Т 1 место

Аксиомы разделения в топологических пространствах
Колмогорова Классификация
Т 0	(Kolmogorov)
Т 1	(Фреше)
Т 2	(Хаусдорф)
T 2 ½	(Урысон)
полностью Т 2	(полностью Хаусдорф)
TТ3	(обычный Хаусдорф)
T 3½	(Тихонов)
Т 4	(обычно Хаусдорф)
TТ5	(совершенно нормально Хаусдорф)
TТ6	(совершенно нормально Хаусдорф)
История

В топологии и смежных разделах математики пространство T ₁ , — это топологическое пространство , в котором для каждой пары различных точек каждая имеет окрестность не содержащую другую точку. Пространство R ₀ — это пространство , в котором это справедливо для любой пары топологически различимых точек. Свойства T ₁ и R ₀ являются примерами аксиом разделения .

Определения

Пусть X — топологическое пространство а x и y — точки в X. , Мы говорим, что точки x и y разделены , если каждая из них лежит в окрестности , не содержащей другую точку.

• X называется T ₁ пространством , если любые две различные точки в X разделены.
• X называется R0 _, пространством если любые две топологически различимые точки в X разделены.

Пространство AT ₁ также называется доступным пространством или пространством с топологией Фреше , а пространство R ₀ также называется симметричным пространством . (Термин « пространство Фреше» также имеет совершенно другое значение в функциональном анализе . По этой причине предпочтительным является термин « Т _1» пространство . Существует также понятие пространства Фреше-Урысона как типа секвенциального пространства . Термин «симметричное пространство» также имеет другой смысл .)

Топологическое пространство является пространством T ₁ тогда и только тогда, когда оно одновременно является пространством R ₀ и колмогоровским (или T ₀ ) пространством (т. е. пространством, в котором отдельные точки топологически различимы). Топологическое пространство является пространством R ₀ тогда и только тогда, когда его фактор Колмогорова является пространством T ₁ .

Характеристики

Если $X$ является топологическим пространством, то следующие условия эквивалентны:

1. $X$ является пространством T ₁ .
2. $X$ является T ₀ пространством и пространством R ₀ .
3. Точки закрыты в $X$; то есть для каждой точки $x\in X,$ синглтонный набор $\{x\}$ является закрытым подмножеством $X.$
4. Каждое подмножество $X$ является пересечением всех содержащих его открытых множеств.
5. Каждое конечное множество замкнуто.
6. Каждое коконечное множество $X$ открыт.
7. Для каждого $x\in X,$ ультрафильтр фиксированный при $x$ сходится только к $x.$
8. Для каждого подмножества $S$ из $X$ и каждая точка $x\in X,$ $x$ является предельной точкой $S$ тогда и только тогда, когда каждая окрестность открытая $x$ содержит бесконечно много точек $S.$
9. Каждая карта из пространства Серпинского в $X$ тривиально.
10. Отображение пространства Серпинского в одну точку обладает свойством подъема по отношению к отображению из $X$ в одну точку.

Если $X$ является топологическим пространством, то следующие условия эквивалентны: (где $\operatorname {cl} \{x\}$ означает закрытие $\{x\}$)

1. $X$ является пространством R ₀ .
2. Учитывая любой $x\in X,$ закрытие ​ ​ $\{x\}$ содержит только точки, топологически неотличимые от $x.$
3. Фактор Колмогорова ​ $X$ является Т ₁ .
4. Для любого $x,y\in X,$ $x$ находится в закрытии $\{y\}$ тогда и только тогда, когда $y$ находится в закрытии $\{x\}.$
5. специализацию Предзаказ на на $X$ является симметрично (и, следовательно, отношением эквивалентности ).
6. Наборы $\operatorname {cl} \{x\}$ для $x\in X$ образовать перегородку ​ $X$ (т. е. любые два таких множества либо идентичны, либо не пересекаются).
7. Если $F$ представляет собой замкнутое множество и $x$ это точка не в $F$, затем $F\cap \operatorname {cl} \{x\}=\emptyset .$
8. Каждая окрестность точки $x\in X$ содержит $\operatorname {cl} \{x\}.$
9. Каждое открытое множество является объединением закрытых множеств .
10. Для каждого $x\in X,$ фиксированный ультрафильтр при $x$ сходится только к точкам, топологически неотличимым от $x.$

В любом топологическом пространстве мы имеем как свойства любых двух точек следующие импликации:

разделенный $\implies$ топологически различимый $\implies$ отчетливый

Если первую стрелку можно перевернуть, то пробел будет R ₀ . Если вторую стрелку можно перевернуть, то пробел будет T ₀ . Если составную стрелку можно перевернуть, то пространство будет T ₁ . Пространство является T ₁ тогда и только тогда, когда оно одновременно является R ₀ и T ₀ .

Конечное пространство T1 _{обязательно} дискретно ( поскольку каждое множество замкнуто).

Пространство, которое локально является T ₁ , в том смысле, что каждая точка имеет окрестность T ₁ (если задана топология подпространства), также является T ₁ . Аналогично, пространство, которое локально является R ₀ , также является R ₀ . Напротив, для пространств T ₂ соответствующее утверждение не выполняется . Например, линия с двумя началами не является хаусдорфовым пространством , но является локально хаусдорфовым пространством.

