Уравнения Фёппля –фон Кармана , названные в честь Августа Фёппля. [ 1 ] Теодор фон Карман , [ 2 ] уравнений в частных производных, описывающих большие прогибы тонких плоских пластин. [ 3 ] корпусов подводных лодок до изучения механических свойств клеточных стенок. [ 4 ] [ 5 ]
(
1
)
E
h
3
12
(
1
−
ν
2
)
∇
4
w
−
h
∂
∂
x
β
(
σ
α
β
∂
w
∂
x
α
)
=
P
(
2
)
∂
σ
α
β
∂
x
β
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}(1)\qquad &{\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\nabla ^{4}w-h{\frac {\partial }{\partial x_{\beta }}}\left(\sigma _{\alpha \beta }{\frac {\partial w}{\partial x_{\alpha }}}\right)=P\\(2)\qquad &{\frac {\partial \sigma _{\alpha \beta }}{\partial x_{\beta }}}=0\end{aligned}}}
где E модуль Юнга материала пластины (предполагается однородным и изотропным), υ коэффициент Пуассона , h w P σαβ , тензор напряжений Коши , а α , β индексы принимающие значения 1 и 2 (два ортогональных направления в плоскости). Двумерный бигармонический оператор определяется как [ 6 ]
∇
4
w
:=
∂
2
∂
x
α
∂
x
α
[
∂
2
w
∂
x
β
∂
x
β
]
=
∂
4
w
∂
x
1
4
+
∂
4
w
∂
x
2
4
+
2
∂
4
w
∂
x
1
2
∂
x
2
2
.
{\displaystyle \nabla ^{4}w:={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\alpha }}}\left[{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{\beta }\partial x_{\beta }}}\right]={\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}\,.}
Уравнение (1), приведенное выше, можно вывести из кинематических предположений и определяющих соотношений для пластины. Уравнения (2) представляют собой два уравнения сохранения линейного импульса в двух измерениях, в которых предполагается, что напряжения вне плоскости ( σ 33 , σ 13 , σ 23
Хотя уравнения Фёппля-фон Кармана представляют интерес с чисто математической точки зрения, физическая обоснованность этих уравнений сомнительна. [ 7 ] [ 8 ] Двумерные уравнения фон Кармана для пластин, первоначально предложенные фон Карманом [1910], играют мифическую роль в прикладной математике. Хотя они были обильно и удовлетворительно изучены с математической точки зрения, особенно в отношении различных вопросов существования, регулярности и раздвоения их решений, их физическая обоснованность часто подвергалась серьезному сомнению. К причинам относятся факты,
теория зависит от приближенной геометрии, которая четко не определена
заданное изменение напряжения по поперечному сечению предполагается произвольно
используется линейное определяющее соотношение, которое не соответствует известному соотношению между четко определенными показателями напряжения и деформации.
некоторые компоненты деформации произвольно игнорируются
существует путаница между эталонной и деформированной конфигурациями, что делает теорию неприменимой к большим деформациям, для которых она, по-видимому, была разработана. Условия, при которых эти уравнения действительно применимы и при решении дадут разумные результаты, обсуждаются в Ciarlet. [ 8 ] [ 9 ]
Три уравнения Фёппля – фон Кармана можно свести к двум, введя функцию напряжения Эйри.
φ
{\displaystyle \varphi }
σ
11
=
∂
2
φ
∂
x
2
2
,
σ
22
=
∂
2
φ
∂
x
1
2
,
σ
12
=
−
∂
2
φ
∂
x
1
∂
x
2
.
{\displaystyle \sigma _{11}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}^{2}}}~,~~\sigma _{22}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}^{2}}}~,~~\sigma _{12}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\,.}
Уравнение (1) принимает вид [ 5 ]
E
h
3
12
(
1
−
ν
2
)
Δ
2
w
−
h
(
∂
2
φ
∂
x
2
2
∂
2
w
∂
x
1
2
+
∂
2
φ
∂
x
1
2
∂
2
w
∂
x
2
2
−
2
∂
2
φ
∂
x
1
∂
x
2
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
=
P
{\displaystyle {\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\Delta ^{2}w-h\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}-2{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}\right)=P}
а функция Эйри по построению удовлетворяет уравнению баланса сил (2). Уравнение для
φ
{\displaystyle \varphi }
[ 5 ]
Δ
2
φ
+
E
{
∂
2
w
∂
x
1
2
∂
2
w
∂
x
2
2
−
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
2
}
=
0
.
