Теория конечной деформации

В механике сплошной среды теория конечных деформаций , также называемая теорией больших деформаций или теорией больших деформаций, имеет дело с деформациями , при которых деформации и/или вращения достаточно велики, чтобы сделать недействительными предположения, присущие теории бесконечно малых деформаций . При этом недеформированная и деформированная конфигурации континуума существенно различаются, что требует четкого разграничения между ними. Обычно это происходит с эластомерами , пластически деформируемыми материалами и другими жидкостями и биологическими мягкими тканями .

Поле смещения

Этот раздел представляет собой отрывок из раздела «Поле смещения (механика) § Декомпозиция» . [ редактировать ]

Рис. 1. Движение сплошного тела.

Перемещение тела имеет две составляющие: перемещение твердого тела и деформацию.

• Перемещение твердого тела состоит из одновременного перемещения и вращения тела без изменения его формы и размера.
• Деформация подразумевает изменение формы и/или размеров тела от исходной или недеформированной конфигурации. $\kappa _{0}({\mathcal {B}})$ к текущей или деформированной конфигурации $\kappa _{t}({\mathcal {B}})$ (Рисунок 1).

Изменение конфигурации сплошного тела можно описать полем смещений . Поле смещений — это векторное поле всех векторов смещений для всех частиц тела, которое связывает деформированную конфигурацию с недеформированной конфигурацией. Расстояние между любыми двумя частицами изменяется тогда и только тогда, когда произошла деформация. Если перемещение происходит без деформации, то это перемещение твердого тела.

Тензор градиента деформации

Рис. 2. Деформация сплошного тела.

Тензор градиента деформации $\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}$ относится как к эталонной, так и к текущей конфигурации, как видно по единичным векторам $\mathbf {e} _{j}$ и $\mathbf {I} _{K}\,\!$, следовательно, это двухточечный тензор .Можно определить два типа тензора градиента деформации.

В силу предположения о непрерывности $\chi (\mathbf {X} ,t)\,\!$, $\mathbf {F}$ имеет обратное значение $\mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}\,\!$, где $\mathbf {H}$ – тензор градиента пространственной деформации . Тогда по теореме о неявной функции Якобиана ​ определитель $J(\mathbf {X} ,t)$ должно быть неособым , т.е. $J(\mathbf {X} ,t)=\det \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\neq 0$

Тензор градиента деформации материала $\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}$ - тензор второго порядка , который представляет градиент отображающей функции или функционального отношения $\chi (\mathbf {X} ,t)\,\!$, который описывает движение континуума . Тензор градиента деформации материала характеризует локальную деформацию в материальной точке с вектором положения $\mathbf {X} \,\!$, т. е. деформация в соседних точках путем преобразования ( линейного преобразования ) линейного элемента материала, исходящего из этой точки, из эталонной конфигурации в текущую или деформированную конфигурацию, предполагая непрерывность функции отображения. $\chi (\mathbf {X} ,t)\,\!$, т.е. дифференцируемая функция $\mathbf {X}$ и время $t\,\!$, что означает, что трещины и пустоты не открываются и не закрываются при деформации. Таким образом, мы имеем, $${\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\\&=\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \end{aligned}}$$

Вектор относительного смещения

Рассмотрим частицу или материальную точку. $P$ с вектором положения $\mathbf {X} =X_{I}\mathbf {I} _{I}$ в недеформированной конфигурации (рис. 2). После смещения тела новое положение частицы, обозначенное $p$ в новой конфигурации задается положением вектора $\mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}\,\!$. Системы координат недеформированной и деформированной конфигурации для удобства можно совместить.

Рассмотрим теперь материальный момент $Q$ соседний $P\,\!$, с вектором положения $\mathbf {X} +\Delta \mathbf {X} =(X_{I}+\Delta X_{I})\mathbf {I} _{I}\,\!$. В деформированной конфигурации эта частица занимает новое положение $q$ заданный вектором положения $\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} \,\!$. Предполагая, что отрезки прямых $\Delta X$ и $\Delta \mathbf {x}$ соединение частиц $P$ и $Q$ как в недеформированной, так и в деформированной конфигурации соответственно очень малы, то их можно выразить как $d\mathbf {X}$ и $d\mathbf {x} \,\!$. Таким образом, из рисунка 2 мы имеем $${\begin{aligned}\mathbf {x} +d\mathbf {x} &=\mathbf {X} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\d\mathbf {x} &=\mathbf {X} -\mathbf {x} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )-\mathbf {u} (\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\\end{aligned}}$$

где $\mathbf {du}$ — вектор относительного смещения , который представляет относительное смещение $Q$ относительно $P$ в деформированной конфигурации.

