Норма (математика)

Эта статья о нормах нормированных векторных пространств . Для теории поля см. Норму поля . Об идеалах см. Идеальная норма . Для коммутативной алгебры см. Абсолютное значение (алгебра) . Для теории групп см. Норма (группа) . О нормах дескриптивной теории множеств см. prewellordering .

В математике норма функция — это от действительного или комплексного векторного пространства до неотрицательных действительных чисел, которая ведет себя определенным образом, как расстояние от начала координат : она коммутирует с масштабированием, подчиняется форме неравенства треугольника и равна нулю. только в начале. В частности, евклидово расстояние в евклидовом пространстве определяется нормой соответствующего евклидова векторного пространства , называемой евклидовой нормой , 2-нормой или, иногда, величиной вектора. Эту норму можно определить как квадратный корень из скалярного произведения вектора на самого себя.

Полунорма . удовлетворяет первым двум свойствам нормы, но может быть равна нулю для векторов, отличных от начала координат Векторное пространство с заданной нормой называется нормированным векторным пространством . Аналогичным образом векторное пространство с полунормой называется полунормированным векторным пространством .

Термин псевдонорма использовался в нескольких связанных значениях. Это может быть синонимом слова «полунорма». Псевдонорма может удовлетворять тем же аксиомам, что и норма, с заменой равенства неравенством « $\,\leq \,$" в аксиоме однородности. Это также может относиться к норме, которая может принимать бесконечные значения. или некоторым функциям, параметризованным направленным множеством .

Определение

Учитывая векторное пространство $X$ над подполем $F$ комплексных чисел $\mathbb {C} ,$ норма ​ на $X$ это действительнозначная функция $p:X\to \mathbb {R}$ со следующими свойствами, где $|s|$ обозначает обычное абсолютное значение скаляра $s$:

1. Субаддитивность / неравенство треугольника : $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ для всех $x,y\in X.$
2. Абсолютная однородность : $p(sx)=|s|p(x)$ для всех $x\in X$ и все скаляры $s.$
3. Положительная определенность /позитивность / Разделение точек : для всех $x\in X,$ если $p(x)=0$ затем $x=0.$
   • Поскольку свойство (2.) влечет за собой $p(0)=0,$ некоторые авторы заменяют свойство (3.) эквивалентным условием: для каждого $x\in X,$ $p(x)=0$ тогда и только тогда, когда $x=0.$

Полунорма ​ по $X$ это функция $p:X\to \mathbb {R}$ обладающий свойствами (1.) и (2.) так что, в частности, каждая норма также является полунормой (и, следовательно, также сублинейным функционалом ). Однако существуют полунормы, которые не являются нормами. Свойства (1) и (2) означают, что если $p$ является нормой (или, в более общем смысле, полунормой), тогда $p(0)=0$ и это $p$ также имеет следующее свойство:

4. Неотрицательность : $p(x)\geq 0$ для всех $x\in X.$

Некоторые авторы включают неотрицательность в определение «нормы», хотя в этом нет необходимости. » определяется Хотя в этой статье слово « положительный как синоним «положительно определенного», некоторые авторы вместо этого определяют « положительный » как синоним «неотрицательного»; эти определения не эквивалентны.

Эквивалентные нормы

Предположим, что $p$ и $q$ две нормы (или полунормы) в векторном пространстве $X.$ Затем $p$ и $q$ называются эквивалентными , если существуют две положительные вещественные константы $c$ и $C$ с $c>0$ такой, что для каждого вектора $x\in X,$$$cq(x)\leq p(x)\leq Cq(x).$$Отношение " $p$ эквивалентно $q$" рефлексивно , симметрично ( $cq\leq p\leq Cq$ подразумевает ${\tfrac {1}{C}}p\leq q\leq {\tfrac {1}{c}}p$), транзитивен и, таким образом, определяет отношение эквивалентности на множестве всех норм на $X.$Нормы $p$ и $q$ эквивалентны тогда и только тогда, когда они индуцируют одну и ту же топологию на $X.$ Любые две нормы в конечномерном пространстве эквивалентны, но это не распространяется на бесконечномерные пространства.

Обозначения

Если это норма $p:X\to \mathbb {R}$ задано в векторном пространстве $X,$ тогда норма вектора $z\in X$ обычно обозначается заключением его в двойные вертикальные линии: $\|z\|=p(z).$ Такое обозначение иногда используется также, если $p$ это всего лишь полунорма. Для длины вектора в евклидовом пространстве (который является примером нормы, как объясняется ниже ) обозначение $|x|$ с одиночными вертикальными линиями также широко распространены.