{\displaystyle \Delta ^{2}\varphi +E\left\{{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}-\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}\right)^{2}\right\}=0\,.}
Для чистого изгиба тонких пластин уравнение равновесия имеет вид
D
Δ
2
w
=
P
{\displaystyle D\Delta ^{2}\ w=P}
D
:=
E
h
3
12
(
1
−
ν
2
)
{\displaystyle D:={\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}}
называется изгибной или цилиндрической жесткостью пластины. [ 5 ]
[ редактировать ] При выводе уравнений Фёппля–фон Кармана основное кинематическое предположение (также известное как гипотеза Кирхгофа ) состоит в том, что нормали поверхности к плоскости пластины остаются перпендикулярными пластине после деформации. Предполагается также, что перемещения в плоскости (мембраны) малы и изменение толщины пластины незначительно. Из этих предположений следует, что поле смещений u [ 10 ]
u
1
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
v
1
(
x
1
,
x
2
)
−
x
3
∂
w
∂
x
1
,
u
2
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
v
2
(
x
1
,
x
2
)
−
x
3
∂
w
∂
x
2
,
u
3
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
w
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle u_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=v_{1}(x_{1},x_{2})-x_{3}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}~,~~u_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=v_{2}(x_{1},x_{2})-x_{3}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}~,~~u_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=w(x_{1},x_{2})}
где v
[ редактировать ] Компоненты трехмерного тензора деформации Лагранжа Грина определяются как
E
i
j
:=
1
2
[
∂
u
i
∂
x
j
+
∂
u
j
∂
x
i
+
∂
u
k
∂
x
i
∂
u
k
∂
x
j
]
.
{\displaystyle E_{ij}:={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right]\,.}
Подстановка выражений для поля перемещений в приведенные выше дает
E
11
=
∂
u
1
∂
x
1
+
1
2
[
(
∂
u
1
∂
x
1
)
2
+
(
∂
u
2
∂
x
1
)
2
+
(
∂
u
3
∂
x
1
)
2
]
=
∂
v
1
∂
x
1
−
x
3
∂
2
w
∂
x
1
2
+
1
2
[
x
3
2
(
∂
2
w
∂
x
1
2
)
2
+
x
3
2
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
2
+
(
∂
w
∂
x
1
)
2
]
E
22
=
∂
u
2
∂
x
2
+
1
2
[
(
∂
u
1
∂
x
2
)
2
+
(
∂
u
2
∂
x
2
)
2
+
(
∂
u
3
∂
x
2
)
2
]
=
∂
v
2
∂
x
2
−
x
3
∂
2
w
∂
x
2
2
+
1
2
[
x
3
2
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
2
+
x
3
2
(
∂
2
w
∂
x
2
2
)
2
+
(
∂
w
∂
x
2
)
2
]
E
33
=
∂
u
3
∂
x
3
+
1
2
[
(
∂
u
1
∂
x
3
)
2
+
(
∂
u
2
∂
x
3
)
2
+
(
∂
u
3
∂
x
3
)
2
]
=
1
2
[
(
∂
w
∂
x
1
)
2
+
(
∂
w
∂
x
2
)
2
]
E
12
=
1
2
[
∂
u
1
∂
x
2
+
∂
u
2
∂
x
1
+
∂
u
1
∂
x
1
∂
u
1
∂
x
2
+
∂
u
2
∂
x
1
∂
u
2
∂
x
2
+
∂
u
3
∂
x
1
∂
u
3
∂
x
2
]
=
1
2
∂
v
1
∂
x
2
+
1
2
∂
v
2
∂
x
1
−
x
3
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
+
1
2
[
x
3
2
(
∂
2
w
∂
x
1
2
)
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
+
x
3
2
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
(
∂
2
w
∂
x
2
2
)
+
∂
w
∂
x
1
∂
w
∂
x
2
]
E
23
=
1
2
[
∂
u
2
∂
x
3
+
∂
u
3
∂
x
2
+
∂
u
1
∂
x
2
∂
u
1
∂
x
3
+
∂
u
2
∂
x
2
∂
u
2
∂
x
3
+
∂
u
3
∂
x
2
∂
u
3
∂
x
3
]
=
1
2
[
x
3