Аппроксимация Тейлора

Для бесконечно малого элемента $d\mathbf {X} \,\!$и предполагая непрерывность поля перемещений, можно использовать разложение в ряд Тейлора вокруг точки $P\,\!$, пренебрегая членами более высокого порядка, для аппроксимации компонентов вектора относительного смещения соседней частицы $Q$ как $${\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )&=\mathbf {u} (\mathbf {X} )+d\mathbf {u} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}=u_{i}+du_{i}\\&\approx \mathbf {u} (\mathbf {X} )+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}\approx u_{i}+{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{J}}}dX_{J}\,.\end{aligned}}$$Таким образом, предыдущее уравнение $d\mathbf {x} =d\mathbf {X} +d\mathbf {u}$ можно записать как $${\begin{aligned}d\mathbf {x} &=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\&=d\mathbf {X} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \\&=\left(\mathbf {I} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} d\mathbf {X} \end{aligned}}$$

Производная по времени градиента деформации

Расчеты, включающие деформацию тела, зависящую от времени, часто требуют расчета производной по времени градиента деформации. Геометрически последовательное определение такой производной требует экскурса в дифференциальную геометрию. но мы избегаем этих проблем в этой статье.

Производная по времени $\mathbf {F}$ является $${\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]$$где $\mathbf {V}$ - скорость (материала). Производная в правой части представляет собой градиент скорости материала . Обычно это преобразуют в пространственный градиент, применяя правило цепочки для производных, т.е. $${\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t),t)\right]=\left.{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right]\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {l}}\cdot \mathbf {F}$$где ${\boldsymbol {l}}=(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {v} )^{T}$ – градиент пространственной скорости и где $\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)$ - пространственная (эйлерова) скорость при $\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)$. Если градиент пространственной скорости постоянен во времени, приведенное выше уравнение можно точно решить, чтобы получить $$\mathbf {F} =e^{{\boldsymbol {l}}\,t}$$предполагая $\mathbf {F} =\mathbf {1}$ в $t=0$. Существует несколько методов вычисления экспоненты, указанной выше.

Связанными величинами, часто используемыми в механике сплошной среды, являются тензор скорости деформации и тензор спина , определяемые соответственно как: $${\boldsymbol {d}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}+{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,,~~{\boldsymbol {w}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,.$$Тензор скорости деформации дает скорость растяжения элементов линии, а тензор вращения указывает скорость вращения или завихренность движения.

Производная по времени материала, обратная градиенту деформации (с сохранением фиксированной исходной конфигурации), часто требуется в анализах, включающих конечные деформации. Эта производная $${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {F} ^{-1}\right)=-\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,.$$Вышеупомянутое соотношение можно проверить, взяв материальную производную по времени от $\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} =d\mathbf {X}$ и отмечая, что ${\dot {\mathbf {X} }}=0$.

Полярное разложение тензора градиента деформации

Рис. 3. Представление полярного разложения градиента деформации

Градиент деформации $\mathbf {F} \,\!$, как и любой обратимый тензор второго порядка, можно разложить, используя теорему полярного разложения , в произведение двух тензоров второго порядка (Трусделл и Нолл, 1965): ортогонального тензора и положительно определенного симметричного тензора, т. е. $$\mathbf {F} =\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {V} \mathbf {R}$$ где тензор $\mathbf {R}$ – собственный ортогональный тензор , т. е. $\mathbf {R} ^{-1}=\mathbf {R} ^{T}$ и $\det \mathbf {R} =+1\,\!$, представляющий вращение; тензор $\mathbf {U}$ – правый тензор растяжения ; и $\mathbf {V}$ левый тензор растяжения . Термины «правый» и «левый» означают, что они находятся справа и слева от тензора вращения. $\mathbf {R} \,\!$, соответственно. $\mathbf {U}$ и $\mathbf {V}$ оба положительно определены , т.е. $\mathbf {x} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} >0$ и $\mathbf {x} \cdot \mathbf {V} \cdot \mathbf {x} >0$ для всех ненулевых $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}$, и симметричные тензоры , т.е. $\mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T}$ и $\mathbf {V} =\mathbf {V} ^{T}\,\!$, второго порядка.

