Поле смещения (механика)

Другие варианты использования см. в разделе Поле смещения .

В механике поле смещения — это задание векторов смещения для всех точек области или тела, которые перемещаются из одного состояния в другое. Вектор смещения определяет положение точки или частицы относительно начала координат или предыдущей позиции. Например, поле смещений можно использовать для описания эффектов деформации твердого тела.

Формулировка

Прежде чем рассматривать перемещение, необходимо определить состояние до деформации. Это состояние, в котором координаты всех точек известны и описываются функцией: $${\vec {R}}_{0}:\Omega \to P$$где

• ${\vec {R}}_{0}$ вектор размещения
• $\Omega$ это все точки тела
• $P$ все точки пространства, в которых находится тело

Чаще всего это состояние тела, при котором никакие силы не прикладываются.

Тогда дано любое другое состояние этого тела, в котором координаты всех его точек описываются как ${\vec {R}}_{1}$ поле смещения — это разница между двумя состояниями тела: $${\vec {u}}={\vec {R}}_{1}-{\vec {R}}_{0}$$где ${\vec {u}}$ — поле смещения, которое для каждой точки тела задает вектор смещения .

Разложение

Рис. 1. Движение сплошного тела.

Перемещение тела имеет две составляющие: перемещение твердого тела и деформацию.

• Перемещение твердого тела состоит из одновременного перемещения и вращения тела без изменения его формы и размера.
• Деформация подразумевает изменение формы и/или размеров тела от исходной или недеформированной конфигурации. $\kappa _{0}({\mathcal {B}})$ к текущей или деформированной конфигурации $\kappa _{t}({\mathcal {B}})$ (Рисунок 1).

Изменение конфигурации сплошного тела можно описать полем смещений . Поле смещений — это векторное поле всех векторов смещений для всех частиц тела, которое связывает деформированную конфигурацию с недеформированной конфигурацией. Расстояние между любыми двумя частицами изменяется тогда и только тогда, когда произошла деформация. Если перемещение происходит без деформации, то это перемещение твердого тела.

Тензор градиента смещения

См. Также: Лагранжева и эйлерова спецификация поля потока.

два типа тензора градиента смещения Можно определить , следуя спецификациям Лагранжа и Эйлера.Смещение частиц, индексированных переменной i, можно выразить следующим образом. Вектор, соединяющий положения частицы в недеформированной конфигурации $P_{i}$ и деформированная конфигурация $p_{i}$ называется вектором смещения , $p_{i}-P_{i}$, обозначенный $u_{i}$ или $U_{i}$ ниже.

Материальные координаты (лагранжево описание)

С использованием $\mathbf {X}$ вместо $P_{i}$ и $\mathbf {x}$ вместо $p_{i}\,\!$, оба из которых являются векторами от начала системы координат до каждой соответствующей точки, мы имеем лагранжево описание вектора смещения: $$\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}$$где $\mathbf {e} _{i}$ — ортонормированные единичные векторы , определяющие основу пространственной ( лабораторной ) системы координат.

Выражается через материальные координаты, т.е. $\mathbf {u}$ как функция $\mathbf {X}$, поле перемещений: $$\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}$$где $\mathbf {b} (t)$ — вектор смещения, представляющий перемещение твердого тела.

Частная производная вектора смещения по координатам материала дает тензор градиента смещения материала. $\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \,\!$. Таким образом, мы имеем, $$\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} =\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {R} =\mathbf {F} -\mathbf {R} \qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\alpha _{iK}=F_{iK}-\alpha _{iK}$$где $\mathbf {F}$ – тензор градиента деформации материала , $\mathbf {R}$ это вращение.

Пространственные координаты (эйлерово описание)

В эйлеровом описании вектор, исходящий из частицы $P$ в недеформированной конфигурации к его положению в деформированной конфигурации называется вектором смещения : $$\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}$$где $\mathbf {E} _{i}$ являются единичными векторами, которые определяют основу системы координат материала (корпуса-корпуса).

Выражается через пространственные координаты, т.е. $\mathbf {U}$ как функция $\mathbf {x}$, поле перемещений: $$\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}$$

Пространственная производная , т. е. частная производная вектора смещения по пространственным координатам, дает тензор градиента пространственного смещения $\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} \,\!$. Таким образом, мы имеем, $$\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} =\mathbf {R} ^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} =\mathbf {R} ^{T}-\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-F_{Jk}^{-1}\,,$$где $\mathbf {F} ^{-1}=\mathbf {H}$ – тензор градиента пространственной деформации .

Связь между материальной и пространственной системами координат

$\alpha _{Ji}$ - это направляющие косинусы между материальной и пространственной системами координат с единичными векторами $\mathbf {E} _{J}$ и $\mathbf {e} _{i}\,\!$, соответственно. Таким образом $$\mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}$$

Отношения между $u_{i}$ и $U_{J}$ затем дается $$u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}$$

Зная это $$\mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}$$затем $$\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)$$

Объединение систем координат деформированной и недеформированной конфигураций

Обычно системы координат для деформированной и недеформированной конфигураций накладываются друг на друга, что приводит к $\mathbf {b} =0\,\!$, а направляющие косинусы становятся дельтами Кронекера , т. е. $$\mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}$$

Таким образом, в материальных (недеформированных) координатах смещение может быть выражено как: $$\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}$$

А в пространственных (деформированных) координатах перемещение может быть выражено как: $$\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}$$

См. также

• Стресс
• Напряжение