идеал Эйзенштейна
 | Эта статья включает список литературы , связанную литературу или внешние ссылки , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( июнь 2020 г. ) |
В математике — идеал Эйзенштейна это идеал в кольце эндоморфизмов якобианского многообразия модулярной кривой , состоящий примерно из элементов алгебры Гекке операторов Гекке, аннулирующих ряд Эйзенштейна . Он был введен Барри Мазуром ( 1977 ) при изучении рациональных точек модулярных кривых. Простое число Эйзенштейна — это простое число, поддерживающее идеал Эйзенштейна (это не имеет ничего общего с простыми числами в целых числах Эйзенштейна).
Определение [ править ]
Пусть N — рациональное простое число и определим
- Дж 0 ( Н ) знак равно Дж
как якобианское многообразие модульной кривой
- Икс 0 ( N ) знак равно Икс .
существуют эндоморфизмы T l числа J. Для каждого простого числа l, не делящего N , Они происходят от оператора Гекке, рассматриваемого сначала как алгебраическое соответствие на X , а затем как действующее на классы дивизоров дает действие на J. , что Существует также инволюция Фрике w (и инволюции Аткина–Ленера, если N составное). Идеал Эйзенштейна в (единичном) подкольце End( J ), порожденном как кольцо T l , порождается как идеал элементами
- Т л - л - 1
для всех l, не делящих N , и на
- в +1.
Геометрическое определение [ править ]
Предположим, что T * — кольцо, порожденное операторами Гекке, действующими на всех модулярных формах для Γ 0 ( N ) (а не только на формах возврата). Кольцо T операторов Гекке на формах возврата является фактором T *, поэтому Spec( T ) можно рассматривать как подсхему Spec( T *). Аналогично Spec( T *) содержит линию (называемую линией Эйзенштейна), изоморфную Spec( Z ), возникающую в результате действия операторов Гекке на ряд Эйзенштейна. Идеал Эйзенштейна — это идеал, определяющий пересечение линии Эйзенштейна с Spec( T ) в Spec( T *).
Пример [ править ]
- Идеал Эйзенштейна также можно определить для модульных форм с большим весом. Предположим, что T — полная алгебра Гекке, порожденная операторами Гекке T n, действующими в 2-мерном пространстве модулярных форм уровня 1 и веса 12. Это пространство является 2-мерным и натянуто на собственные формы, заданные рядом Эйзенштейна E 12 и модульный дискриминант ∆. Отображение, переводящее оператор Гекке T n в его собственные значения (σ 11 ( n ),τ(n)) дает гомоморфизм из T в кольцо Z × Z (где τ — тау-функция Рамануджана , а σ 11 ( n ) — сумма 11-х степеней делителей n ). Образ представляет собой набор пар ( c , d ) с c и d , конгруэнтными по модулю 691 из-за сравнения Рамануджана σ 11 ( n ) ≡ τ(n) mod 691. Алгебра Гекке операторов Гекке, действующих на форму возврата ∆, представляет собой просто изоморфен Z. Если мы отождествим его с Z , то идеал Эйзенштейна будет (691).
Ссылки [ править ]
- Мазур, Барри (1977), «Модулярные кривые и идеал Эйзенштейна» , Publications Mathématiques de l'IHÉS (47): 33–186, ISSN 1618-1913 , MR 0488287
- Мазур, Барри ; Серр, Жан-Пьер (1976), «Рациональные точки модулярных кривых X 0 (N) (по А. Оггу)», Семинар Бурбаки (1974/1975), Exp. № 469 , Конспект лекций по математике, вып. 514, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 238–255, МР 0485882