Коллектор Штейна

, в теории многих комплексных переменных и комплексных многообразий , многообразие Штейна — это комплексное подмногообразие векторного пространства n В математике комплексных измерений. Они были представлены Карлом Штейном и названы в его честь ( 1951 ). Пространство Штейна похоже на многообразие Штейна, но может иметь особенности. Пространства Штейна являются аналогами аффинных многообразий или аффинных схем в алгебраической геометрии.

Определение

Предполагать $X$ представляет собой комплексное многообразие комплексной размерности $n$ и пусть ${\mathcal {O}}(X)$ обозначим кольцо голоморфных функций на $X.$ Мы звоним $X$ если многообразие Штейна, выполняются следующие условия:

• $X$ голоморфно выпукло, т. е. для любого компактного подмножества $K\subset X$, так называемая голоморфно выпуклая оболочка ,

${\bar {K}}=\left\{z\in X\,\left|\,|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right.\right\},$

также является компактным подмножеством $X$.

• $X$ голоморфно отделима, т.е. если $x\neq y$ две точки в $X$, то существует $f\in {\mathcal {O}}(X)$ такой, что $f(x)\neq f(y).$

Некомпактные римановы поверхности являются многообразиями Штейна.

Пусть X — связная некомпактная риманова поверхность . Глубокая теорема Генриха Бенке и Штейна (1948) утверждает, что X является многообразием Штейна.

Другой результат, приписываемый Хансу Грауэрту и Хельмуту Рёрлю (1956), утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение на X тривиально. В частности, каждое линейное расслоение тривиально, поэтому $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0$. Экспоненциальная последовательность пучка приводит к следующей точной последовательности:

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})$

Теперь теорема Картана B показывает, что $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0$, поэтому $H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0$.

Это связано с решением второй проблемы Кузена .

Свойства и примеры многообразий Штейна

• Стандартное комплексное помещение $\mathbb {C} ^{n}$ является многообразием Штейна.

• Каждая область голоморфности в $\mathbb {C} ^{n}$ является многообразием Штейна.

• Совершенно легко показать, что каждое замкнутое комплексное подмногообразие многообразия Штейна также является многообразием Штейна.

• Теорема вложения многообразий Штейна утверждает следующее: каждое многообразие Штейна $X$ комплексной размерности $n$ может быть встроен в $\mathbb {C} ^{2n+1}$ биголоморфным . собственным отображением

Из этих фактов следует, что многообразие Штейна является замкнутым комплексным подмногообразием комплексного пространства, комплексная структура которого аналогична структуре объемлющего пространства (поскольку вложение биголоморфно).

• Каждое многообразие Штейна (комплексной) размерности n имеет гомотопический тип n -мерного CW-комплекса.

• В одном комплексном измерении условие Штейна можно упростить: связная риманова поверхность является многообразием Штейна тогда и только тогда, когда она некомпактна. Это можно доказать, используя версию теоремы Рунге для римановых поверхностей, предложенную Бенке и Штейном.

• Каждое многообразие Штейна $X$ голоморфно растекается, т.е. для каждой точки $x\in X$, есть $n$ голоморфные функции, определенные на всех $X$ которые образуют локальную систему координат, когда ограничены некоторой открытой окрестностью $x$.

• Быть многообразием Штейна эквивалентно тому, чтобы быть (комплексным) сильно псевдовыпуклым многообразием . Последнее означает, что он имеет сильно псевдовыпуклую (или плюрисубгармоническую ) исчерпывающую функцию, т. е. гладкую действительную функцию $\psi$ на $X$ (которую можно считать функцией Морса ) с $i\partial {\bar {\partial }}\psi >0$, такие, что подмножества $\{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}$ компактны в $X$ для каждого действительного числа $c$. Это решение так называемой проблемы Леви . назван в честь Эухенио Леви (1911). Функция $\psi$ предлагает обобщение многообразия Штейна до идеи соответствующего класса компактных комплексных многообразий с краем, называемых областями Штейна . Домен Штейна — это прообраз $\{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}$. Поэтому некоторые авторы называют такие многообразия строго псевдовыпуклыми.

