Штамм (механика)

Сдвиговая деформация
Сдвиговая деформация
Общие символы	γ или ε
И объединились	1 или радиан
Выводы из ; другие количества	с = ⁠ τ / G ⁠

Напряжение
Напряжение
Другие имена	Тензор деформации
И объединились	1
Другие подразделения	%
В базовых единицах СИ	м/м
Поведение под ; преобразование координат	тензор
Измерение

В механике . деформация определяется как относительная деформация по сравнению с исходного положения конфигурацией Для выражения поля деформаций можно сделать различный эквивалентный выбор в зависимости от того, определяется ли оно относительно начальной или конечной конфигурации тела и от того, ли метрический тензор рассматривается или его двойник.

Деформация имеет размерность отношения длин . с базовой единицей СИ метр на метр (м/м) Следовательно, деформации безразмерны и обычно выражаются десятичной дробью или процентом . обозначение частей на миллион Также используется , например, частей на миллион или частей на миллиард (иногда называемых «микродеформациями» и «нанодеформациями» соответственно), что соответствует мкм /м и нм /м.

можно сформулировать как пространственную производную смещения Деформацию : ${\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}'-{\boldsymbol {I}},$ где $I$ — тождественный тензор .Перемещение тела можно выразить в виде $x = F (X)$ , где $X$ — исходное положение материальных точек тела; перемещение имеет единицы длины и не различает движения твердого тела (переносы и вращения) и деформации (изменения формы и размеров) тела.Пространственная производная равномерного перемещения равна нулю, таким образом, деформации измеряют, насколько данное смещение локально отличается от движения твердого тела. ^[1]

Деформация, вообще говоря, является тензорной величиной. Физическое представление о деформациях можно получить, наблюдая, что данную деформацию можно разложить на нормальную и сдвиговую компоненты. Величина растяжения или сжатия вдоль линейных элементов или волокон материала представляет собой нормальную деформацию , а величина искажения, связанная со скольжением плоских слоев друг по другу, представляет собой деформацию сдвига внутри деформирующегося тела. ^[2] Это может быть применено путем удлинения, укорочения, изменения объема или углового искажения. ^[3]

Деформированное состояние в материальной точке сплошного тела определяется как совокупность всех изменений длины материальных линий или волокон, нормальная деформация , проходящая через эту точку, а также совокупность всех изменений угла между пары линий, первоначально перпендикулярных друг другу, — деформация сдвига , исходящая из этой точки. Однако достаточно знать нормальную и сдвиговую составляющие деформации на множестве трех взаимно перпендикулярных направлений.

Если длина материальной линии увеличивается, нормальная деформация называется деформацией растяжения ; в противном случае, если длина материальной линии уменьшается или сжимается, это называется деформацией сжатия .

Деформационные режимы

В зависимости от величины деформации или локальной деформации анализ деформации подразделяется на три теории деформации:

Теория конечных деформаций , также называемая теорией больших деформаций , теорией больших деформаций , имеет дело с деформациями, в которых как вращение, так и деформации сколь угодно велики. При этом недеформированная и деформированная конфигурации континуума существенно различаются и между ними необходимо проводить четкое различие. Обычно это происходит с эластомерами , пластически деформирующими материалами и другими жидкостями и биологическими мягкими тканями .
Теория бесконечно малых деформаций , также называемая теорией малых деформаций , теорией малых деформаций , теорией малых смещений или теорией малых градиентов смещений , где деформации и вращения малы. В этом случае недеформированную и деформированную конфигурации тела можно считать одинаковыми. Теория бесконечно малых деформаций используется при анализе деформаций материалов, проявляющих упругое поведение, таких как материалы, используемые в машиностроении и гражданском строительстве, например, бетон и сталь.
Теория большого смещения или большого вращения , которая предполагает небольшие деформации, но большие вращения и смещения.

Меры по деформации

В каждой из этих теорий деформация определяется по-разному. Инженерная деформация — наиболее распространенное определение, применяемое к материалам, используемым в машиностроении и строительстве, которые подвергаются очень небольшим деформациям. С другой стороны, для некоторых материалов, например, эластомеров и полимеров, подвергающихся большим деформациям, инженерное определение деформации неприменимо, например, типичная инженерная деформация превышает 1%; ^[4] таким образом, требуются другие, более сложные определения деформации, такие как растяжение , логарифмическая деформация , деформация Грина и деформация Альманси .