Из этого разложения следует, что деформация линейного элемента $d\mathbf {X}$ в недеформированной конфигурации на $d\mathbf {x}$ в деформированной конфигурации, т.е. $d\mathbf {x} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \,\!$, может быть получен либо путем предварительного растяжения элемента на $\mathbf {U} \,\!$, то есть $d\mathbf {x} '=\mathbf {U} \,d\mathbf {X} \,\!$, с последующим вращением $\mathbf {R} \,\!$, то есть, $d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {x} \,\!$; или, что то же самое, путем применения жесткого вращения $\mathbf {R}$ во-первых, т.е. $d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {X} \,\!$с последующей растяжкой $\mathbf {V} \,\!$, то есть, $d\mathbf {x} '=\mathbf {V} \,d\mathbf {x}$ (См. рисунок 3).

Ввиду ортогональности $\mathbf {R}$$$\mathbf {V} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {R} ^{T}$$так что $\mathbf {U}$ и $\mathbf {V}$ имеют одинаковые собственные значения или главные протяжения , но разные собственные векторы или главные направления. $\mathbf {N} _{i}$ и $\mathbf {n} _{i}\,\!$, соответственно. Основные направления связаны $$\mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} \mathbf {N} _{i}.$$

Это полярное разложение, уникальное, поскольку $\mathbf {F}$ обратима с положительным определителем, является следствием сингулярного разложения .

Трансформация элемента поверхности и объема

Для преобразования величин, определенных относительно площадей в деформированной конфигурации, в величины, относящиеся к площадям в эталонной конфигурации, и наоборот, мы используем соотношение Нансона , выражаемое как $$da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N}$$ где $da$ – площадь области в деформированной конфигурации, $dA$ — та же самая область в эталонной конфигурации, и $\mathbf {n}$ — внешняя нормаль к элементу площади в текущей конфигурации, а $\mathbf {N}$ — внешняя нормаль в эталонной конфигурации, $\mathbf {F}$ – градиент деформации , $J=\det \mathbf {F} \,\!$.

Соответствующая формула преобразования элемента объема имеет вид $$dv=J~dV$$

Вывод соотношения Нансона (см. также )

Чтобы увидеть, как выводится эта формула, начнем с элементов ориентированной области в эталонной и текущей конфигурациях: $$d\mathbf {A} =dA~\mathbf {N} ~;~~d\mathbf {a} =da~\mathbf {n}$$Референтный и текущий объемы элемента равны $$dV=d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} ~;~~dv=d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l}$$где $d\mathbf {l} =\mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} \,\!$.

Поэтому, $$d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L}$$или, $$d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L}$$так, $$d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} =J~d\mathbf {A} ^{T}$$Итак, мы получаем $$d\mathbf {a} =J~\mathbf {F} ^{-T}\cdot d\mathbf {A}$$или, $$da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N}$$КЭД

Фундаментальные тензоры деформаций

Тензор деформации определяется ИЮПАК как :

«Симметричный тензор, который получается, когда тензор градиента деформации разлагается на тензор вращения, за которым или которому предшествует симметричный тензор».

часто бывает удобно использовать независимые от вращения меры деформации Поскольку чистое вращение не должно вызывать никаких напряжений в деформируемом теле, в механике сплошной среды . Поскольку вращение, за которым следует обратное вращение, не приводит к изменению ( $\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}=\mathbf {R} ^{T}\mathbf {R} =\mathbf {I} \,\!$) мы можем исключить вращение, умножив тензор градиента деформации $\mathbf {F}$ путем его транспонирования .

В механике используются несколько независимых от вращения тензоров градиента деформации (или для краткости «тензоров деформации»). В механике твердого тела наиболее популярными из них являются правый и левый тензоры деформации Коши–Грина.

Тензор деформации Коши (правый тензор деформации Коши – Грина)

В 1839 году Джордж Грин представил тензор деформации, известный как правый тензор деформации Коши – Грина или тензор деформации Грина ( IUPAC рекомендует называть этот тензор тензором деформации Коши ), определяется как:

$$\mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} =\mathbf {U} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ}={\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{I}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{J}}}.$$

Физически тензор Коши–Грина дает нам квадрат локального изменения расстояний из-за деформации, т.е. $d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X}$

Инварианты $\mathbf {C}$ часто используются в выражениях для функций плотности энергии деформации . Наиболее часто используемые инварианты : $${\begin{aligned}I_{1}^{C}&:={\text{tr}}(\mathbf {C} )=C_{II}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}^{C}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {C} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {C} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left[(C_{JJ})^{2}-C_{IK}C_{KI}\right]=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}^{C}&:=\det(\mathbf {C} )=J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}.\end{aligned}}$$где $J:=\det \mathbf {F}$ – определитель градиента деформации $\mathbf {F}$ и $\lambda _{i}$ представляют собой коэффициенты растяжения для единичных волокон, которые изначально ориентированы вдоль направлений собственных векторов правого (опорного) тензора растяжения (они обычно не совпадают с тремя осями систем координат).

