H-объект

В математике , особенно в гомотопической алгебре , H-объект ^[1] является категориальным обобщением , H-пространства которое может быть определено в любой категории ${\mathcal {C}}$ с продуктом $\times$ и исходный объект $*$ . Это полезные конструкции, поскольку они помогают экспортировать некоторые идеи из алгебраической топологии и теории гомотопий в другие области, например, в коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию .

Определение [ править ]

В категории ${\mathcal {C}}$ с продуктом $\times$ и исходный объект $*$ , H-объект — это объект $X\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})$ вместе с операцией, называемой умножением, вместе с двусторонним тождеством. Если мы обозначим $u_{X}:X\to *$ , структура H-объекта подразумевает, что существуют отображения

${\begin{aligned}\varepsilon &:*\to X\\\mu &:X\times X\to X\end{aligned}}$

которые имеют коммутационные соотношения

$\mu (\varepsilon \circ u_{X},id_{X})=\mu (id_{X},\varepsilon \circ u_{X})=id_{X}$

Примеры [ править ]

Магмы [ править ]

Все магмы с юнитами являются тайно H-объектами категории ${\textbf {Set}}$ .

H-пространства [ править ]

Другим примером H-объектов являются H-пространства в гомотопической категории топологических пространств. ${\text{Ho}}({\textbf {Top}})$ .

H-объекты в гомотопической алгебре [ править ]

В гомотопической алгебре один класс рассматриваемых H-объектов был предложен Квилленом. ^[1] при построении когомологий Андре–Квиллена для коммутативных колец. В этом разделе пусть все алгебры коммутативны, ассоциативны и унитальны. Если мы позволим $A$ — коммутативное кольцо, и пусть $A\backslash R$ — нижняя категория таких алгебр над $A$ (значение $A$ -алгебры) и положим $(A\backslash R)/B$ быть ассоциативной надкатегорией объектов в $A\backslash R$ , то H-объект этой категории $(A\backslash R)/B$ является алгеброй вида $B\oplus M$ где $M$ это $B$ - модуль . В этих алгебрах есть операции сложения и умножения.

${\begin{aligned}(b\oplus m)+(b'\oplus m')&=(b+b')\oplus (m+m')\\(b\oplus m)\cdot (b'\oplus m')&=(bb')\oplus (bm'+b'm)\end{aligned}}$

Обратите внимание, что приведенная выше карта умножения дает структуру H-объекта $\mu$ . Обратите внимание, что, кроме того, у нас есть две другие структурные карты, заданные формулой

${\begin{aligned}u_{B\oplus M}(b\oplus m)&=b\\\varepsilon (b)&=b\oplus 0\end{aligned}}$

дающая полную структуру H-объекта. Интересно, что эти объекты обладают следующим свойством:

${\text{Hom}}_{(A\backslash R)/B}(Y,B\oplus M)\cong {\text{Der}}_{A}(Y,M)$

дающий изоморфизм между $A$ -производные от $Y$ к $M$ и морфизмы из $Y$ к H-объекту $B\oplus M$ . Фактически это подразумевает $B\oplus M$ является абелевым групповым объектом в категории $(A\backslash R)/B$ поскольку он дает контравариантный функтор со значениями в абелевых группах.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: ^а ^б Квиллен, Дэн. «О (ко-)гомологиях коммутативных колец» . Труды симпозиумов по чистой математике . 1970 : 65–87.

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Квиллен, Дэн. «О (ко-)гомологиях коммутативных колец» . Труды симпозиумов по чистой математике . 1970 : 65–87.

[1]