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
(
∂
w
∂
x
1
)
+
x
3
(
∂
2
w
∂
x
2
2
)
(
∂
w
∂
x
2
)
]
E
31
=
1
2
[
∂
u
3
∂
x
1
+
∂
u
1
∂
x
3
+
∂
u
1
∂
x
3
∂
u
1
∂
x
1
+
∂
u
2
∂
x
3
∂
u
2
∂
x
1
+
∂
u
3
∂
x
3
∂
u
3
∂
x
1
]
=
1
2
[
x
3
(
∂
w
∂
x
1
)
(
∂
2
w
∂
x
1
2
)
+
x
3
(
∂
w
∂
x
2
)
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}E_{11}&={\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)^{2}+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\right]\\E_{22}&={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\E_{33}&={\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\E_{12}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)+{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right]\\E_{23}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[x_{3}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)+x_{3}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)\right]\\E_{31}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[x_{3}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)+x_{3}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\right]\end{aligned}}}
Для небольших деформаций, но умеренных вращений членами более высокого порядка, которыми нельзя пренебрегать, являются:
(
∂
w
∂
x
1
)
2
,
(
∂
w
∂
x
2
)
2
,
∂
w
∂
x
1
∂
w
∂
x
2
.
{\displaystyle \left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}~,~~\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}~,~~{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\,.}
Пренебрегая всеми остальными членами более высокого порядка и соблюдая требование, чтобы пластина не меняла свою толщину, компоненты тензора деформаций сводятся к деформациям фон Кармана.
E
11
=
∂
v
1
∂
x
1
+
1
2
(
∂
w
∂
x
1
)
2
−
x
3
∂
2
w
∂
x
1
2
E
22
=
∂
v
2
∂
x
2
+
1
2
(
∂
w
∂
x
2
)
2
−
x
3
∂
2
w
∂
x
2
2
E
12
=
1
2
(
∂
v
1
∂
x
2
+
∂
v
2
∂
x
1
)
+
1
2
∂
w
∂
x
1
∂
w
∂
x
2
−
x
3
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
E
33
=
0
,
E
23
=
0
,
E
13
=
0
.
{\displaystyle {\begin{aligned}E_{11}&={\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\\E_{22}&={\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\\E_{12}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}\right)+{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\\E_{33}&=0~,~~E_{23}=0~,~~E_{13}=0\,.\end{aligned}}}
Первые члены представляют собой обычные малые деформации для средней поверхности. Вторые члены, включающие квадраты градиентов смещения, нелинейны и их необходимо учитывать, когда изгиб пластины достаточно велик (когда повороты составляют около 10–15 градусов). Эти первые два термина вместе называются мембранными деформациями . Последние члены, включающие вторые производные, представляют собой деформации изгиба (изгиб) . Они связаны с кривизной. Эти нулевые члены обусловлены предположениями классической теории пластин, которые предполагают, что элементы, нормальные к средней плоскости, остаются нерастяжимыми, а линейные элементы, перпендикулярные средней плоскости, остаются нормальными к средней плоскости после деформации.
