Теорема Грама – Эйлера

В геометрии действует теорема Грама –Эйлера , ^{[ 1 ]} Грама-Соммервиля, Брианшона-Грама или Грама Отношение ^{[ 2 ]} (названный в честь Йоргена Педерсена Грама , Леонарда Эйлера , Дункана Соммервилля и Шарля Жюльена Брианшона ) представляет собой обобщение формулы суммы внутренних углов многоугольников на многогранники более высокой размерности . Уравнение ограничивает суммы внутренних углов многогранника аналогично соотношению Эйлера о количестве d-мерных граней .

Заявление

Позволять $P$ быть $n$ -мерный выпуклый многогранник . Для каждой k - грани $F$ , с $k=\dim(F)$ его размерность (0 для вершин, 1 для ребер, 2 для граней и т. д., до n для самого P ), его внутренний (многомерный) телесный угол $\angle (F)$ определяется выбором достаточно малого $(n-1)$ - сфера с центром в некоторой точке внутри $F$ и нахождение площади поверхности, содержащейся внутри $P$ . Тогда теорема Грама-Эйлера гласит: ^{[ 3 ]}^{[ 1 ]} $\sum _{F\subset P}(-1)^{\dim F}\angle (F)=0$ В неевклидовой геометрии постоянной кривизны (т. е. сферической , $\epsilon =1$ , и гиперболический , $\epsilon =-1$ , геометрия) отношение приобретает объемный член, но только если размерность n четна: $\sum _{F\subset P}(-1)^{\dim F}\angle (F)=\epsilon ^{n/2}(1+(-1)^{n})\operatorname {Vol} (P)$ Здесь, $\operatorname {Vol} (P)$ — нормированный (гипер)объем многогранника (т. е. доля n -мерного сферического или гиперболического пространства); углы $\angle (F)$ также должны быть выражены в долях (( n -1)-сферы). ^{[ 2 ]}

Когда многогранник является симплициальным, действуют дополнительные ограничения на углы, известные как соотношения Перля , аналогичные уравнениям Дена-Соммервилля для количества граней. ^{[ 2 ]}

Примеры

Для двумерного многоугольника выражение расширяется до: $\sum _{v}\alpha _{v}-\sum _{e}\pi +2\pi =0$ где первый член $A=\textstyle \sum \alpha _{v}$ — сумма внутренних углов вершин, вторая сумма — по ребрам, каждое из которых имеет внутренний угол $\pi$ , а последний член соответствует всему многоугольнику, имеющему полный внутренний угол $2\pi$ . Для многоугольника с $n$ лица, теорема говорит нам, что $A-\pi n+2\pi =0$ или, что то же самое, $A=\pi (n-2)$ . Для многоугольника на сфере соотношение дает площадь сферической поверхности или телесный угол как сферический избыток : $\Omega =A-\pi (n-2)$ .

Для трехмерного многогранника теорема гласит: $\sum _{v}\Omega _{v}-2\sum _{e}\theta _{e}+\sum _{f}2\pi -4\pi =0$ где $\Omega _{v}$ телесный угол при вершине, $\theta _{e}$ двугранный угол при ребре (телесный угол соответствующего полушария в два раза больше), третья сумма подсчитывает грани (каждая с углом внутреннего полушария $2\pi$ ), а последний член — внутренний телесный угол (полная сфера или $4\pi$ ).

История

n-мерное соотношение было впервые доказано Зоммервиллем , Хекманом и Грюнбаумом для сферического, гиперболического и евклидова случаев соответственно. ^{[ 2 ]}

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Перлз, Массачусетс; Шепард, GC (1967). «Угловые суммы выпуклых многогранников» . Математика Скандинавия . 21 (2): 199–218. дои : 10.7146/math.scand.a-10860 . ISSN 0025-5521 . JSTOR 24489707 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Каменга, Кристин А. (2006). «Суммы углов на многогранниках и многогранных комплексах». Корнеллский университет . arXiv : math/0607469 .
^ Грюнбаум, Бранко (октябрь 2003 г.). Выпуклые многогранники . Спрингер. стр. 100-1 297–303. ISBN 978-0-387-40409-7 .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Перлз, Массачусетс; Шепард, GC (1967). «Угловые суммы выпуклых многогранников» . Математика Скандинавия . 21 (2): 199–218. дои : 10.7146/math.scand.a-10860 . ISSN 0025-5521 . JSTOR 24489707 .

[:1-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Каменга, Кристин А. (2006). «Суммы углов на многогранниках и многогранных комплексах». Корнеллский университет . arXiv : math/0607469 .

[3] Грюнбаум, Бранко (октябрь 2003 г.). Выпуклые многогранники . Спрингер. стр. 100-1 297–303. ISBN 978-0-387-40409-7 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]