Теорема о замкнутой подгруппе

В математике теорема о замкнутой подгруппе (иногда называемая теоремой Картана ) — теорема теории групп Ли . Он утверждает, что если H — замкнутая подгруппа группы Ли G , то H — вложенная группа Ли с гладкой структурой (и, следовательно, топологией группы ), согласующейся с вложением. Один из нескольких результатов, известных как теорема Картана . Впервые он был опубликован в 1930 году Эли Картаном . который был вдохновлен доказательством Джона фон Неймана 1929 года особого случая для групп линейных преобразований .

Обзор

Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$. Пусть теперь H — произвольная замкнутая подгруппа G. группы Необходимо показать, что H — гладкое вложенное подмногообразие в G . Первый шаг — идентифицировать что-то, что могло бы быть алгеброй Ли H , то есть касательным пространством H в точке идентичности. Проблема состоит в том, что не предполагается, что H имеет какую-либо гладкость, и поэтому неясно, как можно определить ее касательное пространство. Чтобы продолжить, определите «алгебру Ли». ${\mathfrak {h}}$ H по формуле $${\mathfrak {h}}=\left\{X\mid e^{tX}\in H,\,\,\forall t\in \mathbf {R} \right\}.$$

Нетрудно показать, что ${\mathfrak {h}}$ является подалгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$. В частности, ${\mathfrak {h}}$ является подпространством ${\mathfrak {g}}$, которое, как можно надеяться, является касательным пространством к H в единице. Однако чтобы эта идея сработала, ${\mathfrak {h}}$ чтобы собрать некоторую интересную информацию о H. должен быть достаточно большим , Если бы, например, H была какой-то большой подгруппой G , но ${\mathfrak {h}}$ оказался нулевым, ${\mathfrak {h}}$ не было бы полезно.

Ключевой шаг, таким образом, состоит в том, чтобы показать, что ${\mathfrak {h}}$ фактически захватывает все элементы H , которые достаточно близки к единице. То есть необходимо доказать следующую критическую лемму:

Лемма . Возьмем небольшую окрестность U начала координат в ${\mathfrak {g}}$ такое, что экспоненциальное отображение диффеоморфно отправляет U в некоторую окрестность $V$ единицы в G и пусть log: V → U — обратное экспоненциальное отображение. Тогда существует некоторая меньшая окрестность W ⊂ V такая, что если h принадлежит W ∩ H , то log( h ) принадлежит ${\mathfrak {h}}$.

Как только это будет установлено, можно использовать экспоненциальные координаты на W , то есть записывать каждый g ∈ W (не обязательно в H ) как g = e ^Х для X = журнал ( г ) . В этих координатах лемма говорит, что X соответствует точке из H именно в том случае, если X принадлежит ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$. То есть в экспоненциальных координатах вблизи единицы H выглядит как ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$. С ${\mathfrak {h}}$ это просто подпространство ${\mathfrak {g}}$, это означает, что ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ это как Р ^к ⊂ Р ^н , с $k=\dim({\mathfrak {h}})$ и $n=\dim({\mathfrak {g}})$. Таким образом, мы продемонстрировали « систему координат среза », в которой H ⊂ G локально выглядит как R ^к ⊂ Р ^н , что является условием вложенного подмногообразия.

Стоит отметить, что Россманн показывает, что для любой подгруппы H группы G (не обязательно замкнутой) алгебра Ли ${\mathfrak {h}}$ из H является подалгеброй Ли в ${\mathfrak {g}}$. Затем Россманн вводит координаты. на H , которые превращают единичный компонент H в группу Ли. Однако важно отметить, что топология H, исходящая из этих координат, не является топологией подмножества. То есть, единичный компонент H является погруженным подмногообразием G , но не вложенным подмногообразием.

В частности, сформулированная выше лемма не верна, если H не замкнуто.

Пример незамкнутой подгруппы

Тор Г. ​Представьте себе изогнутую спираль, на поверхности, изображающую H. лежащую Если а = p ⁄ q , проще говоря, спираль закроется сама в себе в точке (1, 1) после p вращений в φ и q вращений в θ . Если a иррационально, спираль закручивается бесконечно.