Тензор деформации пальца

ИЮПАК ​ рекомендует что обратный правому тензору деформации Коши – Грина (называемому в этом документе тензором деформации Коши), т. е. $\mathbf {C} ^{-1}$, будем называть тензором деформации Фингера . Однако эта номенклатура не является общепринятой в прикладной механике.

$$\mathbf {f} =\mathbf {C} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {F} ^{-T}\qquad {\text{or}}\qquad f_{IJ}={\frac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}$$

Тензор деформации Грина (левый тензор деформации Коши – Грина)

Изменение порядка умножения в формуле для правого тензора деформации Грина – Коши приводит к левому тензору деформации Коши – Грина, который определяется как: $$\mathbf {B} =\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}=\mathbf {V} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad B_{ij}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}$$

Левый тензор деформации Коши – Грина часто называют тензором деформации Фингера , названным в честь Йозефа Фингера (1894).

ИЮПАК Грина рекомендует называть этот тензор тензором деформации .

Инварианты $\mathbf {B}$ используются также в выражениях для функций плотности энергии деформации . Обычные инварианты определяются как $${\begin{aligned}I_{1}&:={\text{tr}}(\mathbf {B} )=B_{ii}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {B} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {B} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left(B_{ii}^{2}-B_{jk}B_{kj}\right)=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}&:=\det \mathbf {B} =J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}\end{aligned}}$$где $J:=\det \mathbf {F}$ является определителем градиента деформации.

Для сжимаемых материалов используется несколько иной набор инвариантов: $$({\bar {I}}_{1}:=J^{-2/3}I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}:=J^{-4/3}I_{2}~;~~J\neq 1)~.$$

Тензор деформации Пиолы (тензор деформации Коши)

Ранее в 1828 г. Огюстен-Луи Коши ввел тензор деформации, определяемый как обратный левому тензору деформации Коши – Грина: $\mathbf {B} ^{-1}\,\!$. также назвал этот тензор тензором деформации Пиолы. ИЮПАК и тензор пальца в литературе по реологии и гидродинамике.

$$\mathbf {c} =\mathbf {B} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad c_{ij}={\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{j}}}$$

Спектральное представление

Если существуют три различных основных участка $\lambda _{i}\,\!$, разложения спектральные $\mathbf {C}$ и $\mathbf {B}$ дается

$$\mathbf {C} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}$$

Более того,

$$\mathbf {U} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {V} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}$$$$\mathbf {R} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}$$

Обратите внимание, что $$\mathbf {V} =\mathbf {R} ~\mathbf {U} ~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~\mathbf {R} ~(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})\otimes (\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})$$Поэтому из единственности спектрального разложения также следует, что $\mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i}\,\!$. Левый участок ( $\mathbf {V} \,\!$) также называется тензором пространственного растяжения, а правое растяжение ( $\mathbf {U} \,\!$) называется тензором растяжения материала .

Эффект $\mathbf {F}$ действуя на $\mathbf {N} _{i}$ это растянуть вектор на $\lambda _{i}$ и повернуть его в новую ориентацию $\mathbf {n} _{i}\,\!$, то есть, $$\mathbf {F} ~\mathbf {N} _{i}=\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}~\mathbf {n} _{i}$$В том же духе, $$\mathbf {F} ^{-T}~\mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {n} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{T}~\mathbf {n} _{i}=\lambda _{i}~\mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{-1}~\mathbf {n} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}~.$$

Примеры

Одноосное растяжение несжимаемого материала

Это тот случай, когда образец растягивают в одном направлении со растяжения степенью $\mathbf {\alpha =\alpha _{1}} \,\!$. Если объем остается постоянным, сокращение в двух других направлениях таково, что $\mathbf {\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}=1}$ или $\mathbf {\alpha _{2}=\alpha _{3}=\alpha ^{-0.5}} \,\!$. Затем: $$\mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\alpha &0&0\\0&\alpha ^{-0.5}&0\\0&0&\alpha ^{-0.5}\end{bmatrix}}$$ $$\mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\alpha ^{2}&0&0\\0&\alpha ^{-1}&0\\0&0&\alpha ^{-1}\end{bmatrix}}$$