Примеры

Каждое векторное пространство (действительное или комплексное) допускает норму: если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ является базисом Гамеля векторного пространства $X$ затем карта с действительным значением, которая отправляет $x=\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X$ (где все скаляры, кроме конечного числа $s_{i}$ являются $0$) к $\sum _{i\in I}\left|s_{i}\right|$ это норма для $X.$ Существует также большое количество норм, обладающих дополнительными свойствами, которые делают их полезными для решения конкретных задач.

Абсолютная норма

Абсолютное значение $|x|$является нормой векторного пространства, образованного действительными или комплексными числами . Комплексные числа образуют одномерное векторное пространство над собой и двумерное векторное пространство над действительными числами; абсолютное значение является нормой для этих двух структур.

Любая норма $p$ в одномерном векторном пространстве $X$ эквивалентно (с точностью до масштабирования) абсолютной норме, что означает, что существует сохраняющий норму изоморфизм векторных пространств $f:\mathbb {F} \to X,$ где $\mathbb {F}$ либо $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C} ,$ а сохранение норм означает, что $|x|=p(f(x)).$Этот изоморфизм задается отправкой $1\in \mathbb {F}$ к вектору нормы $1,$ который существует, поскольку такой вектор получается умножением любого ненулевого вектора на обратную его норму.

Евклидова норма

Дополнительная информация: евклидова норма и евклидово расстояние.

На $n$-мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n},$ интуитивное понятие длины вектора ${\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)$ определяется формулой $$\|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$$

Это евклидова норма , дающая обычное расстояние от начала координат до точки X — следствие теоремы Пифагора . можно назвать «SRSS», что является квадратного корня аббревиатурой из суммы квадратов Эту операцию также .

Евклидова норма на сегодняшний день является наиболее часто используемой нормой в $\mathbb {R} ^{n},$ но в этом векторном пространстве существуют и другие нормы, как будет показано ниже.Однако все эти нормы эквивалентны в том смысле, что все они определяют одну и ту же топологию в конечномерных пространствах.

Внутренний продукт двух векторов евклидова векторного пространства — это скалярное произведение их координатных векторов по ортонормированному базису .Следовательно, евклидову норму можно записать в бескоординатном виде как $$\|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.$$

Евклидову норму еще называют квадратичной нормой . $L^{2}$ норма , $\ell ^{2}$ норма , 2-норма или квадратная норма ; видеть $L^{p}$ космос .Он определяет функцию расстояния, называемую евклидовой длиной , $L^{2}$ расстояние , или $\ell ^{2}$ расстояние .

Набор векторов в $\mathbb {R} ^{n+1}$ евклидова норма которого является заданной положительной константой, образует $n$-сфера .

Евклидова норма комплексных чисел

См. Также: Скалярное произведение § Комплексные векторы

Евклидовой нормой комплексного числа является его абсолютное значение (также называемое модулем ) его, если комплексная плоскость отождествляется с евклидовой плоскостью. $\mathbb {R} ^{2}.$ Это идентификация комплексного числа $x+iy$ как вектор в евклидовой плоскости, делает величину ${\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ (как впервые предложил Эйлер) евклидова норма, связанная с комплексным числом. Для $z=x+iy$, норму можно также записать как ${\sqrt {{\bar {z}}z}}$ где ${\bar {z}}$ является комплексно- сопряженным $z\,.$

Кватернионы и октонионы

См. Также: Кватернион и Октонион.

существует ровно четыре евклидовых алгебры Гурвица Над действительными числами . Это реальные цифры $\mathbb {R} ,$ комплексные числа $\mathbb {C} ,$ кватернионы ​ $\mathbb {H} ,$ и, наконец, октонионы $\mathbb {O} ,$ где размерности этих пространств относительно действительных чисел равны $1,2,4,{\text{ and }}8,$ соответственно.Канонические нормы о $\mathbb {R}$ и $\mathbb {C}$ являются их функциями абсолютного значения , как обсуждалось ранее.