В качестве примера подгруппы, которая не является вложенной подгруппой Ли, рассмотрим тор и « иррациональную обмотку тора ». $$G=\mathbb {T} ^{2}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{pmatrix}}\right|\theta ,\phi \in \mathbf {R} \right\},$$и его подгруппа $$H=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbf {R} \right\}{\text{with Lie algebra }}{\mathfrak {h}}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}i\theta &0\\0&ia\theta \end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbf {R} \right\},$$с иррациональным . Тогда H плотно и, следовательно , в G не замкнуто. В относительной топологии небольшое открытое подмножество H состоит из бесконечного числа почти параллельных отрезков прямых на поверхности тора. Это означает, что H не является локально связным . В групповой топологии малые открытые множества представляют собой отдельные отрезки прямых на поверхности тора, а H . локально связен

Пример показывает, что для некоторых групп H в сколь угодно малой окрестности U в относительной топологии τ _r единицы можно найти точки, являющиеся экспонентами элементов h , но их нельзя соединить с единицей путем, остающимся в U . Группа ( H , τ _r ) не является группой Ли. Хотя отображение exp : h → ( H , τ _r ) является аналитической биекцией, его обратное не является непрерывным. То есть, если U ⊂ h соответствует небольшому открытому интервалу − ε < θ < ε , не существует открытого V ⊂ ( H , τ _r ) с log( V ) ⊂ U из-за появления множеств V . Однако с групповой топологией , _H τg τg ) является группой _Ли ( . этой топологии вложение ι : ( H , τg _В ) → G является аналитическим инъективным погружением, но не гомеоморфизмом , а значит, и не вложением. Существуют также примеры групп H, для которых в сколь угодно малой окрестности (в относительной топологии) единицы можно найти точки, не являющиеся экспонентами элементов h . Для замкнутых подгрупп это не так, как показывает приведенное ниже доказательство теоремы.

Приложения

Из-за заключения теоремы некоторые авторы решили определить линейные группы Ли или матричные группы Ли как замкнутые подгруппы GL( n , R ) или GL( n , C ) . В этом случае доказывается, что каждый элемент группы, достаточно близкий к единице, является экспонентой элемента алгебры Ли. (Доказательство практически идентично доказательству теоремы о замкнутой подгруппе, представленной ниже.) Из этого следует, что каждая замкнутая подгруппа является вложенным подмногообразием в GL( n , C ).

Теорема о построении однородного пространства . Если H ⊂ G — замкнутая подгруппа Ли , то G / H , левое смежное пространство, имеет уникальную вещественно-аналитическую структуру многообразия, такую, что фактор-отображение π : G → G / H является аналитической субмерсией. . Левое действие, заданное выражением g ₁ ⋅ ( g ₂ H ) = ( g ₁ g ₂ ) H, превращает G / H в однородное G -пространство .

Теорема о замкнутой подгруппе теперь значительно упрощает гипотезы, априорно расширяя класс однородных пространств. Любая замкнутая подгруппа дает однородное пространство.

Аналогичным образом теорема о замкнутой подгруппе упрощает гипотезу следующей теоремы.

Если X — множество с транзитивным групповым действием , а группа изотропии или стабилизатор точки x ∈ X — замкнутая подгруппа Ли, то X имеет уникальную структуру гладкого многообразия, такую ​​что действие гладкое.

Условия закрытия

несколько достаточных условий замкнутости H ⊂ G Ниже приведены , а значит, и вложенной группы Ли.

• Все классические группы замкнуты в GL( F , n ) , где F — это R , C или H , кватернионы .
• Подгруппа, которая является локально закрытой, является закрытой. Подгруппа называется локально замкнутой, если каждая точка имеет окрестность в U ⊂ G такую, что H ∩ U замкнута в U .
• Если H = AB = { ab | a ∈ A , b ∈ B } , где A — компактная группа, а B — замкнутое множество, то H замкнуто.
• Если h ⊂ g — подалгебра Ли такая, что ни для одного X ∈ g ∖ h , [ X , h ] ∈ h , то Γ( h ) — группа, порожденная e ^час , замкнуто в G .
• Если X ∈ g , то однопараметрическая подгруппа, порожденная X, не является замкнутой тогда и только тогда, когда X подобна над C диагональной матрице с двумя элементами иррационального отношения.
• Пусть h ⊂ g — подалгебра Ли. Если существует односвязная компактная группа k, k изоморфна h , то Γ( h ) замкнута в G. где
• Если G односвязна и h ⊂ g — идеал , то связная подгруппа Ли с алгеброй Ли h замкнута.

