возникают два круга антиподобия. Когда α и β конгруэнтны через , круг антиподобия вырождается в линию симметрии, которую α и β являются отражением друг друга. [1] [2]
Характеристики
[ редактировать ]Если две окружности α и β пересекаются друг с другом, каждая из двух окружностей γ и δ касается как α, так и β , и, кроме того, γ и δ касаются друг друга, то точка касания между γ и δ обязательно лежит на один из двух кругов антиподобия. Если α и β не пересекаются и неконцентричны, то геометрическое место точек касания γ и δ снова образует две окружности, но только одна из них является (единственной) окружностью антиподобия. Если α и β касаются или концентричны, то геометрическое место точек касания вырождается в одну окружность, которая снова является окружностью антиподобия. [3]
Если две окружности α и β пересекаются друг с другом, то каждая из двух окружностей антиподобия проходит через обе точки пересечения и делит пополам углы, образованные дугами α и β при их пересечении.
Если окружность γ пересекает окружности α и β под равными углами, то γ пересекается ортогонально одной из окружностей антиподобия α и β ; если γ пересекает α и β в дополнительных углах , он ортогонально пересекается с другим кругом антиподобия, а если γ ортогонален как α, так и β , то он также ортогонален обоим кругам антиподобия. [2]
На три круга
[ редактировать ]Предположим, что для трех окружностей α , β и γ существует круг антиподобия для пары ( α , β ), который пересекает второй круг антиподобия для пары ( β , γ ). Тогда существует третий круг антиподобия для третьей пары ( α , γ ) такой, что три круга антиподобия пересекаются друг с другом в двух тройных точках пересечения. Всего таким способом можно создать не более восьми тройных точек пересечения, поскольку существует два способа выбора каждой из первых двух окружностей и двух точек пересечения двух выбранных окружностей. Эти восемь или меньше тройных точек пересечения являются центрами инверсий, которые превращают все три круга α , β и γ в равные круги. [1] Для трех окружностей, которые внешне касаются друг друга, (уникальные) окружности антиподобия для каждой пары снова пересекают друг друга под углом 120 ° в двух тройных точках пересечения, которые являются изодинамическими точками треугольника, образованного тремя точками касания.
См. также
[ редактировать ]- Инверсивная геометрия
- Предельная точка (геометрия) — центр инверсии, которая переводит две окружности в концентрическое положение.
- Радикальная ось
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Джонсон, Роджер А. (2007), Расширенная евклидова геометрия , Courier Dover Publications, стр. 96–97, ISBN 9780486462370 .
- ^ Jump up to: а б Макклелланд, Уильям Дж. (1891), Трактат о геометрии круга и некоторых расширениях конических сечений методом возвратно-поступательного движения: с многочисленными примерами , Macmillan, стр. 227–233 .
- ^ Касания: биссектрисы круговых углов , Свалка геометрии, Дэвид Эппштейн , 1999.