Каноническая норма о $\mathbb {H}$ кватернионов формулой определяется $$\lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}$$для каждого кватерниона $q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k}$ в $\mathbb {H} .$ Это то же самое, что и евклидова норма $\mathbb {H}$ рассматривается как векторное пространство $\mathbb {R} ^{4}.$ Аналогично, каноническая норма октонионов — это просто евклидова норма октонионов. $\mathbb {R} ^{8}.$

Конечномерные комплексные нормированные пространства

На $n$-мерное комплексное пространство $\mathbb {C} ^{n},$ наиболее распространенной нормой является $$\|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {\left|z_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|z_{n}\right|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.$$

В этом случае норму можно выразить как квадратный корень из внутреннего произведения вектора на себя: $$\|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{H}~{\boldsymbol {x}}}},$$где ${\boldsymbol {x}}$ представляется как вектор-столбец ${\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{n}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$ и ${\boldsymbol {x}}^{H}$ обозначает его сопряженное транспонирование .

Эта формула действительна для любого пространства внутреннего произведения , включая евклидово и комплексное пространство. Для комплексных пространств внутренний продукт эквивалентен комплексному скалярному произведению . Следовательно, формулу и в этом случае можно записать, используя следующие обозначения: $$\|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.$$

Норма такси или норма Манхэттена

Основная статья: Геометрия такси

$$\|{\boldsymbol {x}}\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|.$$Название относится к расстоянию, которое такси должно проехать по прямоугольной сетке улиц (например, в нью-йоркском районе Манхэттена ), чтобы добраться от начала координат до точки. $x.$

Набор векторов, 1-норма которых является заданной константой, образует поверхность перекрестного многогранника , размерность которого равна размерности векторного пространства минус 1.Норму такси также называют $\ell ^{1}$ норма . Расстояние, полученное из этой нормы, называется Манхэттенским расстоянием или $\ell ^{1}$ расстояние .

1-норма — это просто сумма абсолютных значений столбцов.

В отличие, $$\sum _{i=1}^{n}x_{i}$$не является нормой, поскольку может привести к отрицательным результатам.

р -норма

Основной предмет: Л ^п космос

Позволять $p\geq 1$ быть действительным числом. $p$-норма (также называемая $\ell ^{p}$-норма) вектора $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$ является $$\|\mathbf {x} \|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}.$$Для $p=1,$ мы получаем норму такси , за $p=2$ мы получаем евклидову норму , и так как $p$ подходы $\infty$ тот $p$-норма приближается к бесконечной норме или максимальной норме : $$\|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max _{i}\left|x_{i}\right|.$$$p$-норма связана с обобщенным средним или степенным средним.

Для $p=2,$ тот $\|\,\cdot \,\|_{2}$-норма даже индуцируется каноническим скалярным произведением $\langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,$ это означает, что ${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ для всех векторов $\mathbf {x} .$ Этот внутренний продукт можно выразить через норму, используя тождество поляризации .На $\ell ^{2},$ этот внутренний продукт является Евклидов внутренний продукт, определяемый формулой $$\langle \left(x_{n}\right)_{n},\left(y_{n}\right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}$$а для космоса $L^{2}(X,\mu )$ связанный с пространством меры $(X,\Sigma ,\mu ),$ который состоит из всех интегрируемых с квадратом функций , этот внутренний продукт равен $$\langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x.$$

Это определение до сих пор представляет некоторый интерес для $0<p<1,$ но результирующая функция не определяет норму, потому что это нарушает неравенство треугольника .Что верно для данного случая $0<p<1,$ даже в измеримом аналоге, заключается в том, что соответствующее $L^{p}$ класс является векторным пространством, и также верно, что функция $$\int _{X}|f(x)-g(x)|^{p}~\mathrm {d} \mu$$(без $p$корень-й) определяет расстояние, которое составляет $L^{p}(X)$ в полное метрическое топологическое векторное пространство . Эти пространства представляют большой интерес в функциональном анализе , теории вероятностей и гармоническом анализе .Однако, за исключением тривиальных случаев, это топологическое векторное пространство не является локально выпуклым и не имеет непрерывных ненулевых линейных форм. Таким образом, топологическое дуальное пространство содержит только нулевой функционал.

Частная производная $p$-норма определяется выражением $${\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{p}={\frac {x_{k}\left|x_{k}\right|^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.$$

Производная по $x,$ следовательно, является $${\frac {\partial \|\mathbf {x} \|_{p}}{\partial \mathbf {x} }}={\frac {\mathbf {x} \circ |\mathbf {x} |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.$$где $\circ$ обозначает произведение Адамара и $|\cdot |$ используется для абсолютного значения каждого компонента вектора.