Если предположить, что компоненты тензора напряжений Коши линейно связаны с деформациями фон Кармана законом Гука , то пластина изотропна и однородна и что пластина находится в состоянии плоского напряжения : [ 11 ] σ 33 σ 13 σ 23
[
σ
11
σ
22
σ
12
]
=
E
(
1
−
ν
2
)
[
1
ν
0
ν
1
0
0
0
1
−
ν
]
[
E
11
E
22
E
12
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{11}\\E_{22}\\E_{12}\end{bmatrix}}}
Расширяя термины, можно сказать, что три ненулевых напряжения:
σ
11
=
E
(
1
−
ν
2
)
[
(
∂
v
1
∂
x
1
+
1
2
(
∂
w
∂
x
1
)
2
−
x
3
∂
2
w
∂
x
1
2
)
+
ν
(
∂
v
2
∂
x
2
+
1
2
(
∂
w
∂
x
2
)
2
−
x
3
∂
2
w
∂
x
2
2
)
]
σ
22
=
E
(
1
−
ν
2
)
[
ν
(
∂
v
1
∂
x
1
+
1
2
(
∂
w
∂
x
1
)
2
−
x
3
∂
2
w
∂
x
1
2
)
+
(
∂
v
2
∂
x
2
+
1
2
(
∂
w
∂
x
2
)
2
−
x
3
∂
2
w
∂
x
2
2
)
]
σ
12
=
E
(
1
+
ν
)
[
1
2
(
∂
v
1
∂
x
2
+
∂
v
2
∂
x
1
)
+
1
2
∂
w
∂
x
1
∂
w
∂
x
2
−
x
3
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}&={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}\left[\left({\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)+\nu \left({\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\right]\\\sigma _{22}&={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}\left[\nu \left({\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)+\left({\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\right]\\\sigma _{12}&={\cfrac {E}{(1+\nu )}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}\right)+{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right]\,.\end{aligned}}}
в Результирующие напряжения пластине определяются как
N
α
β
:=
∫
−
h
/
2
h
/
2
σ
α
β
d
x
3
,
M
α
β
:=
∫
−
h
/
2
h
/
2
x
3
σ
α
β
d
x
3
.
{\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h/2}^{h/2}\sigma _{\alpha \beta }\,dx_{3}~,~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h/2}^{h/2}x_{3}\,\sigma _{\alpha \beta }\,dx_{3}\,.}
Поэтому,
N
11
=
E
h
2
(
1
−
ν
2
)
[
2
∂
v
1
∂
x
1
+
(
∂
w
∂
x
1
)
2
+
2
ν
∂
v
2
∂
x
2
+
ν
(
∂
w
∂
x
2
)
2
]
N
22
=
E
h
2
(
1
−
ν
2
)
[
2
ν
∂
v
1
∂
x
1
+
ν
(
∂
w
∂
x
1
)
2
+
2
∂
v
2
∂
x
2
+
(
∂
w
∂
x
2
)
2
]
N
12
=
E
h
2
(
1
+
ν
)
[
∂
v
1
∂
x
2
+
∂
v
2
∂
x
1
+
∂
w
∂
x
1
∂
w
∂
x
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}N_{11}&={\cfrac {Eh}{2(1-\nu ^{2})}}\left[2{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+2\nu {\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+\nu \left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\N_{22}&={\cfrac {Eh}{2(1-\nu ^{2})}}\left[2\nu {\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+\nu \left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+2{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\N_{12}&={\cfrac {Eh}{2(1+\nu )}}\left[{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right]\end{aligned}}}
устранение плоскостных смещений приводит к
1
E
h
[
2
(
1
+
ν
)
∂
2
N
12
∂
x
1
∂
x
2
−
∂
2
N
22
∂
x
1
2
+
ν
∂
2
N
11
∂
x
1
2
−
∂
2
N
11
∂
x
2
2
+
ν
∂
2
N
22
∂
x
2
2
]
=
[
∂
2
w
∂
x
1
2
∂
2
w
∂
x
2
2
−
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{Eh}}\left[2(1+\nu ){\frac {\partial ^{2}N_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}-{\frac {\partial ^{2}N_{22}}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}N_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}N_{11}}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}N_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}\right]=\left[{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}-\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\end{aligned}}}
и
M
11
=
−
E
h
3
12
(
1
−
ν
2
)
[
∂
2
w
∂
x
1
2
+
ν
∂
2
w
∂
x
2
2
]
M
22
=
−
E
h
3
12
(
1
−
ν
2
)
[
ν
∂
2
w
∂
x
1
2
+
∂
2
w
∂
x
2
2
]
M
12
=
−
E
h
3
12
(
1
+
ν
)
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{11}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right]\\M_{22}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\left[\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right]\\M_{12}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1+\nu )}}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\,.\end{aligned}}}
Решения легче найти, когда основные уравнения выражаются через результирующие напряжения, а не через напряжения в плоскости.