Примеры

• Пространство Серпинского является простым примером топологии, которая является T ₀ , но не является T ₁ и, следовательно, не R ₀ .
• Топология перекрывающихся интервалов является простым примером топологии, которая является T ₀ , но не является T ₁ .
• Каждое слабо хаусдорфово пространство есть T ₁ , но обратное, вообще говоря, неверно.
• Коконечная топология на бесконечном множестве является простым примером топологии, которая является T ₁ , но не является Хаусдорфовой (T ₂ ). Это следует из того, что никакие два непустых открытых множества коконитной топологии не пересекаются. Конкретно, пусть $X$ быть набором целых чисел и определить открытые множества $O_{A}$ быть теми подмножествами $X$ которые содержат все, кроме конечного подмножества $A$ из $X.$ Тогда, учитывая различные целые числа $x$ и $y$:

• открытый набор $O_{\{x\}}$ содержит $y$ но не $x,$ и открытый набор $O_{\{y\}}$ содержит $x$ и не $y$;
• эквивалентно, каждый одноэлементный набор $\{x\}$ является дополнением открытого множества $O_{\{x\}},$ так что это закрытое множество;

поэтому результирующее пространство равно T ₁ по каждому из приведенных выше определений. Это пространство не является T ₂ , поскольку пересечение любых двух открытых множеств $O_{A}$ и $O_{B}$ является $O_{A}\cap O_{B}=O_{A\cup B},$ который никогда не бывает пустым. Альтернативно, множество четных целых чисел компактно , но не замкнуто , что было бы невозможно в хаусдорфовом пространстве.

• Приведенный выше пример можно немного изменить, чтобы создать двунаправленную коконечную топологию , которая является примером пространства R ₀ , которое не является ни T ₁ , ни R ₁ . Позволять $X$ снова будет набором целых чисел, и используя определение $O_{A}$ из предыдущего примера определите подбазу открытых наборов $G_{x}$ для любого целого числа $x$ быть $G_{x}=O_{\{x,x+1\}}$ если $x$ является четным числом , и $G_{x}=O_{\{x-1,x\}}$ если $x$ странно. Тогда базис топологии задается конечными пересечениями суббазисных множеств: учитывая конечное множество $A,$открытые наборы $X$ являются

$U_{A}:=\bigcap _{x\in A}G_{x}.$

Полученное пространство не является T ₀ (и, следовательно, не T ₁ ), поскольку точки $x$ и $x+1$ (для $x$ даже) топологически неразличимы; но в остальном он по существу эквивалентен предыдущему примеру.

• Топология Зарисского на алгебраическом многообразии (над алгебраически замкнутым полем ) есть T ₁ . Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что синглтон, содержащий точку с локальными координатами $\left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right)$ — множество многочленов нулевое $x_{1}-c_{1},\ldots ,x_{n}-c_{n}.$ Таким образом, точка закрыта. Однако этот пример хорошо известен как пространство, не являющееся Хаусдорфом (Т ₂ ). Топология Зарисского, по сути, является примером коконитной топологии.
• Топология Зарисского на коммутативном кольце (т. е. простой спектр кольца ) равна T ₀ , но, вообще говоря, не T ₁ . Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что замыкание одноточечного множества — это множество всех простых идеалов , содержащих эту точку (и, следовательно, топология равна T ₀ ). Однако это замыкание является максимальным идеалом , и единственные замкнутые точки являются максимальными идеалами и, таким образом, не содержатся ни в одном из открытых множеств топологии, и, таким образом, пространство не удовлетворяет аксиоме T ₁ . Чтобы внести ясность в этот пример: топология Зариского для коммутативного кольца. $A$ задается следующим образом: топологическое пространство — это множество $X$ всех основных идеалов $A.$ Основу топологии составляют открытые множества $O_{a}$ простых идеалов, не содержащих $a\in A.$ Несложно убедиться, что это действительно составляет основу: так $O_{a}\cap O_{b}=O_{ab}$ и $O_{0}=\varnothing$ и $O_{1}=X.$ Замкнутые множества топологии Зарисского — это множества простых идеалов, содержат которые $a.$ Обратите внимание, как этот пример слегка отличается от приведенного выше примера коконечной топологии: точки в топологии, как правило, не замкнуты, тогда как в пространстве T ₁ точки всегда замкнуты.
• Каждое полностью несвязное пространство есть T ₁ , поскольку каждая точка является компонентом связности и, следовательно, замкнута.

Обобщения на другие виды пространств

Термины «T ₁ », «R ₀ » и их синонимы могут быть также применены к таким вариантам топологических пространств, как равномерные пространства , пространства Коши и пространства сходимости .Характеристика, которая объединяет концепцию во всех этих примерах, состоит в том, что пределы фиксированных ультрафильтров (или постоянных сетей ) единственны (для пространств T ₁ ) или единственны с точностью до топологической неотличимости (для пространств R ₀ ).

Как оказывается, равномерные пространства и, в более общем плане, пространства Коши всегда являются R ₀ , поэтому условие T ₁ в этих случаях сводится к условию T ₀ .Но само по себе R ₀ может быть интересным условием для других видов пространств сходимости, таких как предтопологические пространства .

См. также

• Топологическое свойство - Математическое свойство пространства.

Библиография

• A.V. Arkhangel'skii, L.S. Pontryagin (Eds.) General Topology I (1990) Springer-Verlag ISBN   3-540-18178-4 .
• Фолланд, Джеральд (1999). Реальный анализ: современные методы и их приложения (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. с. 116 . ISBN  0-471-31716-0 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший, Контрпримеры в топологии . Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1995. ISBN   0-486-68735-X (Дуврское издание).
• Уиллард, Стивен (1998). Общая топология . Нью-Йорк: Дувр. стр. 86–90. ISBN  0-486-43479-6 .