Для частного случая $p=2,$ это становится $${\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {x_{k}}{\|\mathbf {x} \|_{2}}},$$или $${\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {\mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|_{2}}}.$$

Максимальная норма (частный случай: норма бесконечности, единая норма или высшая норма)

$\|x\|_{\infty }=1$

Основная статья: Максимальная норма

Если $\mathbf {x}$ какой-то вектор такой, что $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),$ затем: $$\|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).$$

Набор векторов, норма бесконечности которых является заданной константой, $c,$ образует поверхность гиперкуба с длиной ребра $2c.$

Нулевая норма

В вероятностном и функциональном анализе нулевая норма индуцирует полную метрическую топологию для пространства измеримых функций и F-пространства последовательностей с F-нормой ${\textstyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}{2^{-n}x_{n}/(1+x_{n})}.}$Здесь под F-нормой мы понимаем некоторую вещественную функцию $\lVert \cdot \rVert$ в F-пространстве с расстоянием $d,$ такой, что $\lVert x\rVert =d(x,0).$ - норма Описанная выше F не является нормой в обычном понимании, поскольку не обладает требуемым свойством однородности.

Расстояние Хэмминга вектора от нуля

См. Также: Расстояние Хэмминга и дискретная метрика.

В метрической геометрии дискретная метрика принимает значение единица для различных точек и ноль в противном случае. При применении по координатам к элементам векторного пространства дискретное расстояние определяет расстояние Хэмминга , которое важно в теории кодирования и информации .В области действительных или комплексных чисел расстояние дискретной метрики от нуля неоднородно в ненулевой точке; действительно, расстояние от нуля остается единицей, поскольку его ненулевой аргумент приближается к нулю.Однако дискретное расстояние числа от нуля удовлетворяет другим свойствам нормы, а именно неравенству треугольника и положительной определенности.При покомпонентном применении к векторам дискретное расстояние от нуля ведет себя как неоднородная «норма», которая подсчитывает количество ненулевых компонентов в своем векторном аргументе; опять же, эта неоднородная «норма» разрывна.

В области обработки сигналов и статистики в кавычках Дэвид Донохо ссылался на нулевую « норму » .Согласно обозначениям Донохо, нулевая «норма» $x$ это просто количество ненулевых координат $x,$ или расстояние Хэмминга вектора от нуля.Когда эта «норма» локализована в ограниченном множестве, она является пределом $p$-нормы как $p$ приближается к 0.Конечно, нулевая «норма» на самом деле не является нормой, поскольку она не является положительно однородной .В самом деле, это даже не F-норма в описанном выше смысле, поскольку она разрывна совместно и по отдельности по отношению к скалярному аргументу при скалярно-векторном умножении и по отношению к своему векторному аргументу. Злоупотребляя терминологией , некоторые инженеры опустите кавычки Донохо и неправильно назовите функцию числа ненулевых чисел $L^{0}$ норма, повторяющая обозначения пространства Лебега измеримых функций .

Бесконечные размеры

Обобщение приведенных выше норм на бесконечное число компонент приводит к $\ell ^{p}$ и $L^{p}$ места для $p\geq 1\,,$ с нормами

$$\|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i\in \mathbb {N} }\left|x_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}{\text{ and }}\ \|f\|_{p,X}={\bigg (}\int _{X}|f(x)|^{p}~\mathrm {d} x{\bigg )}^{1/p}$$

для комплексных последовательностей и функций на $X\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ соответственно, что можно далее обобщить (см. меру Хаара ). Эти нормы справедливы и в пределе, поскольку $p\rightarrow +\infty$, дающие высшую норму , и называются $\ell ^{\infty }$ и $L^{\infty }\,.$

Любой внутренний продукт естественным образом вызывает норму. ${\textstyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$

Другие примеры бесконечномерных нормированных векторных пространств можно найти в статье о банаховом пространстве .

Как правило, эти нормы не дают одинаковых топологий. Например, бесконечномерный $\ell ^{p}$ пространство дает строго более тонкую топологию, чем бесконечномерное пространство. $\ell ^{q}$ пространство, когда $p<q\,.$

Композитные нормы

Другие нормы по $\mathbb {R} ^{n}$ может быть построен путем объединения вышеперечисленного; например $$\|x\|:=2\left|x_{1}\right|+{\sqrt {3\left|x_{2}\right|^{2}+\max(\left|x_{3}\right|,2\left|x_{4}\right|)^{2}}}$$это норма для $\mathbb {R} ^{4}.$

Для любой нормы и любого инъективного линейного преобразования $A$ мы можем определить новую норму $x,$ равный $$\|Ax\|.$$В 2D, с $A$ поворот на 45° и подходящий масштаб превращают норму такси в максимальную норму. Каждый $A$ в применении к таксомоторной норме, вплоть до инверсии и перестановки осей, дает иную единицу шара: параллелограмм определенной формы, размера и ориентации.