Инженерное напряжение

Инженерная деформация , также известная как деформация Коши , выражается как отношение общей деформации к начальному размеру материального тела, к которому приложены силы. В случае элемента материальной линии или волокна, нагруженного в осевом направлении, его удлинение вызывает инженерную нормальную деформацию или инженерную деформацию растяжения $e$ , которая равна относительному удлинению или изменению длины $Δ L$ на единицу исходной длины $L$ линии. элемент или волокна (в метрах на метр). Нормальная деформация положительна, если волокна материала растянуты, и отрицательна, если они сжаты. Таким образом, мы имеем $e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}$ ,где $e$ — инженерная нормальная деформация , $L$ — исходная длина волокна, а $l$ — конечная длина волокна.

Истинная деформация сдвига определяется как изменение угла (в радианах) между двумя элементами линии материала, изначально перпендикулярными друг другу в недеформированной или исходной конфигурации. Инженерная деформация сдвига определяется как тангенс этого угла и равна максимальной длине деформации, деленной на длину перпендикуляра в плоскости приложения силы, что иногда облегчает расчет.

Коэффициент растяжения

Коэффициент растяжения или коэффициент растяжения (символ λ) является альтернативной мерой, связанной с растяжением или нормальной деформацией элемента дифференциальной линии с осевой нагрузкой. Она определяется как отношение конечной длины $l$ к начальной длине $L$ материальной линии. $\lambda ={\frac {l}{L}}$

Коэффициент растяжения λ связан с инженерной деформацией e соотношением $e=\lambda -1$ Из этого уравнения следует, что когда нормальная деформация равна нулю и деформации нет, коэффициент растяжения равен единице.

Коэффициент растяжения используется при анализе материалов, которые демонстрируют большие деформации, таких как эластомеры , которые могут выдерживать коэффициент растяжения 3 или 4, прежде чем они выйдут из строя. С другой стороны, традиционные конструкционные материалы, такие как бетон или сталь, выходят из строя при гораздо более низких коэффициентах растяжения.

Логарифмическая деформация

Логарифмическая деформация $ε$ , также называемая истинной деформацией или деформацией Хенки . ^[5] Учитывая возрастающую деформацию (Людвик) $\delta \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}$ логарифмическая деформация получается путем интегрирования этой дополнительной деформации: ${\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \end{aligned}}$ где $e$ — инженерная деформация. Логарифмическая деформация обеспечивает правильную меру конечной деформации, когда деформация происходит в несколько приращений, принимая во внимание влияние траектории деформации. ^[2]

Зеленый штамм

Штамм Грина определяется как: $\varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)$

Штамм Альманси

Штамм Эйлера-Альманси определяется как $\varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)$

Тензор деформации

Тензор (бесконечно малых) деформаций (символ ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ ) определяется в Международной системе величин (ISQ), более конкретно в ISO 80000-4 (Механика), как «тензорная величина, представляющая деформацию материи, вызванную напряжением. Тензор деформации симметричен и имеет три линейных деформации и три сдвига. деформационные (декартовы) компоненты». ^[6]ISO 80000-4 далее определяет линейную деформацию как «коэффициент изменения длины объекта и его длины», а деформацию сдвига как «коэффициент параллельного смещения двух поверхностей слоя и толщины слоя». ^[6]Таким образом, деформации классифицируются как нормальные или сдвиговые . Нормальная деформация перпендикулярна грани элемента, а сдвиговая деформация параллельна ей. Эти определения согласуются с определениями нормального напряжения и напряжения сдвига .

Тогда тензор деформации можно выразить через нормальные и сдвиговые компоненты следующим образом: ${\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yx}&\varepsilon _{yy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}$

Геометрическая настройка

Рассмотрим двумерный бесконечно малый прямоугольный материальный элемент с размерами $dx \times dy$ , который после деформации принимает форму ромба . Деформация описывается полем перемещений $u$ . Из геометрии соседней фигуры имеем $\mathrm {length} (AB)=dx$ и ${\begin{aligned}\mathrm {length} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\end{aligned}}$ Для очень малых градиентов смещения квадраты производной $u_{y}$ и $u_{x}$ пренебрежимо малы, и мы имеем $\mathrm {length} (ab)\approx dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)=dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx$

Нормальная нагрузка

Для изотропного материала, подчиняющегося закону Гука , нормальное напряжение вызывает нормальную деформацию. Нормальные штаммы вызывают расширения .