Слабая форма пластины Кирхгофа:
∫
Ω
∫
−
h
/
2
h
/
2
ρ
u
¨
i
δ
u
i
d
Ω
d
x
3
+
∫
Ω
∫
−
h
/
2
h
/
2
σ
i
j
δ
E
i
j
d
Ω
d
x
3
+
∫
Ω
∫
−
h
/
2
h
/
2
p
i
δ
u
i
d
Ω
d
x
3
=
0
{\displaystyle \int _{\Omega }\int _{-h/2}^{h/2}\rho {\ddot {u}}_{i}\delta u_{i}\,d\Omega dx_{3}+\int _{\Omega }\int _{-h/2}^{h/2}\sigma _{ij}\delta E_{ij}\,d\Omega dx_{3}+\int _{\Omega }\int _{-h/2}^{h/2}p_{i}\delta u_{i}\,d\Omega dx_{3}=0}
здесь Ω обозначает среднюю плоскость. Слабая форма приводит к
∫
Ω
ρ
h
v
¨
1
δ
v
1
d
Ω
+
∫
Ω
N
11
∂
δ
v
1
∂
x
1
+
N
12
∂
δ
v
1
∂
x
2
d
Ω
=
−
∫
Ω
p
1
δ
v
1
d
Ω
∫
Ω
ρ
h
v
¨
2
δ
v
2
d
Ω
+
∫
Ω
N
22
∂
δ
v
2
∂
x
2
+
N
12
∂
δ
v
2
∂
x
1
d
Ω
=
−
∫
Ω
p
2
δ
v
2
d
Ω
∫
Ω
ρ
h
w
¨
δ
w
d
Ω
+
∫
Ω
N
11
∂
w
∂
x
1
∂
δ
w
∂
x
1
−
M
11
∂
2
δ
w
∂
2
x
1
d
Ω
+
∫
Ω
N
22
∂
w
∂
x
2
∂
δ
w
∂
x
2
−
M
22
∂
2
δ
w
∂
2
x
2
d
Ω
+
∫
Ω
N
12
(
∂
δ
w
∂
x
1
∂
δ
w
∂
x
2
+
∂
w
∂
x
1
∂
δ
w
∂
x
2
)
−
2
M
12
∂
2
δ
w
∂
x
1
∂
x
2
d
Ω
=
−
∫
Ω
p
3
δ
w
d
Ω
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }\rho h{\ddot {v}}_{1}\delta v_{1}\,d\Omega &+\int _{\Omega }N_{11}{\frac {\partial \delta v_{1}}{\partial x_{1}}}+N_{12}{\frac {\partial \delta v_{1}}{\partial x_{2}}}\,d\Omega =-\int _{\Omega }p_{1}\delta v_{1}\,d\Omega \\\int _{\Omega }\rho h{\ddot {v}}_{2}\delta v_{2}\,d\Omega &+\int _{\Omega }N_{22}{\frac {\partial \delta v_{2}}{\partial x_{2}}}+N_{12}{\frac {\partial \delta v_{2}}{\partial x_{1}}}\,d\Omega =-\int _{\Omega }p_{2}\delta v_{2}\,d\Omega \\\int _{\Omega }\rho h{\ddot {w}}\delta w\,d\Omega &+\int _{\Omega }N_{11}{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial \delta w}{\partial x_{1}}}-M_{11}{\frac {\partial ^{2}\delta w}{\partial ^{2}x_{1}}}\,d\Omega \\&+\int _{\Omega }N_{22}{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}{\frac {\partial \delta w}{\partial x_{2}}}-M_{22}{\frac {\partial ^{2}\delta w}{\partial ^{2}x_{2}}}\,d\Omega \\&+\int _{\Omega }N_{12}\left({\frac {\partial \delta w}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial \delta w}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial \delta w}{\partial x_{2}}}\right)-2M_{12}{\frac {\partial ^{2}\delta w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\,d\Omega =-\int _{\Omega }p_{3}\delta w\,d\Omega \\\end{aligned}}}
Полученные основные уравнения:
ρ
h
w
¨
−
∂
2
M
11
∂
x
1
2
−
∂
2
M
22
∂
x
2
2
−
2
∂
2
M
12
∂
x
1
∂
x
2
−
∂
∂
x
1
(
N
11
∂
w
∂
x
1
+
N
12
∂
w
∂
x
2
)
−
∂
∂
x
2
(
N
12
∂
w
∂
x
