Формула гаверсина

Формула гаверсинуса определяет расстояние по большому кругу между двумя точками на сфере, учитывая их долготу и широту . Важный в навигации , это частный случай более общей формулы сферической тригонометрии , закона гаверсинусов , который связывает стороны и углы сферических треугольников.

Первую таблицу гаверсинусов на английском языке опубликовал Джеймс Эндрю в 1805 году. ^[1] но Флориан Каджори приписывает более раннее использование Хосе де Мендоса-и-Риос в 1801 году. ^[2]^[3] Термин гаверсинус был придуман в 1835 году Джеймсом Инманом . ^[4]^[5]

Эти названия следуют из того факта, что их обычно записывают в терминах функции хаверсинуса, задаваемой формулой $hav θ = sin. 2 ( .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ θ / 2 ⁠ )$ . Формулы также могут быть записаны с использованием любого кратного гаверсинусу, например, более старой функции версинуса (удвоенного гаверсинуса). До появления компьютеров отказ от деления и умножения на два коэффициента оказался достаточно удобным, и таблицы значений гаверсинусов и логарифмов были включены в навигационные и тригонометрические тексты XIX и начала XX веков. ^[6]^[7]^[8] В наши дни форма гаверсинуса удобна еще и тем, что у нее нет коэффициента перед $грехом. 2$ функция.

Формулировка

Пусть центральный угол $θ$ между любыми двумя точками сферы равен:

\theta ={\frac {d}{r}}

где

$d$ — расстояние между двумя точками по большому кругу сферы (см. сферическое расстояние ),
$r$ — радиус сферы.

Формула хаверсинуса позволяет хаверсинус θ $:$ вычислять $непосредственно на основе широты (представленной φ$ ) и долготы (представленной $λ$ ) двух точек

\operatorname {hav} \theta =\operatorname {hav} \left(\Delta \varphi \right)+\cos \left(\varphi _{1}\right)\cos \left(\varphi _{2}\right)\operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)

где

$φ 1$ , $φ 2$ — широта точки 1 и широта точки 2,
$λ 1$ , $λ 2$ — долгота точки 1 и долгота точки 2,
$\Delta \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}$ , $\Delta \lambda =\lambda _{2}-\lambda _{1}$ .

Наконец, функция хаверсинуса $hav(θ)$ , примененная выше как к центральному углу $θ,$ так и к разнице в широте и долготе, равна

\operatorname {hav} \theta =\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}

Функция гаверсинуса вычисляет половину версинуса угла $θ$ или квадраты полухорды угла на единичном круге (сфере).

Чтобы найти расстояние $d$ , примените аркаверсинус ( обратный хаверсинус ) к $hav(θ)$ или используйте функцию арксинус (обратный синус):

d=r\operatorname {archav} (\operatorname {hav} \theta )=2r\arcsin \left({\sqrt {\operatorname {hav} \theta }}\right)

или более явно:

{\begin{aligned}d&=2r\arcsin \left({\sqrt {\operatorname {hav} (\Delta \varphi )+(1-\operatorname {hav} (\Delta \varphi )-\operatorname {hav} (2\varphi _{\text{m}}))\cdot \operatorname {hav} (\Delta \lambda )}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \varphi }{2}}\right)+\left(1-\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \varphi }{2}}\right)-\sin ^{2}\left(\varphi _{\text{m}}\right)\right)\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \varphi }{2}}\right)+\cos \varphi _{1}\cdot \cos \varphi _{2}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \varphi }{2}}\right)\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)+\cos ^{2}\left(\varphi _{\text{m}}\right)\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-\cos \left(\Delta \varphi \right)+\cos \varphi _{1}\cdot \cos \varphi _{2}\cdot \left(1-\cos \left(\Delta \lambda \right)\right)}{2}}}\right)\end{aligned}}

^[9]

где $\varphi _{\text{m}}={\frac {\varphi _{2}+\varphi _{1}}{2}}$ .