Простой сдвиг

$$\mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$ $$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$ $$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\\gamma &1+\gamma ^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$

Жесткое вращение тела

$$\mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$ $$\mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {1}$$

Производные от растяжения

Производные растяжения относительно правого тензора деформации Коши – Грина используются для вывода соотношений напряжения и деформации многих твердых тел, особенно гиперупругих материалов . Эти производные $${\cfrac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {C} }}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {R} ^{T}~(\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})~\mathbf {R} ~;~~i=1,2,3$$и следует из наблюдений, что $$\mathbf {C} :(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}^{2}~;~~~~{\cfrac {\partial \mathbf {C} }{\partial \mathbf {C} }}={\mathsf {I}}^{(s)}~;~~~~{\mathsf {I}}^{(s)}:(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}.$$

Физическая интерпретация тензоров деформации

Позволять $\mathbf {X} =X^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}$ — декартова система координат, определенная на недеформированном теле, и пусть $\mathbf {x} =x^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}$ быть другой системой, заданной на деформированном теле. Пусть кривая $\mathbf {X} (s)$ в недеформированном теле параметризовать с помощью $s\in [0,1]$. Его изображение в деформированном теле $\mathbf {x} (\mathbf {X} (s))$.

Недеформированная длина кривой определяется выражением $$l_{X}=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {I}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds$$После деформации длина становится $${\begin{aligned}l_{x}&=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)\cdot \left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)}}~ds\\&=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot \left[\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right]\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds\end{aligned}}$$Заметим, что правый тензор деформации Коши–Грина определяется как $${\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}=\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}$$Следовательно, $$l_{x}=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {C}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds$$что указывает на то, что изменения длины характеризуются ${\boldsymbol {C}}$.

Тензоры конечных деформаций

Понятие деформации используется для оценки того, насколько данное смещение локально отличается от смещения твердого тела. Одной из таких деформаций для больших деформаций является лагранжев тензор конечной деформации , также называемый тензором деформации Грина-Лагранжа или тензором деформации Грина-Сент-Венана , определяемый как

$$\mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)$$

или как функция тензора градиента смещения $$\mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]$$или $$E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial u_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{L}}}\right)$$

Тензор деформации Грина-Лагранжа является мерой того, насколько $\mathbf {C}$ отличается от $\mathbf {I} \,\!$.

Эйлеров тензор конечной деформации или тензор конечной деформации Эйлера-Альманси , относящийся к деформированной конфигурации (т. е. эйлерову описанию), определяется как

$$\mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {B} ^{-1})\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)$$

или как функция градиентов смещения имеем $$e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)$$

Вывод лагранжевых и эйлеровых тензоров конечной деформации.

Мерой деформации является разность квадратов элемента дифференциальной линии. $d\mathbf {X} \,\!$, в недеформированной конфигурации, и $d\mathbf {x} \,\!$, в деформированной конфигурации (рис. 2). Деформация произошла, если разница не равна нулю, в противном случае произошло твердотельное смещение. Таким образом, мы имеем,

$$d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad (dx)^{2}-(dX)^{2}=dx_{j}dx_{j}-dX_{M}\,dX_{M}$$

В лагранжевом описании, использующем материальные координаты в качестве системы отсчета, линейное преобразование между дифференциальными линиями равно

$$d\mathbf {x} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{M}}}\,dX_{M}$$

Тогда у нас есть,

$${\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} \\&=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dx)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}\\&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=C_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\\\end{aligned}}$$

где $C_{KL}$ – компоненты правого тензора деформации Коши–Грина , $\mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \,\!$. Затем, заменив это уравнение на первое уравнение, получим:

$${\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot (\mathbf {C} -\mathbf {I} )\cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \\\end{aligned}}$$или $${\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}-dX_{M}\,dX_{M}\\&=\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\end{aligned}}$$где $E_{KL}\,\!$, являются компонентами тензора второго порядка, называемого тензором деформаций Грина – Сен-Венана или лагранжевым тензором конечной деформации , $$\mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)$$