1
+
N
22
∂
w
∂
x
2
)
=
−
p
3
ρ
h
v
¨
1
−
∂
N
11
∂
x
1
−
∂
N
12
∂
x
2
=
−
p
1
ρ
h
v
¨
2
−
∂
N
21
∂
x
1
−
∂
N
22
∂
x
2
=
−
p
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\rho h{\ddot {w}}-{\frac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}-2{\frac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(N_{11}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}+N_{12}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(N_{12}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}+N_{22}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)=-p_{3}\\&\rho h{\ddot {v}}_{1}-{\frac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial N_{12}}{\partial x_{2}}}=-p_{1}\\&\rho h{\ddot {v}}_{2}-{\frac {\partial N_{21}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=-p_{2}\,.\end{aligned}}}
[ редактировать ] Уравнения Фёппля-фон Кармана обычно выводятся с использованием энергетического подхода путем рассмотрения изменений внутренней энергии и виртуальной работы, совершаемой внешними силами. Получающиеся в результате статические основные уравнения (уравнения равновесия) имеют вид
∂
2
M
11
∂
x
1
2
+
∂
2
M
22
∂
x
2
2
+
2
∂
2
M
12
∂
x
1
∂
x
2
+
∂
∂
x
1
(
N
11
∂
w
∂
x
1
+
N
12
∂
w
∂
x
2
)
+
∂
∂
x
2
(
N
12
∂
w
∂
x
1
+
N
22
∂
w
∂
x
2
)
=
P
∂
N
α
β
∂
x
β
=
0
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(N_{11}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}+N_{12}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(N_{12}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}+N_{22}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)=P\\&{\frac {\partial N_{\alpha \beta }}{\partial x_{\beta }}}=0\,.\end{aligned}}}
Когда прогибы малы по сравнению с габаритными размерами пластины и пренебрегают деформациями срединной поверхности,
∂
w
∂
x
1
≈
0
,
∂
w
∂
x
2
≈
0
,
v
1
≈
0
,
v
2
≈
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\approx 0,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\approx 0,v_{1}\approx 0,v_{2}\approx 0\end{aligned}}}
Уравнения равновесия ( чистого изгиба тонких пластин) сводятся к виду
∂
2
M
11
∂
x
1
2
+
∂
2
M
22
∂
x
2
2
+
2
∂
2
M
12
∂
x
1
∂
x
2
=
P
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}=P}
^ Фёппль, А., «Лекции по технической механике», Б. Г. Тойбнер , Том 5., стр. 132, Лейпциг, Германия (1907)
^ фон Карман, Т., «Проблема прочности в машиностроении», Encyk. Д. Математика. IV , 311–385 (1910).