Конверс

Вложенная подгруппа Ли H ⊂ G замкнута. поэтому подгруппа является вложенной подгруппой Ли тогда и только тогда, когда она замкнута. Эквивалентно, H является вложенной подгруппой Ли тогда и только тогда, когда ее топология группы равна ее относительной топологии.

Доказательство

Джон фон Нейман в 1929 году доказал теорему для матричных групп , приведенную здесь. Он был видным во многих областях, включая квантовую механику , теорию множеств и основы математики .

Доказательство приведено для групп матриц с G = GL( n , R ) для конкретности и относительной простоты, поскольку матрицы и их экспоненциальное отображение являются более простыми понятиями, чем в общем случае. Исторически этот случай был первым доказан Джоном фон Нейманом в 1929 году и вдохновил Картана на доказательство теоремы о полной замкнутой подгруппе в 1930 году. Доказательство для общего G формально идентично: за исключением того, что элементы алгебры Ли являются левоинвариантными векторными полями на G , а экспоненциальное отображение - это поток векторного поля, равный времени один. Если H ⊂ G с G, замкнутым в GL( n , R ) , то H замкнуто в GL( n , R ) , поэтому специализация на GL( n , R ) вместо произвольного G ⊂ GL( n , R ) не имеет большого значения. .

Доказательство ключевой леммы

Начнем с установления ключевой леммы, изложенной в разделе «Обзор» выше.

Наделите g скалярным произведением (например, скалярным произведением Гильберта–Шмидта ) и пусть h — алгебра Ли H, определенная как h = { X ∈ M _n ( R ) = g | е ^Техас ∈ ЧАС ∀ т ∈ р } . Пусть s = { S ∈ g | ( S , T ) знак равно 0 ∀ T ∈ час } , ортогональное дополнение к часу . Тогда g разлагается в прямую сумму g = s ⊕ h , поэтому каждый X ∈ g однозначно выражается как X = S + T, где S ∈ s , T ∈ h .

Определим отображение Φ: g → GL( n , R ) посредством ( S , T ) ↦ e ^С и ^Т . Разложим экспоненты, $$\Phi (S,T)=e^{tS}e^{tT}=I+tS+tT+O(t^{2}),$$и форвард или дифференциал в точке 0 , Φ _∗ ( S , T ) = d / dt Φ( tS , tT ) | _{t = 0} рассматривается как S + T , т.е. Φ _∗ = Id , тождество. Условие теоремы об обратной функции удовлетворяется при аналитическом Φ , и, таким образом, существуют открытые множества U ₁ ⊂ g , V ₁ ⊂ GL( n , R ) с 0 ∈ U ₁ и I ∈ V ₁ такие, что Φ является вещественным числом. аналитическая биекция из U ₁ в V ₁ с аналитическим обратным. Осталось показать, что U ₁ и V ₁ содержат открытые множества U и V такие, что выполнено заключение теоремы.

Рассмотрим счетный базис окрестностей Β в точке 0 ∈ g , линейно упорядоченный обратным включением B1 _причем ⊂ U1 _, . Предположим, чтобы получить противоречие, что для всех Φ i ( B _i ) ∩ H содержит элемент h _i , который не имеет вида h _i = e ^{Т _я} , Т _я ∈ час . Тогда, поскольку Φ является биекцией на B _i , существует единственная последовательность X _i = S _i + T _i , причем 0 ≠ Si _s ∈ такая и T _i ∈ h, , что X _i ∈ B _i сходящаяся к 0, потому что Β является базисом окрестности, с e ^{И _я} и ^{Т _я} = час _я . Поскольку е ^{Т _я} ∈ H и час _i ∈ H , e ^{И _я} принадлежит H. также