В эйлеровом описании, использующем пространственные координаты в качестве системы отсчета, линейное преобразование между дифференциальными линиями равно $$d\mathbf {X} ={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial \mathbf {x} }}d\mathbf {x} =\mathbf {F} ^{-1}\,d\mathbf {x} =\mathbf {H} \,d\mathbf {x} \qquad {\text{or}}\qquad dX_{M}={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}$$где ${\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}$ – компоненты тензора градиента пространственной деформации , $\mathbf {H} \,\!$. Таким образом, мы имеем

$${\begin{aligned}d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dX)^{2}&=dX_{M}\,dX_{M}\\&={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=c_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\\\end{aligned}}$$где тензор второго порядка $c_{rs}$ называется тензором деформации Коши , $\mathbf {c} =\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\,\!$. Тогда у нас есть,

$${\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot (\mathbf {I} -\mathbf {c} )\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot 2\mathbf {e} \cdot d\mathbf {x} \\\end{aligned}}$$или $${\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=2e_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\end{aligned}}$$

где $e_{rs}\,\!$, являются компонентами тензора второго порядка, называемого тензором конечной деформации Эйлера-Альманси , $$\mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)$$

Как лагранжев, так и эйлеров тензоры конечной деформации удобно выражать через тензор градиента смещения . Для тензора деформации Лагранжа сначала дифференцируем вектор смещения $\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)$ относительно материальных координат $X_{M}$ чтобы получить тензор градиента смещения материала , $\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u}$

$${\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \\\mathbf {F} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \\\end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\\delta _{iJ}U_{J}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\x_{i}&=\delta _{iJ}\left(U_{J}+X_{J}\right)\\{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}&=\delta _{iJ}\left({\frac {\partial U_{J}}{\partial X_{K}}}+\delta _{JK}\right)\\&={\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}+\delta _{iK}\end{aligned}}$$

Подставив это уравнение в выражение для лагранжева тензора конечной деформации, получим $${\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} -\mathbf {I} \right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\left\{(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\mathbf {I} \right\}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \right)-\mathbf {I} \right]\\&={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]\\\end{aligned}}$$или $${\begin{aligned}E_{KL}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{jM}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\delta _{jN}\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{MN}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}+\delta _{ML}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\end{aligned}}$$

Аналогично, тензор конечной деформации Эйлера-Альманси можно выразить как

$$e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)$$

Семейство обобщенных тензоров деформации Сета – Хилла

Б. Р. Сет из Индийского технологического института Харагпура был первым, кто показал, что тензоры деформации Грина и Альманси являются частными случаями более общей меры деформации . Идея была развита Родни Хиллом в 1968 году. Семейство мер деформации Сета – Хилла (также называемое тензорами Дойла-Эриксена) может быть выражено как

$$\mathbf {E} _{(m)}={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2m}}\left[\mathbf {C} ^{m}-\mathbf {I} \right]$$

Для разных значений $m$ у нас есть:

• Тензор деформации Грина-Лагранжа $$\mathbf {E} _{(1)}={\frac {1}{2}}(\mathbf {U} ^{2}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )$$
• Тензор деформации Био $$\mathbf {E} _{(1/2)}=(\mathbf {U} -\mathbf {I} )=\mathbf {C} ^{1/2}-\mathbf {I}$$
• Логарифмическая деформация, естественная деформация, истинная деформация или деформация Хенки. $$\mathbf {E} _{(0)}=\ln \mathbf {U} ={\frac {1}{2}}\,\ln \mathbf {C}$$
• Штамм Альманси $$\mathbf {E} _{(-1)}={\frac {1}{2}}\left[\mathbf {I} -\mathbf {U} ^{-2}\right]$$

Второе приближение этих тензоров есть $$\mathbf {E} _{(m)}={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\tfrac {1}{2}}(\nabla \mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla \mathbf {u} -(1-m){\boldsymbol {\varepsilon }}^{T}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}$$где ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ – тензор бесконечно малых деформаций.

Многие другие определения тензоров $\mathbf {E}$ допустимы при условии, что все они удовлетворяют условиям, которые:

• $\mathbf {E}$ исчезает при всех движениях твердого тела
• зависимость $\mathbf {E}$ о тензоре градиента смещения $\nabla \mathbf {u}$ непрерывен, непрерывно дифференцируем и монотонен
• также желательно, чтобы $\mathbf {E}$ сводится к тензору бесконечно малых деформаций ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ как норма $|\nabla \mathbf {u} |\to 0$

Примером может служить набор тензоров $$\mathbf {E} ^{(n)}=\left({\mathbf {U} }^{n}-{\mathbf {U} }^{-n}\right)/2n$$которые не принадлежат классу Сета–Хилла, но имеют ту же аппроксимацию 2-го порядка, что и меры Сета–Хилла при $m=0$ за любую стоимость $n$.