При использовании этих формул необходимо убедиться, что $= hav(θ)$ не превышает 1 из-за ошибки с плавающей запятой ( $d$ действительно h только для $0 \leq h \leq 1$ ). $h$ приближается к 1 только для противоположных точек (на противоположных сторонах сферы) - в этой области в формуле обычно возникают относительно большие числовые ошибки, когда используется конечная точность. Поскольку $в этом случае d$ велико (приближается к $π R$ , половине окружности), небольшая ошибка часто не является серьезной проблемой в этом необычном случае (хотя существуют другие формулы расстояния по большому кругу , которые позволяют избежать этой проблемы). (Приведенная выше формула иногда записывается через функцию арктангенса , но здесь возникают аналогичные численные проблемы вблизи $h = 1.$ )

Как описано ниже, аналогичную формулу можно записать с использованием косинусов (иногда называемых сферическим законом косинусов , не путать с законом косинусов для плоской геометрии) вместо гаверсинусов, но если две точки расположены близко друг к другу (например, на расстоянии километра) отдельно, на Земле) можно получить $cos(⁠ d / R ⁠) = 0,99999999$ , что приводит к неточному ответу. Поскольку в формуле гаверсинуса используются синусы, эта проблема устраняется.

Любая формула является лишь приближением применительно к Земле , которая не является идеальной сферой: « Радиус Земли » $R$ варьируется от 6356,752 км на полюсах до 6378,137 км на экваторе. Что еще более важно, радиус кривизны линии север-юг на поверхности Земли на 1% больше на полюсах (≈6399,594 км), чем на экваторе (≈6335,439 км), поэтому формула гаверсинуса и закон косинусов не могут быть гарантированы. поправьте лучше, чем 0,5%. ^{[ нужна ссылка ]} Более точные методы, учитывающие эллиптичность Земли, представлены формулами Винсенти и другими формулами в статье о географических расстояниях .

Закон хаверсинусов

Сферический треугольник, решенный по закону гаверсинусов

Учитывая единичную сферу, «треугольник» на поверхности сферы определяется большими кругами, соединяющими три точки $u$ , $v$ и $w$ на сфере. Если длины этих трех сторон равны $a$ (от $u$ до $v$ ), $b$ (от $u$ до $w$ ) и $c$ (от $v$ до $w$ ), а угол угла, противоположного $c,$ равен $C$ , то закон хаверсинусов гласит: : ^[10]

\operatorname {hav} (c)=\operatorname {hav} (a-b)+\sin(a)\sin(b)\operatorname {hav} (C).

Поскольку это единичная сфера, длины $a$ , $b$ и $c$ просто равны углам (в радианах ), образуемым этими сторонами из центра сферы (для неединичной сферы каждая из этих длин дуг равна к ее центральному углу , умноженному на радиус $R$ сферы ).

Чтобы получить из этого закона формулу хаверсинуса предыдущего раздела, просто рассмотрим особый случай, когда $u$ — это северный полюс , а $v$ и $w$ — две точки, расстояние между которыми $d$ необходимо определить. В этом случае $a$ и $b$ равны $⁠ π / 2 ⁠ - φ 1,2$ (то есть совместные широты), $C$ — расстояние по долготе $λ 2 — λ 1$ , а $c$ — желаемое расстояние $⁠ д / р ⁠$ . Заметив этот $грех(⁠ π / 2 ⁠ - φ) = cos(φ)$ , сразу следует формула хаверсинуса.

Чтобы вывести закон хаверсинусов, нужно начать со сферического закона косинусов :

\cos(c)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\cos(C).\,

Как упоминалось выше, эта формула представляет собой плохо обусловленный способ определения значения $c,$ когда $c$ мало. Вместо этого мы подставляем тождество, что $cos(θ) = 1 - 2 hav(θ)$ , а также используем тождество сложения $cos(a - b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)$ , чтобы получить закон хаверсинусов, приведенный выше.

Доказательство

Можно доказать формулу:

\operatorname {hav} \left(\theta \right)=\operatorname {hav} \left(\Delta \varphi \right)+\cos \left(\varphi _{1}\right)\cos \left(\varphi _{2}\right)\operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)

путем преобразования точек, заданных их широтой и долготой, в декартовы координаты , а затем взятия их скалярного произведения .

Учтите два момента ${\bf {p_{1},p_{2}}}$ на единичной сфере , заданной их широтой $\varphi$ и долгота $\lambda$ :

{\begin{aligned}{\bf {p_{2}}}&=(\lambda _{2},\varphi _{2})\\{\bf {p_{1}}}&=(\lambda _{1},\varphi _{1})\end{aligned}}

Эти представления очень похожи на сферические координаты , однако широта измеряется как угол от экватора, а не от северного полюса. Эти точки имеют следующие представления в декартовых координатах:

{\begin{aligned}{\bf {p_{2}}}&=(\cos(\lambda _{2})\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\lambda _{2})\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\varphi _{2}))\\{\bf {p_{1}}}&=(\cos(\lambda _{1})\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\lambda _{1})\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\varphi _{1}))\end{aligned}}