Нормальная деформация в $направлении x$ прямоугольного элемента определяется выражением $\varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}}={\frac {\mathrm {length} (ab)-\mathrm {length} (AB)}{\mathrm {length} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}$ Аналогично, нормальная деформация в $направлениях y$ и $z$ становится $\varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}$

Сдвиговая деформация

Инженерная деформация сдвига ( $γ xy$ ) определяется как изменение угла между линиями AC и AB . Поэтому, $\gamma _{xy}=\alpha +\beta$

Из геометрии фигуры имеем ${\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}$ Для малых градиентов смещения имеем ${\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1$ Для малых вращений, т. е. $α$ и $β$ ≪ 1, мы имеем $tan α \approx α$ , $tan β \approx β$ . Поэтому, $\alpha \approx {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \approx {\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}$ таким образом $\gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}$ Поменяв местами $x$ и $y$ , $u x$ и $u y$ , можно показать, что $γ xy = γ yx$ .

Аналогично для $плоскостей yz$ и $xz$ имеем $\gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}$

Объемная нагрузка

Объемная деформация, также называемая объемной деформацией, представляет собой относительное изменение объема, возникающее в результате расширения или сжатия ; это первый инвариант деформации или след тензора: $\delta ={\frac {\Delta V}{V_{0}}}=I_{1}=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}$ Действительно, если рассматривать куб с длиной ребра a , то после деформации (изменение углов не меняет объема) это квазикуб с размерами $a\cdot (1+\varepsilon _{11})\times a\cdot (1+\varepsilon _{22})\times a\cdot (1+\varepsilon _{33})$ и V ₀ = а ³, таким образом ${\frac {\Delta V}{V_{0}}}={\frac {\left(1+\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}\right)\cdot a^{3}-a^{3}}{a^{3}}}$ поскольку мы рассматриваем малые деформации, $1\gg \varepsilon _{ii}\gg \varepsilon _{ii}\cdot \varepsilon _{jj}\gg \varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}$ поэтому формула.

В случае чистого сдвига мы видим, что изменения объема нет.

Метрический тензор

Поле деформации, связанное со смещением, определяется в любой точке изменением длины касательных векторов , представляющих скорости произвольно параметризованных кривых, проходящих через эту точку. Основной геометрический результат Фреше , фон Неймана и Джордана гласит, что если длины касательных векторов удовлетворяют аксиомам нормы и закону параллелограмма , то длина вектора равна квадратному корню из значения квадратичная форма , связанная формулой поляризации с положительно определенным билинейным отображением , называемым метрическим тензором .

См. также

Ссылки

^ Люблинер, Джейкоб (2008). Теория пластичности (PDF) (пересмотренная ред.). Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-46290-5 . Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2010 г.
^ Jump up to: ^а ^б Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность: введение в инженерные и производственные приложения . Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-8025-3 . Архивировано из оригинала 22 декабря 2017 г.
^ «Земля». Британская энциклопедия из Британской энциклопедии, DVD Ultimate Reference Suite 2006. [2009].
^ Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность: введение в инженерные и производственные приложения . Баттерворт-Хайнеманн. п. 41. ИСБН 0-7506-8025-3 . Архивировано из оригинала 22 декабря 2017 г.
^ Хенки, Х. (1928). «О форме закона упругости в идеально упругих материалах». Журнал инженерной физики . 9 :215-220.
^ Jump up to: ^а ^б «ИСО 80000-4:2019» . ИСО . 20 августа 2013 г. Проверено 28 августа 2023 г.

[1] Люблинер, Джейкоб (2008). Теория пластичности (PDF) (пересмотренная ред.). Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-46290-5 . Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2010 г.

[rees-2] Jump up to: ^а ^б Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность: введение в инженерные и производственные приложения . Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-8025-3 . Архивировано из оригинала 22 декабря 2017 г.

[3] «Земля». Британская энциклопедия из Британской энциклопедии, DVD Ultimate Reference Suite 2006. [2009].

[4] Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность: введение в инженерные и производственные приложения . Баттерворт-Хайнеманн. п. 41. ИСБН 0-7506-8025-3 . Архивировано из оригинала 22 декабря 2017 г.

[5] Хенки, Х. (1928). «О форме закона упругости в идеально упругих материалах». Журнал инженерной физики . 9 :215-220.

[iso-6] Jump up to: ^а ^б «ИСО 80000-4:2019» . ИСО . 20 августа 2013 г. Проверено 28 августа 2023 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Сдвиговая деформация
Общие символы	$γ$ или $ε$
И объединились	1 или радиан
Выводы из другие количества	$с = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ τ / G ⁠$