Физическая интерпретация тензора конечных деформаций

Диагональные компоненты $E_{KL}$ лагранжева тензора конечной деформации связаны с нормальной деформацией, например

$$E_{11}=e_{(\mathbf {I} _{1})}+{\frac {1}{2}}e_{(\mathbf {I} _{1})}^{2}$$

где $e_{(\mathbf {I} _{1})}$ — нормальная деформация или инженерная деформация в направлении $\mathbf {I} _{1}\,\!$.

Недиагональные компоненты $E_{KL}$ лагранжева тензора конечной деформации связаны с деформацией сдвига, например

$$E_{12}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}$$

где $\phi _{12}$ это изменение угла между двумя элементами линии, которые изначально были перпендикулярны направлениям $\mathbf {I} _{1}$ и $\mathbf {I} _{2}\,\!$, соответственно.

При определенных обстоятельствах, т. е. малых смещениях и малых скоростях смещения, компоненты лагранжева тензора конечной деформации могут быть аппроксимированы компонентами тензора бесконечно малых деформаций.

Вывод физической интерпретации лагранжевых и эйлеровых тензоров конечной деформации.

Коэффициент растяжения дифференциального элемента $d\mathbf {X} =dX\mathbf {N}$ (рисунок) в направлении единичного вектора $\mathbf {N}$ в материальной точке $P\,\!$в недеформированной конфигурации определяется как

$$\Lambda _{(\mathbf {N} )}={\frac {dx}{dX}}$$

где $dx$ - величина деформации дифференциального элемента $d\mathbf {X} \,\!$.

Аналогично, степень растяжения дифференциального элемента $d\mathbf {x} =dx\mathbf {n}$ (рис.), в направлении единичного вектора $\mathbf {n}$ в материальной точке $p\,\!$в деформированной конфигурации определяется как $${\frac {1}{\Lambda _{(\mathbf {n} )}}}={\frac {dX}{dx}}$$

Квадрат коэффициента растяжения определяется как $$\Lambda _{(\mathbf {N} )}^{2}=\left({\frac {dx}{dX}}\right)^{2}$$

Зная это $$(dx)^{2}=C_{KL}dX_{K}dX_{L}$$у нас есть $$\Lambda _{(\mathbf {N} )}^{2}=C_{KL}N_{K}N_{L}$$где $N_{K}$ и $N_{L}$ являются единичными векторами.

Нормальное напряжение или инженерное напряжение $e_{\mathbf {N} }$ в любом направлении $\mathbf {N}$ может быть выражено как функция коэффициента растяжения,

$$e_{(\mathbf {N} )}={\frac {dx-dX}{dX}}=\Lambda _{(\mathbf {N} )}-1$$

Таким образом, нормальная деформация в направлении $\mathbf {I} _{1}$ в материальной точке $P$ может быть выражено через коэффициент растяжения как

$${\begin{aligned}e_{(\mathbf {I} _{1})}={\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}&=\Lambda _{(\mathbf {I} _{1})}-1\\&={\sqrt {C_{11}}}-1={\sqrt {\delta _{11}+2E_{11}}}-1\\&={\sqrt {1+2E_{11}}}-1\end{aligned}}$$

решение для $E_{11}$ у нас есть

$${\begin{aligned}2E_{11}&={\frac {(dx_{1})^{2}-(dX_{1})^{2}}{(dX_{1})^{2}}}\\E_{11}&=\left({\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}\right)^{2}\\&=e_{(\mathbf {I} _{1})}+{\frac {1}{2}}e_{(\mathbf {I} _{1})}^{2}\end{aligned}}$$

Деформация сдвига или изменение угла между двумя линейными элементами. $d\mathbf {X} _{1}$ и $d\mathbf {X} _{2}$ первоначально перпендикулярно и ориентировано в главных направлениях $\mathbf {I} _{1}$ и $\mathbf {I} _{2}\,\!$соответственно, также может быть выражено как функция степени растяжения. Из скалярного произведения между деформированными линиями $d\mathbf {x} _{1}$ и $d\mathbf {x} _{2}$ у нас есть

$${\begin{aligned}d\mathbf {x} _{1}\cdot d\mathbf {x} _{2}&=dx_{1}dx_{2}\cos \theta _{12}\\\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}&={\sqrt {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}}}\cdot {\sqrt {d\mathbf {X} _{2}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}}\cos \theta _{12}\\{\frac {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}{dX_{1}dX_{2}}}&={\frac {{\sqrt {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}}}\cdot {\sqrt {d\mathbf {X} _{2}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}}}{dX_{1}dX_{2}}}\cos \theta _{12}\\\mathbf {I} _{1}\cdot \mathbf {C} \cdot \mathbf {I} _{2}&=\Lambda _{\mathbf {I} _{1}}\Lambda _{\mathbf {I} _{2}}\cos \theta _{12}\end{aligned}}$$