Отсюда мы могли бы напрямую попытаться вычислить скалярное произведение и продолжить, однако формулы становятся значительно проще, если принять во внимание следующий факт: расстояние между двумя точками не изменится, если мы повернём сферу вдоль оси z. Фактически это добавит константу к $\lambda _{1},\lambda _{2}$ . Обратите внимание, что аналогичные соображения не применимы к преобразованию широт — добавление константы к широте может изменить расстояние между точками. Выбрав нашу константу в качестве $-\lambda _{1}$ и настройка $\lambda '=\Delta \lambda$ , наши новые точки станут:

{\begin{aligned}{\bf {p_{2}'}}&=(\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\lambda ')\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\varphi _{2}))\\{\bf {p_{1}'}}&=(\cos(0)\cos(\varphi _{1}),\;\sin(0)\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\varphi _{1}))\\&=(\cos(\varphi _{1}),\;0,\;\sin(\varphi _{1}))\end{aligned}}

С $\theta$ обозначающий угол между ${\bf {p_{1}}}$ и ${\bf {p_{2}}}$ , теперь у нас есть это:

{\begin{aligned}\cos(\theta )&=\langle {\bf {p_{1}}},{\bf {p_{2}}}\rangle =\langle {\bf {p_{1}'}},{\bf {p_{2}'}}\rangle =\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})+\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\\&=\sin(\varphi _{2})\sin(\varphi _{1})+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})-\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})+\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})\\&=\cos(\Delta \varphi )+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})(-1+\cos(\lambda '))\Rightarrow \\\operatorname {hav} \left(\theta \right)&=\operatorname {hav} \left(\Delta \varphi \right)+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})\operatorname {hav} \left(\lambda '\right)\end{aligned}}

См. также

Ссылки

^ ван Бруммелен, Глен Роберт (2013). Небесная математика: забытое искусство сферической тригонометрии . Издательство Принстонского университета . ISBN 9780691148922 . 0691148929 . Проверено 10 ноября 2015 г.
^ де Мендоса-и-Риос, Джозеф (1795). Память о некоторых новых методах расчета долготы по лунным расстояниям: и применении ее теории к решению других навигационных задач (на испанском языке). Мадрид, Испания: Имрента Реал.
^ Каджори, Флориан (1952) [1929]. История математических обозначений . Том. 2 (2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 г.) изд.). Чикаго: Издательская компания открытого суда . п. 172. ИСБН 978-1-60206-714-1 . 1602067147 . Проверено 11 ноября 2015 г. Гаверсинус впервые появляется в таблицах логарифмических стихов Хосе де Мендоса-и-Риоса (Мадрид, 1801 г., также 1805, 1809 г.), а затем в трактате Джеймса Инмана о мореплавании (1821 г.). (Примечание: ISBN и ссылка на перепечатку второго издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, 2013 г.)
^ Инман, Джеймс (1835) [1821]. Навигация и морская астрономия: для использования британскими моряками (3-е изд.). Лондон, Великобритания: В. Вудворд, К. и Дж. Ривингтон . Проверено 9 ноября 2015 г. (Четвертое издание: [1] .)
^ «гаверсинус». Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . 1989.
^ HB Гудвин, Гаверсинус в морской астрономии , Труды Военно-морского института , том. 36, нет. 3 (1910), стр. 735–746: Очевидно, что если использовать таблицу гаверсинусов, то мы избавимся, во-первых, от необходимости делить сумму логарифмов на два, а во-вторых, от умножения угла, взятого из столы по одному и тому же номеру. В этом состоит особое преимущество формы стола, впервые представленной профессором Инманом из Портсмутского королевского военно-морского колледжа почти столетие назад.
^ WW Шеппард и CC Soule, Практическая навигация (Всемирный технический институт: Джерси-Сити, 1922).
^ Э. Р. Хедрик, Логарифмические и тригонометрические таблицы (Макмиллан, Нью-Йорк, 1913).
^ Гейд, Кеннет (2010). «Несингулярное представление горизонтальной позиции». Журнал навигации . 63 (3): 395–417. Бибкод : 2010JNav...63..395G . дои : 10.1017/S0373463309990415 . ISSN 0373-4633 .
^ Корн, Грандино Артур; Корн, Тереза М. (2000) [1922]. «Приложение B: B9. Плоская и сферическая тригонометрия: формулы, выраженные через функцию гаверсинуса». Математический справочник для ученых и инженеров: Определения, теоремы и формулы для справки и обзора (3-е изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications . стр. 892–893. ISBN 978-0-486-41147-7 .

