Тензоры напряжений Пиолы – Кирхгофа

В случае конечных деформаций тензоры напряжений Пиолы-Кирхгофа (названные в честь Габрио Пиолы и Густава Кирхгофа ) выражают напряжение относительно эталонной конфигурации. Это контрастирует с тензором напряжений Коши , который выражает напряжение относительно существующей конфигурации. Для бесконечно малых деформаций и вращений тензоры Коши и Пиолы – Кирхгофа идентичны. Тогда как тензор напряжений Коши ${\boldsymbol {\sigma }}$ связывает напряжения в текущей конфигурации, градиент деформации и тензоры деформаций описываются путем привязки движения к эталонной конфигурации; таким образом, не все тензоры, описывающие состояние материала, находятся ни в эталонной, ни в текущей конфигурации. Описание напряжений, деформаций и деформаций либо в эталонной, либо в текущей конфигурации облегчит определение конститутивных моделей (например, тензор напряжений Коши является вариантом чистого вращения, в то время как тензор деформационных деформаций является инвариантным, что создает проблемы при определении конститутивная модель, которая связывает изменяющийся тензор с точки зрения инвариантного во время чистого вращения; поскольку по определению конститутивные модели должны быть инвариантны к чистым вращениям); 1-й тензор напряжений Пиолы–Кирхгофа, ${\boldsymbol {P}}$ является одним из возможных решений этой проблемы. Он определяет семейство тензоров, которые описывают конфигурацию тела либо в текущем, либо в эталонном состоянии.

Первый тензор напряжений Пиолы– Кирхгофа ${\boldsymbol {P}}$, связывает силы в текущей («пространственной») конфигурации с областями в базовой («материальной») конфигурации.

${\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}~{\boldsymbol {F}}^{-T}~$

где ${\boldsymbol {F}}$ – градиент деформации и $J=\det {\boldsymbol {F}}$ – Якобиана определитель . В терминах компонентов относительно ортонормированного базиса первое напряжение Пиолы – Кирхгофа определяется выражением

$P_{iL}=J~\sigma _{ik}~F_{Lk}^{-1}=J~\sigma _{ik}~{\cfrac {\partial X_{L}}{\partial x_{k}}}~\,\!$

Поскольку оно связывает разные системы координат, первое напряжение Пиолы – Кирхгофа представляет собой двухточечный тензор . В общем, оно не симметрично. Первое напряжение Пиолы-Кирхгофа представляет собой трехмерное обобщение одномерной концепции инженерного напряжения . Если материал вращается без изменения напряженного состояния (жесткое вращение), компоненты первого тензора напряжений Пиолы – Кирхгофа будут меняться в зависимости от ориентации материала. Первое напряжение Пиолы-Кирхгофа энергетически сопряжено с градиентом деформации. Он связывает силы в текущей конфигурации с областями в эталонной конфигурации.

Второй тензор напряжений Пиолы–Кирхгофа , ${\boldsymbol {S}}$, связывает силы в эталонной конфигурации с областями в эталонной конфигурации. Сила в эталонной конфигурации получается посредством отображения, которое сохраняет относительную взаимосвязь между направлением силы и нормалью к области в эталонной конфигурации.

${\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~.$

В индексных обозначениях относительно ортонормированного базиса:

$S_{IL}=J~F_{Ik}^{-1}~F_{Lm}^{-1}~\sigma _{km}=J~{\cfrac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}~{\cfrac {\partial X_{L}}{\partial x_{m}}}~\sigma _{km}\!\,\!$

Этот тензор, одноточечный, симметричен. Если материал вращается без изменения напряженного состояния (жесткое вращение), компоненты второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа остаются постоянными независимо от ориентации материала. Второй тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа является энергетически сопряженным тензору конечных деформаций Грина-Лагранжа .

Ссылки

• Дж. Боне и Р. Вуд, Нелинейная механика сплошной среды для анализа методом конечных элементов , Издательство Кембриджского университета.