Коноид

В геометрии коноид греческого (от линейчатая κωνος «конус» и — ειδης «подобный») — поверхность , линейки (линии) которой удовлетворяют дополнительным условиям:

(1) Все правила параллельны плоскости , директрисы плоскости .

(2) Все постановления пересекают фиксированную линию — ось .

Коноид называется прямым коноидом , если его ось перпендикулярна плоскости направляющей. Следовательно, все правила перпендикулярны оси.

Ввиду (1) любой коноид является каталонской поверхностью и параметрически может быть представлен формулой

\mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)\

Любая кривая $x (u 0, v)$ с фиксированным параметром $u = u 0$ является управляющей, $c (u)$ описывает направляющую , а векторы $r (u)$ параллельны плоскости направляющей. Планарность векторов $r (u)$ можно представить как

\det(\mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {\ddot {r}} )=0

.

Если директриса представляет собой круг, то коноид называется круговым коноидом .

Термин коноид уже использовался Архимедом в его трактате «О коноидах и сфероидах» .

Примеры

Правый круглый коноид

Параметрическое представление

\mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,0)+v(0,-\sin u,z_{0})\ ,\ 0\leq u<2\pi ,v\in \mathbb {R}

описывает правый круговой коноид с единичной окружностью плоскости xy в качестве направляющей и плоскостью направляющей, параллельной плоскости y-z. Его осью является линия

(x,0,z_{0})\ x\in \mathbb {R} \ .

Особые возможности :

Пересечение с горизонтальной плоскостью представляет собой эллипс.
$(1-x^{2})(z-z_{0})^{2}-y^{2}z_{0}^{2}=0$ является неявным представлением. Следовательно, правый круговой коноид является поверхностью степени 4.
Правило Кеплера дает прямой круговой коноид радиуса $r$ и высота $h$ точный объем: $V={\tfrac {\pi }{2}}r^{2}h$ .

Неявное представление выполняется точками прямой $(x,0,z_{0})$ , слишком. Для этих точек не существует касательных плоскостей . Такие точки называются особыми .

Параболический коноид

Параметрическое представление

\mathbf {x} (u,v)=\left(1,u,-u^{2}\right)+v\left(-1,0,u^{2}\right)

=\left(1-v,u,-(1-v)u^{2}\right)\ ,u,v\in \mathbb {R} \ ,

описывает параболический коноид уравнением $z=-xy^{2}$ . Коноид имеет параболу в качестве направляющей, ось Y в качестве оси и плоскость, параллельную плоскости xz, в качестве плоскости направляющей. Архитекторы используют его в качестве поверхности крыши (см. ниже).

Параболический коноид не имеет особых точек.

Дальнейшие примеры

гиперболический параболоид
Коноид Плюкера
Уитни зонтик

Приложения

Математика

Существует множество коноидов с особыми точками, которые исследуются в алгебраической геометрии .

Архитектура

Как и другие линейчатые поверхности, коноиды представляют большой интерес для архитекторов, поскольку их можно построить с использованием балок или стержней. Правильные коноиды можно легко изготовить: навинчивают стержни на ось так, чтобы их можно было вращать только вокруг этой оси. После этого стержни отклоняются по направляющей и образуют коноид (например, параболический коноид).

Внешние ссылки

mathworld: коноид Плюкера
«Коноид» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Ссылки

А. Грей, Э. Аббена, С. Саламон, Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica , 3-е изд. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, 2006. [1] ( ISBN 978-1-58488-448-4 )
Владимир Юрьевич Ровенский, Геометрия кривых и поверхностей с помощью MAPLE [2] ( ISBN 978-0-8176-4074-3 )