Дальнейшее чтение

Часто задаваемые вопросы по географическим информационным системам Бюро переписи населения США (содержимое перенесено в раздел « Как лучше всего рассчитать расстояние между двумя точками? »)
Р.В. Синнотт, «Достоинства гаверсина», Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).
«Вывод формулы гаверсинуса» . Спросите доктора Математика . 20–21 апреля 1999 г. Архивировано из оригинала 20 января 2020 г.
В. Геллерт, С. Готвальд, М. Хеллвич, Х. Кестнер и Х. Кюстнер, Краткая математическая энциклопедия VNR , 2-е изд., гл. 12 (Ван Ностранд Рейнхольд: Нью-Йорк, 1989).

Внешние ссылки

Реализации формулы хаверсинуса на 91 языке на сайтеrosettacode.org и на 17 языках на codecodex.com. Архивировано 14 августа 2018 г. на Wayback Machine.
Другие реализации на C++ , C (MacOS) , Pascal. Архивировано 16 января 2019 г. на Wayback Machine , Python , Ruby , JavaScript , PHP. Архивировано 12 августа 2018 г. на Wayback Machine . Matlab. Архивировано 13 мая 2020 г. на Wayback. Машина , MySQL

[Brummelen_2013-1] ван Бруммелен, Глен Роберт (2013). Небесная математика: забытое искусство сферической тригонометрии . Издательство Принстонского университета . ISBN 9780691148922 . 0691148929 . Проверено 10 ноября 2015 г.

[Ríos_1795-2] де Мендоса-и-Риос, Джозеф (1795). Память о некоторых новых методах расчета долготы по лунным расстояниям: и применении ее теории к решению других навигационных задач (на испанском языке). Мадрид, Испания: Имрента Реал.

[Cajori_1929-3] Каджори, Флориан (1952) [1929]. История математических обозначений . Том. 2 (2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 г.) изд.). Чикаго: Издательская компания открытого суда . п. 172. ИСБН 978-1-60206-714-1 . 1602067147 . Проверено 11 ноября 2015 г. Гаверсинус впервые появляется в таблицах логарифмических стихов Хосе де Мендоса-и-Риоса (Мадрид, 1801 г., также 1805, 1809 г.), а затем в трактате Джеймса Инмана о мореплавании (1821 г.). (Примечание: ISBN и ссылка на перепечатку второго издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, 2013 г.)

[Inman_1835-4] Инман, Джеймс (1835) [1821]. Навигация и морская астрономия: для использования британскими моряками (3-е изд.). Лондон, Великобритания: В. Вудворд, К. и Дж. Ривингтон . Проверено 9 ноября 2015 г. (Четвертое издание: [1] .)

[OED_1989_Haversine-5] «гаверсинус». Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . 1989.

[6] HB Гудвин, Гаверсинус в морской астрономии , Труды Военно-морского института , том. 36, нет. 3 (1910), стр. 735–746: Очевидно, что если использовать таблицу гаверсинусов, то мы избавимся, во-первых, от необходимости делить сумму логарифмов на два, а во-вторых, от умножения угла, взятого из столы по одному и тому же номеру. В этом состоит особое преимущество формы стола, впервые представленной профессором Инманом из Портсмутского королевского военно-морского колледжа почти столетие назад.

[7] WW Шеппард и CC Soule, Практическая навигация (Всемирный технический институт: Джерси-Сити, 1922).

[8] Э. Р. Хедрик, Логарифмические и тригонометрические таблицы (Макмиллан, Нью-Йорк, 1913).

[Gade2010-9] Гейд, Кеннет (2010). «Несингулярное представление горизонтальной позиции». Журнал навигации . 63 (3): 395–417. Бибкод : 2010JNav...63..395G . дои : 10.1017/S0373463309990415 . ISSN 0373-4633 .

[Korn_2000-10] Корн, Грандино Артур; Корн, Тереза М. (2000) [1922]. «Приложение B: B9. Плоская и сферическая тригонометрия: формулы, выраженные через функцию гаверсинуса». Математический справочник для ученых и инженеров: Определения, теоремы и формулы для справки и обзора (3-е изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications . стр. 892–893. ISBN 978-0-486-41147-7 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]