• В связи с предыдущим пунктом существует еще одно эквивалентное и более топологическое определение в комплексной размерности 2: поверхность Штейна — это комплексная поверхность X с вещественной функцией Морса f на X такая, что вдали от критических f точек поле сложных касаний к прообразу $X_{c}=f^{-1}(c)$ представляет собой контактную структуру , которая индуцирует ориентацию X _c, совпадающую с обычной ориентацией границы $f^{-1}(-\infty ,c).$ То есть, $f^{-1}(-\infty ,c)$ штейновским заполнением X является _c .

Существуют многочисленные дальнейшие характеристики таких многообразий, в частности, отражающие свойство наличия у них «многих» голоморфных функций, принимающих значения в комплексных числах. См., например, теоремы Картана A и B , касающиеся пучковых когомологий . Первоначальным толчком было описание свойств области определения (максимального) аналитического продолжения аналитической функции .

В наборе аналогий GAGA многообразия Штейна соответствуют аффинным многообразиям .

Многообразия Штейна в некотором смысле двойственны эллиптическим многообразиям в комплексном анализе, которые допускают «многие» голоморфные функции из комплексных чисел в себя. Известно, что многообразие Штейна эллиптично тогда и только тогда, когда оно фибрантно в смысле так называемой «голоморфной гомотопической теории».

Связь с гладкими многообразиями

Каждое компактное гладкое многообразие размерности 2 n , имеющее только ручки индекса ≤ n , имеет структуру Штейна при n > 2, а при n = 2 то же самое имеет место при условии, что 2-ручки прикреплены к определенным оснащениям (оснащение меньше, чем Система Терстона-Беннекена ). Каждое замкнутое гладкое 4-многообразие представляет собой объединение двух 4-многообразий Штейна, склеенных по общей границе.

Ссылки

• Андрист, Рафаэль (2010). «Пространства Штейна, характеризующиеся своими эндоморфизмами» . Труды Американского математического общества . 363 (5): 2341–2355. arXiv : 0809.3919 . дои : 10.1090/S0002-9947-2010-05104-9 . S2CID   14903691 .
• Форстер, Отто (1981), Лекции по римановым поверхностям , Текст для аспирантов по математике, том. 81, Нью-Йорк: Springer Verlag, ISBN  0-387-90617-7 (включая доказательство теорем Бенке-Штайна и Грауэрта-Рёрля)
• Форстнерич, Франк (2011). Каменные многообразия и голоморфные отображения . Результаты математики и ее пограничные области. 3-я серия / Серия современных обзоров по математике. Том 56. doi : 10.1007/978-3-642-22250-4 . ISBN  978-3-642-22249-8 .
• Хёрмандер, Ларс (1990), Введение в комплексный анализ с несколькими переменными , Математическая библиотека Северной Голландии, том. 7, Амстердам: Издательство Северной Голландии, ISBN  978-0-444-88446-6 , MR   1045639 (включая доказательство теоремы вложения)
• Гомпф, Роберт Э. (1998), «Построение ручек поверхностей Штейна», Annals of Mathematics , Вторая серия, 148 (2), The Annals of Mathematics, Vol. 148, № 2: 619–693, arXiv : math/9803019 , doi : 10.2307/121005 , ISSN   0003-486X , JSTOR   121005 , MR   1668563 , S2CID   17709531 (определения и конструкции доменов Штейна и многообразия в размерности 4)
• Грауэрт, Ганс; Реммерт, Рейнхольд (1979), Теория пространств Стоуна , Основные учения математических наук, том. 236, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  3-540-90388-7 , МР   0580152
• Орнеа, Ливиу; Вербицкий, Миша (2010). «Локально конформные кэлеровы многообразия с потенциалом». Математические Аннален . 348 : 25–33. дои : 10.1007/s00208-009-0463-0 . S2CID   10734808 .
• Исс'Са, Хей (1966). «О мероморфном функциональном поле многообразия Штейна». Анналы математики . 83 (1): 34–46. дои : 10.2307/1970468 . JSTOR   1970468 .
• Штейн, Карл (1951), «Аналитические функции нескольких комплексных переменных при заданных модулях периодичности и проблема второго кузена», Math. (на немецком языке), 123 : 201–222, doi : 10.1007/bf02054949 , MR   0043219 , S2CID   122647212
• Чжан, Цзин (2008). «Алгебраические многообразия Штейна». Письма о математических исследованиях . 15 (4): 801–814. arXiv : math/0610886 . дои : 10.4310/MRL.2008.v15.n4.a16 . МР   2424914 .