Нормализовать последовательность в s , Y _i = S _я / || С _я || . Она принимает свои значения в единичной сфере в s и, поскольку она компактна , существует сходящаяся подпоследовательность, сходящаяся к Y ∈ s . Индекс i в дальнейшем относится к этой подпоследовательности. Будет показано, что е ^tY ∈ ЧАС , ∀ т ∈ р . Зафиксируйте t и выберите последовательность m _i целых чисел такую, что m _i || С _я || → т как я → ∞ . Например, m _i такое, что m _i || С _я || ≤ т ≤ ( м _я + 1) || С _я || подойдет, так как S _i → 0 . Затем $$(e^{S_{i}})^{m_{i}}=e^{m_{i}S_{i}}=e^{m_{i}\|S_{i}\|Y_{i}}\rightarrow e^{tY}.$$

Поскольку H — группа, левая часть находится в H для всех i . Поскольку H замкнуто, e ^tY ∈ ЧАС , ∀ т , следовательно, Y ∈ h . Это противоречие. Следовательно, для некоторого i множества U = Βi _и V = Φ(Βi ₎ удовлетворяют условиям e ^{U ∩ h} = H ∩ V , а экспонента, ограниченная открытым множеством ( U ∩ h ) ⊂ h, находится в аналитической биекции с открытым множеством Φ( U ) ∩ H ⊂ H . Это доказывает лемму.

Доказательство теоремы

Для j ≥ i образ Bj в под H в _{образует} действием Φ базис I. окрестности Это, по способу построения, базис окрестности как в групповой топологии, так и в относительной топологии . Поскольку умножение в G является аналитическим, сдвиг этого базиса окрестности влево и вправо на элемент группы g ∈ G дает базис окрестности в g . Эти базисы, ограниченные H, дают базы окрестностей при всех h ∈ H . Топология, созданная этими базами, является относительной топологией. Вывод состоит в том, что относительная топология такая же, как и групповая топология.

Затем постройте координатные карты на H . Сначала определим φ ₁ : e ^{( У )} ⊂ грамм → грамм , грамм ↦ журнал( грамм ) . Это аналитическая биекция с аналитической обратной. Более того, если h ∈ H , то φ ₁ ( h ) ∈ h . Зафиксировав базис для g = h ⊕ s и отождествив g с R ^н , то в этих координатах φ ₁ ( h ) = ( x ₁ ( h ), ..., x _m ( h ), 0, ..., 0) , где m — размерность h . Это показывает, что ( е ^В , φ ₁ ) представляет собой срезную диаграмму . Путем перевода карт, полученных из счетного базиса окрестностей, использованного выше, можно получить срезовые карты вокруг каждой точки в H . Это показывает, что H является вложенным подмногообразием G .

Более того, умножение m и инверсия i в H аналитичны, поскольку эти операции аналитичны в G , а ограничение на подмногообразие (вложенное или погруженное) с относительной топологией снова дает аналитические операции m : H × H → G и i : H × H → Г . Но поскольку H вложенно, m : H × H → H и i : H × H → H также аналитичны.

См. также

• Теорема об обратной функции
• Ложная переписка

Ссылки

• Бохнер, С. (1958), «Джон фон Нейман 1903–1957» (PDF) , Биографические мемуары Национальной академии наук : 438–456 . См., в частности, стр. 441 .
• Картан, Эли (1930), «Теория конечных и непрерывных групп и анализ положения », Mémorial Sc. , полет. XLII, стр. 1–61
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666
• Ли, Дж. М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Тексты для выпускников Springer по математике, том. 218, ISBN  0-387-95448-1
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли – введение через линейные группы , Оксфордские тексты для выпускников по математике, Oxford Science Publications, ISBN  0-19-859683-9
• фон Нейман, Джон (1929), «Об аналитических свойствах групп линейных преобразований и их представлений», Mathematical Journal (на немецком языке), 30 (1): 3–42, doi : 10.1007/BF01187749 , S2CID   122565679
• Уиллард, Стивен (1970), Общая топология , Dover Publications, ISBN  0-486-43479-6