^ Серда, Э.; Махадеван, Л. (19 февраля 2003 г.). «Геометрия и физика складок». Письма о физических отзывах . 90 (7). Американское физическое общество (APS): 074302. Бибкод : 2003PhRvL..90g4302C . дои : 10.1103/physrevlett.90.074302 . hdl : 10533/174540 ISSN 0031-9007 . ПМИД 12633231 . ^ Дэвид Харрис (11 февраля 2011 г.). «Фокус: упрощение мятой бумаги» . Фокус физического обзора . Том. 27 . Проверено 4 февраля 2020 г. ^ Jump up to: а б с д «Теория упругости». Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, (3-е изд. ISBN 0-7506-2633-X )
^ Двумерный лапласиан Δ как определяется
Δ
w
:=
∂
2
w
∂
x
α
∂
x
α
=
∂
2
w
∂
x
1
2
+
∂
2
w
∂
x
2
2
{\displaystyle \Delta w:={\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\alpha }}}={\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}}
^ Уравнения пластин фон Кармана http://imechanica.org/node/6618 По состоянию на вторник, 30 июля 2013 г., 14:20. ^ Jump up to: а б Сиарлет, П.Г. (1990), Пластины и соединения в упругих мультиструктурах , Springer-Verlag. ^ Сьярле, Филипп Г. (1980), «Обоснование уравнений фон Кармана», Archive for Rational Mechanics and Analysis , 73 (4): 349–389, Бибкод : 1980ArRMA..73..349C , doi : 10.1007/BF00247674 , S2CID 120433309 ^ Сьярле, Филипп Г. (1980), «Обоснование уравнений фон Кармана», Archive for Rational Mechanics and Analysis , 73 (4): 349–389, Бибкод : 1980ArRMA..73..349C , doi : 10.1007/BF00247674 , S2CID 120433309 ^ предположение о нулевом напряжении вне плоскости . Обычно на этом этапе делается
![{\displaystyle \nabla ^{4}w:={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\alpha }}}\left[{\frac {\partial ^ {2}w}{\partial x_{\beta }\partial x_{\beta }}}\right]={\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6418da02ee027902d7a19db03e9ad1bb78350f2)
![{\displaystyle E_{ij}:={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_ {j}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\,{\frac {\partial u_ {k}}{\partial x_{j}}}\right]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4450a2a83373b31540893d6ac450d754d518fa)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{11}&={\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left[\ left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)^{ 2}\right]\\&={\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\ частичный x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)^{2}+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\right]\\E_{22} &={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}\right)^{ 2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}} \right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\E_{33}&={\frac { \частичный u_{3}}{\partial x_{3}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}} }\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\E_{12}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{1}}{\ частичный x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\ ,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{ 2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}-x_{3}{\frac {\partial ^{2} w}{\частичный x_{1}\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{ \partial x_{1}^{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right )\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)+{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right]\\E_{23}&={\frac {1}{2}}\left[{ \frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\ частичный x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[x_{ 3}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)+x_{3}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\left({\ frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)\right]\\E_{31}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\ ,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[x_{3}\left({\ гидроразрыв {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)+x_ {3}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f747646fd6ecf6abe0a1f562f6e5adddf100c5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}&={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}\left[\left({\frac {\partial v_{ 1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)+\ nu \left({\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\right ]\\\sigma _{22}&={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}\left[\nu \left({\frac {\partial v_{1}}{ \частичный x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}-x_{3}\ ,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)+\left({\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}-x_{3}\ ,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\right]\\\sigma _{12}&={\cfrac {E}{( 1+\ну )}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial v_{2} }{\partial x_{1}}}\right)+{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\ частичный w}{\partial x_{2}}}-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right]\,.\ конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e545263be2a22f8e0cd0f7ce118e39bb9135f90)
![{\displaystyle {\begin{aligned}N_{11}&={\cfrac {Eh}{2(1-\nu ^{2})}}\left[2{\frac {\partial v_{1}} {\partial x_{1}}}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+2\nu {\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+\nu \left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right] \\N_{22}&={\cfrac {Eh}{2(1-\nu ^{2})}}\left[2\nu {\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+\nu \left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+2{\frac {\partial v_{2}}{ \partial x_{2}}}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\N_{12}&={\cfrac {Eh}{2(1+\nu )}}\left[{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial v_{2}}{\ частичный x_{1}}}+{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25758d410340bc2400b4f79e450e1d8c1620b970)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{Eh}}\left[2(1+\nu ){\frac {\partial ^{2}N_{12}}{\partial x_{1 }\partial x_{2}}}-{\frac {\partial ^{2}N_{22}}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}N_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}N_{11}}{\partial x_{2}^{ 2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}N_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}\right]=\left[{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}-\left({\ frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d347d07f79701d0599b5957116ba7ab9a23ce4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{11}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\left[{\frac {\partial ^ {2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right]\\M_{22}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\left[\ nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right]\\M_{12}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1+\nu )}}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9978d96743345f280f7c19317c05977c4254f41)