В 3D это похоже, но отличается для 1-нормы ( октаэдры ) и максимальной нормы ( призмы с основанием параллелограмма).

Есть примеры норм, которые не определяются «поэлементными» формулами. Например, функционал Минковского центрально-симметричного выпуклого тела в $\mathbb {R} ^{n}$ (с центром в нуле) определяет норму на $\mathbb {R} ^{n}$ (см . ниже § Классификация полунорм: абсолютно выпуклые поглощающие множества ).

Все приведенные выше формулы также дают нормы на $\mathbb {C} ^{n}$ без модификации.

Существуют также нормы на пространства матриц (с вещественными или комплексными элементами), так называемые матричные нормы .

В абстрактной алгебре

Основная статья: Полевая норма

Позволять $E$ быть конечным расширением поля $k$ неотделимой степени $p^{\mu },$ и пусть $k$ иметь алгебраическое замыкание $K.$ различные вложения Если $E$ являются $\left\{\sigma _{j}\right\}_{j},$ тогда теоретическая норма Галуа элемента $\alpha \in E$ это ценность ${\textstyle \left(\prod _{j}{\sigma _{k}(\alpha )}\right)^{p^{\mu }}.}$ Поскольку эта функция однородна степени $[E:k]$, норма теории Галуа не является нормой в смысле данной статьи. Однако $[E:k]$-й корень нормы (при условии, что концепция имеет смысл) является нормой.

Композиционные алгебры

Понятие нормы $N(z)$ в композиционных алгебрах не обладает обычными свойствами нормы, поскольку нулевые векторы допускаются . Композиционная алгебра $(A,{}^{*},N)$ состоит из алгебры над полем $A,$ инволюция ​ ${}^{*},$ и квадратичная форма $N(z)=zz^{*}$ называется «нормой».

Характерной особенностью композиционных алгебр является гомоморфизма свойство $N$: для продукта $wz$ из двух элементов $w$ и $z$ композиционной алгебры, ее норма удовлетворяет $N(wz)=N(w)N(z).$ В случае алгебр с делением $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {C} ,$ $\mathbb {H} ,$ и $\mathbb {O}$ норма композиционной алгебры представляет собой квадрат нормы, обсуждавшейся выше. В этих случаях нормой является определенная квадратичная форма . В расщепленных алгебрах нормой является изотропная квадратичная форма .

Характеристики

По любой норме $p:X\to \mathbb {R}$ в векторном пространстве $X,$ выполнено обратное неравенство треугольника : $$p(x\pm y)\geq |p(x)-p(y)|{\text{ for all }}x,y\in X.$$Если $u:X\to Y$ является непрерывным линейным отображением нормированных пространств, то норма $u$ норма транспонирования и $u$ равны.

Для $L^{p}$ нормы , имеем неравенство Гёльдера $$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|_{p}\|y\|_{q}\qquad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.$$Частным случаем этого является неравенство Коши – Шварца : $$\left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|_{2}\|y\|_{2}.$$

Иллюстрации единичных кругов в разных нормах.

Каждая норма является полунормой и, следовательно, удовлетворяет всем свойствам последней . В свою очередь, каждая полунорма является сублинейной функцией и, таким образом, удовлетворяет всем свойствам последней . В частности, каждая норма является выпуклой функцией .

Эквивалентность

Понятие единичной окружности (набора всех векторов нормы 1) в разных нормах различно: для 1-нормы единичная окружность представляет собой квадрат, ориентированный ромбом; для 2-нормы (евклидовой нормы) это известный единичный круг ; в то время как для нормы бесконечности это квадрат, выровненный по оси. Для любого $p$-норма, это суперэллипс с конгруэнтными осями (см. сопроводительную иллюстрацию). По определению нормы единичная окружность должна быть выпуклой и центрально-симметричной (поэтому, например, единичный шар может быть прямоугольником, но не может быть треугольником, а $p\geq 1$ для $p$-норма).