где $\theta _{12}$ это угол между линиями $d\mathbf {x} _{1}$ и $d\mathbf {x} _{2}$ в деформированной конфигурации. Определение $\phi _{12}$ как деформация сдвига или уменьшение угла между двумя линейными элементами, которые изначально были перпендикулярны, мы имеем

$$\phi _{12}={\frac {\pi }{2}}-\theta _{12}$$таким образом, $$\cos \theta _{12}=\sin \phi _{12}$$затем $$\mathbf {I} _{1}\cdot \mathbf {C} \cdot \mathbf {I} _{2}=\Lambda _{\mathbf {I} _{1}}\Lambda _{\mathbf {I} _{2}}\sin \phi _{12}$$

или

$${\begin{aligned}C_{12}&={\sqrt {C_{11}}}{\sqrt {C_{22}}}\sin \phi _{12}\\2E_{12}+\delta _{12}&={\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}\\E_{12}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}\end{aligned}}$$

Условия совместимости

Основная статья: Совместимость (механика)

Проблема совместимости в механике сплошной среды предполагает определение допустимых однозначных непрерывных полей на телах. Эти допустимые условия оставляют тело без нефизических зазоров и перекрытий после деформации. Большинство таких условий применимо к односвязным телам. Дополнительные условия необходимы для внутренних границ многосвязных тел.

Совместимость градиента деформации

Необходимые и достаточные условия существования совместимого ${\boldsymbol {F}}$ поле над односвязным телом $${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}$$

Совместимость правого тензора деформации Коши–Грина.

Необходимые и достаточные условия существования совместимого ${\boldsymbol {C}}$ поле над односвязным телом $$R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0$$Мы можем показать, что это смешанные компоненты тензора кривизны Римана – Кристоффеля . Поэтому необходимые условия для ${\boldsymbol {C}}$-совместимости заключаются в том, что кривизна деформации Римана–Кристофеля равна нулю.

Совместимость левого тензора деформации Коши – Грина

Общие достаточные условия для левого тензора деформации Коши – Грина в трехмерном пространстве были получены Амитом Ачарьей. Условия совместимости двумерных ${\boldsymbol {B}}$ поля были найдены Джанет Блюм.

См. также

• Бесконечно малая деформация
• Совместимость (механика)
• Криволинейные координаты
• Тензор напряжений Пиолы–Кирхгофа , тензор напряжений для конечных деформаций.
• Стрессовые меры
• Деформационное разделение

Дальнейшее чтение

• Дилл, Эллис Гарольд (2006). Механика сплошных сред: упругость, пластичность, вязкоупругость . Германия: CRC Press. ISBN  0-8493-9779-0 .
• Дмитриенко, Юрий (2011). Нелинейная механика сплошной среды и большие неупругие деформации . Германия: Шпрингер. ISBN  978-94-007-0033-8 .
• Хаттер, Колумбан; Клаус Йонк (2004). Непрерывные методы физического моделирования . Германия: Шпрингер. ISBN  3-540-20619-1 .
• Лубарда, Владо А. (2001). Теория упругопластичности . ЦРК Пресс. ISBN  0-8493-1138-1 .
• Макоско, CW (1994). Реология: принципы, измерения и приложения . Издательство ВЧ. ISBN  1-56081-579-5 .
• Мейс, Джордж Э. (1970). Механика сплошной среды . МакГроу-Хилл Профессионал. ISBN  0-07-040663-4 .
• Мейс, Дж. Томас; Джордж Э. Мейс (1999). Механика сплошных сред для инженеров (второе изд.). ЦРК Пресс. ISBN  0-8493-1855-6 .
• Немат-Насер, Сиа (2006). Пластичность: трактат о конечной деформации неоднородных неупругих материалов . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-83979-3 .
• Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность – введение в инженерные и производственные приложения . Баттерворт-Хайнеманн. ISBN  0-7506-8025-3 .

Внешние ссылки

• Заметки профессора Амита Ачарьи о совместимости на iMechanica