Группа с операторами

В абстрактной алгебре , разделе математики , группа с операторами или Ω- группа — это алгебраическая структура , которую можно рассматривать как группу вместе с множеством Ω, которое особым образом действует на элементы группы.

Группы с операторами тщательно изучались Эмми Нётер и ее школой в 1920-х годах. Она использовала эту концепцию в своей первоначальной формулировке трех теорем изоморфизма Нётер .

Определение

Группа с операторами $(G,\Omega )$ можно определить как группа $G=(G,\cdot )$ вместе с действием множества $\Omega$ на $G$:

$\Omega \times G\rightarrow G:(\omega ,g)\mapsto g^{\omega }$

что является дистрибутивным относительно группового закона:

$(g\cdot h)^{\omega }=g^{\omega }\cdot h^{\omega }.$

Для каждого $\omega \in \Omega$, приложение $g\mapsto g^{\omega }$ является эндоморфизмом G . тогда Отсюда следует, что Ω-группу также можно рассматривать как группу G с индексированным семейством $\left(u_{\omega }\right)_{\omega \in \Omega }$ эндоморфизмов G .

$\Omega$ называется областью оператора . Ассоциированные эндоморфизмы называются гомотетиями G ​ .

Даны две группы G , H с одной и той же областью определения оператора. $\Omega$, гомоморфизм групп с операторами из $(G,\Omega )$ к $(H,\Omega )$ является групповым гомоморфизмом $\phi :G\to H$ удовлетворяющий

$\phi \left(g^{\omega }\right)=(\phi (g))^{\omega }$ для всех $\omega \in \Omega$ и $g\in G.$

Подгруппа S . группы G называется стабильной подгруппой $\Omega$-подгруппа или $\Omega$-инвариантная подгруппа , если она соблюдает гомотетии, т.е.

$s^{\omega }\in S$ для всех $s\in S$ и $\omega \in \Omega .$

Теоретико-категорные замечания

В теории категорий группу с операторами можно определить как объект функторной категории Grp ^М где M — моноид (т.е. категория с одним объектом), а Grp обозначает категорию групп . Это определение эквивалентно предыдущему при условии, что $\Omega$ является моноидом (в противном случае мы можем расширить его, включив в него личность и все композиции ).

Морфизм (т. е в этой категории — это естественное преобразование между двумя функторами . двумя группами с операторами, имеющими одну и ту же операторную область M ). Мы снова восстанавливаем приведенное выше определение гомоморфизма групп с операторами (где f — естественного компонента преобразования).

Группа с операторами также является отображением

$\Omega \rightarrow \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G),$

где $\operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G)$ — множество групповых эндоморфизмов G .

Примеры

• Для любой группы G ( G , ∅) тривиально является группой с операторами
• Учитывая модуль M над кольцом R , R действует скалярным умножением на основную абелеву группу M , поэтому ( M , R ) является группой с операторами.
• В качестве частного случая вышеизложенного каждое векторное пространство над полем K представляет собой группу с операторами ( V , K ).

Приложения

Теорема Джордана–Гёльдера справедлива и в контексте групп с операторами. Требование наличия у группы композиционного ряда аналогично требованию компактности в топологии и иногда может быть слишком строгим требованием. Естественно говорить о «компактности относительно множества», т.е. говорить о композиционной серии, где каждая ( нормальная ) подгруппа является подгруппой операторов относительно набора операторов X рассматриваемой группы.

См. также

• Групповое действие

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1974). Элементы математики: Алгебра I, главы 1–3 . Германн. ISBN  2-7056-5675-8 .
• Бурбаки, Николя (1998). Элементы математики: Алгебра I, главы 1–3 . Спрингер-Верлаг. ISBN  3-540-64243-9 .
• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-98403-8 .