С точки зрения векторного пространства полунорма определяет топологию пространства, и это топология Хаусдорфа именно тогда, когда полунорма может различать разные векторы, что снова эквивалентно тому, что полунорма является нормой. Определенную таким образом топологию (нормой или полунормой) можно понимать либо в терминах последовательностей, либо в терминах открытых множеств. Последовательность ​ векторов $\{v_{n}\}$ говорят, что он сходится по норме к $v,$ если $\left\|v_{n}-v\right\|\to 0$ как $n\to \infty .$ Эквивалентно, топология состоит из всех множеств, которые можно представить как объединение открытых шаров . Если $(X,\|\cdot \|)$ это нормированное пространство, тогда $\|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|{\text{ for all }}x,y\in X{\text{ and }}z\in [x,y].$

Две нормы $\|\cdot \|_{\alpha }$ и $\|\cdot \|_{\beta }$ в векторном пространстве $X$ называются эквивалентны, если они вызывают одну и ту же топологию, что происходит тогда и только тогда, когда существуют положительные действительные числа $C$ и $D$ такой, что для всех $x\in X$$$C\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D\|x\|_{\alpha }.$$Например, если $p>r\geq 1$ на $\mathbb {C} ^{n},$ затем $$\|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|_{p}.$$

В частности, $$\|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}$$$$\|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{\infty }$$$$\|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}\leq n\|x\|_{\infty },$$То есть, $$\|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}\leq n\|x\|_{\infty }.$$Если векторное пространство является конечномерным вещественным или комплексным, все нормы эквивалентны. С другой стороны, в случае бесконечномерных векторных пространств не все нормы эквивалентны.

Эквивалентные нормы определяют одни и те же понятия непрерывности и конвергенции, и для многих целей их не нужно различать. Точнее, равномерная структура, определяемая эквивалентными нормами векторного пространства, является равномерно изоморфной .

Классификация полунорм: абсолютно выпуклые поглощающие множества.

Основная статья: Полунорма

Все полунормы в векторном пространстве $X$ можно классифицировать в терминах абсолютно выпуклых поглощающих подмножеств. $A$ из $X.$ Каждому такому подмножеству соответствует полунорма $p_{A}$ называется калибром ​ $A,$ определяется как $$p_{A}(x):=\inf\{r\in \mathbb {R} :r>0,x\in rA\}$$где $\inf _{}$ является инфимумом со свойством, что $$\left\{x\in X:p_{A}(x)<1\right\}~\subseteq ~A~\subseteq ~\left\{x\in X:p_{A}(x)\leq 1\right\}.$$Наоборот:

Любое локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет локальную базу, состоящую из абсолютно выпуклых множеств. Распространенным методом построения такого базиса является использование семейства $(p)$ полунорм $p$ разделяющее точки : совокупность всех конечных пересечений множеств $\{p<1/n\}$ превращает пространство в локально выпуклое топологическое векторное пространство, так что каждое p является непрерывным .

Такой метод используется для проектирования слабых и слабых* топологий .

Нормальный случай:

Предположим теперь, что $(p)$ содержит один $p:$ с $(p)$ отделяется ​ , $p$ это норма, и $A=\{p<1\}$ это его открытый единичный шар . Затем $A$ является абсолютно выпуклой ограниченной окрестностью 0, и $p=p_{A}$ является непрерывным.

Обратное утверждение принадлежит Андрею Колмогорову : любое локально выпуклое и локально ограниченное топологическое векторное пространство нормируемо . Именно так:

Если $X$ является абсолютно выпуклой ограниченной окрестностью точки 0, калибровка $g_{X}$ (так что $X=\{g_{X}<1\}$ это норма.

См. также

• Асимметричная норма - Обобщение понятия нормы.
• F-полунорма – топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Норма Гауэрса
• Норма Кадека . Все бесконечномерные сепарабельные банаховы пространства гомеоморфны. Страницы отображают краткие описания целей перенаправления.
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов – метод расчета периодичности
• Расстояние Махаланобиса - Статистическая мера расстояния
• Величина (математика) - свойство, определяющее сравнение и упорядочивание.
• Матричная норма - Норма векторного пространства матриц.
• Расстояние Минковского - математическая метрика в нормированном векторном пространстве.
• Функционал Минковского - функция, составленная из множества.
• Норма оператора - мера «размера» линейных операторов.
• Паранорма – топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Связь норм и показателей – математическое пространство с понятием расстояния. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Полунорма - функция с неотрицательным действительным знаком в действительном или комплексном векторном пространстве, которая удовлетворяет неравенству треугольника и является абсолютно однородной. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Сублинейная функция - тип функции в линейной алгебре.

Библиография

• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Кубрусли, Карлос С. (2011). Элементы теории операторов (второе изд.). Бостон: Биркхойзер . ISBN  978-0-8176-4998-2 . OCLC   710154895 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .