Задача о конгруэнтной решетке

В математике спрашивает проблема решетки конгруэнций , изоморфна ли каждая алгебраическая решетке дистрибутивная решетка какой конгруэнций -либо другой решетки. Задача была поставлена ​​Робертом П. Дилвортом , и в течение многих лет она была одной из самых известных и давних открытых задач в теории решеток ; оно оказало глубокое влияние на развитие самой теории решеток. Гипотеза о том, что каждая дистрибутивная решетка является конгруэнтной решеткой, верна для всех дистрибутивных решеток с не более чем ℵ ₁ компактными элементами , но Ф. Верунг привел контрпример для дистрибутивных решеток с ℵ ₂ компактными элементами, используя конструкцию, основанную на теореме Куратовского о свободном множестве .

Предварительные сведения

обозначим Через Con A решетку конгруэнций алгебры A , т. е. решетку всех конгруэнций алгебры A по включению.

Следующее является универсально-алгебраической тривиальностью. Он говорит, что конечность порождения сравнения является свойством теории решетки.

Лемма. Конгруэнция алгебры A конечно порождена тогда и только тогда, когда она является компактным элементом Con A .

Поскольку каждая конгруэнция алгебры представляет собой объединение конечно порожденных конгруэнций, находящихся под ней (например, каждый подмодуль модуля . является объединением всех его конечно порожденных подмодулей), мы получаем следующий результат, впервые опубликованный Биркгофом и Фринком в 1948 году

Теорема (Биркгоф и Фринк, 1948). Решетка конгруэнций Con A любой алгебры A является алгебраической решеткой .

Хоть конгруэнции решеток и теряют кое-что по сравнению с группами , модулями , кольцами (их нельзя отождествлять с подмножествами Вселенной), но они также обладают свойством, уникальным среди всех других встречающихся пока структур.

Теорема (Фунаяма и Накаяма, 1942). Решетка конгруэнций любой решетки дистрибутивна .

Это говорит о том, что α ∧ (β ∨ γ) = (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) для любых сравнений α, β и γ данной решетки. Аналог этого результата неверен, например, для модулей, поскольку $A\cap (B+C)\neq (A\cap B)+(A\cap C)$, как правило, для подмодулей A , B , C данного модуля .

Вскоре после этого результата Дилворт доказал следующий результат. Он не опубликовал результат, но он выглядит как упражнение, приписываемое ему в работе Биркгофа 1948 года. Первое опубликованное доказательство находится у Гретцера и Шмидта 1962 года.

Теорема (Дилворт ≈1940, Гретцер и Шмидт, 1962). Всякая конечная дистрибутивная решетка изоморфна конгруэнц-решетке некоторой конечной решетки.

Важно отметить, что решетка решений, найденная в доказательстве Гретцера и Шмидта, является секционно дополняемой , то есть имеет наименьший элемент (верно для любой конечной решетки) и для всех элементов a ⩽ b существует элемент x с a ∨ x знак равно б и а ∧ Икс знак равно 0 . Также в этой статье CLP впервые излагается в опубликованной форме, хотя кажется, что самые ранние попытки CLP были предприняты самим Дилвортом. Конгруэнтным решеткам конечных решеток уделяется огромное внимание, ссылкой на которую является монография Гретцера 2005 года.

---

Задача конгруэнтной решетки (CLP): Всякая ли дистрибутивная алгебраическая решетка изоморфна конгруэнц-решетке некоторой решетки?

---

Проблема CLP была одной из самых интригующих и давних открытых проблем теории решеток. Некоторые связанные с этим результаты универсальной алгебры следующие.

Теорема (Гретцер и Шмидт, 1963). Всякая алгебраическая решетка изоморфна конгруэнц-решетке некоторой алгебры.

Решетка Sub V всех подпространств векторного пространства V заведомо является алгебраической решеткой. Как показывает следующий результат, эти алгебраические решетки трудно представить.

Теорема (Фриз, Лампе и Тейлор, 1979). Пусть V — бесконечномерное векторное пространство над несчетным полем F . Тогда из Con A , изоморфного Sub V, следует, что A имеет по крайней мере карточные операции F для любой алгебры A .

Поскольку V бесконечномерен, самый большой элемент ( единица ) Sub V не является компактным. Как бы безобидно это ни звучало, предположение о компактности единицы существенно в формулировке приведенного выше результата, о чем свидетельствует следующий результат.

Теорема (Лампе, 1982). Всякая алгебраическая решетка с компактной единицей изоморфна конгруэнц-решетке некоторого группоида .

Полурешетчатая формулировка CLP

Решетка конгруэнций Con алгебры A является A алгебраической решеткой . (∨,0) -полурешетка Con компактных элементов A обозначается Con _c A и иногда называется полурешеткой A конгруэнц - . Тогда Con A изоморфна решетке идеалов Con _c A . Используя классическую эквивалентность между категорией всех (∨,0)-полурешеток и категорией всех алгебраических решеток (с подходящими определениями морфизмов ), как это изложено здесь , мы получаем следующую теоретико-полурешеточную формулировку CLP.

---

Теоретико-полурешеточная формулировка CLP: Всякая ли дистрибутивная (∨,0)-полурешетка изоморфна конгруэнц-полурешетке некоторой решетки?

---

Скажем, что дистрибутивная (∨,0)-полурешетка представима , если она изоморфна Con _c L для некоторой L. решетки Итак, CLP спрашивает, представима ли каждая дистрибутивная (∨,0)-полурешетка.

Многие исследования этой проблемы связаны с диаграммами полурешеток или алгебр. Наиболее полезный фольклорный вывод по этому поводу заключается в следующем.

Теорема. Функтор Con _c , определенный на всех алгебрах данной сигнатуры , для всех (∨,0)-полурешеток, сохраняет прямые пределы .

Подход Шмидта через дистрибутивные гомоморфизмы соединения

Мы говорим, что (∨,0)-полурешетка удовлетворяет условию Шмидта , если она изоморфна фактору обобщенной булевой полурешетки B при некоторой дистрибутивной конгруэнции соединения B . Одним из наиболее глубоких результатов о представимости (∨,0)-полурешеток является следующий.

Теорема (Шмидт, 1968). Любая (∨,0)-полурешетка, удовлетворяющая условию Шмидта, представима.

В связи с этим возникла следующая проблема, изложенная в той же статье.

---

Задача 1 (Шмидт, 1968). Удовлетворяет ли какая-либо (∨,0)-полурешетка условию Шмидта?

---

Частично положительные ответы следующие.

Теорема (Шмидт, 1981). Любая дистрибутивная решетка с нулем удовлетворяет условию Шмидта; таким образом, оно представимо.

Этот результат был дополнительно улучшен следующим образом посредством очень длинного и технического доказательства с использованием моделей принуждения и булевых значений.

Теорема (Верунг, 2003). Любой прямой предел счетной последовательности дистрибутивных решеток с нулем и (∨,0)-гомоморфизмами представим.

Другие важные результаты о представимости связаны с мощностью полурешетки. Следующий результат был подготовлен к публикации Доббертином после кончины Хана в 1985 году. Две соответствующие статьи были опубликованы в 1989 году.

Теорема (Хун, 1985). Любая дистрибутивная (∨,0)-полурешетка мощности не более ℵ ₁ удовлетворяет условию Шмидта. Таким образом, оно представимо.

Используя разные методы, Доббертин получил следующий результат.

Теорема (Доббертин, 1986). Любая дистрибутивная (∨,0)-полурешетка, в которой каждый главный идеал не более чем счетен, представима.

---

Проблема 2 (Доббертин, 1983). Измерим ли каждый моноид конического уточнения ?

---

подход Пудлака; диаграммы подъема (∨,0)-полурешеток

Подход CLP, предложенный Пудлаком в его статье 1985 года, отличается. Он основан на следующем результате, Факт 4, с. 100 в статье Пудлака 1985 года, полученную ранее Ю. Л. Ершовым в качестве основной теоремы раздела 3 «Введения» его монографии 1977 г.

Теорема (Ершов 1977, Пудлак 1985). Любая дистрибутивная (∨,0)-полурешетка является направленным объединением ее конечных дистрибутивных (∨,0)-подполурешеток.

Это означает, что каждое конечное подмножество в дистрибутивной (∨,0)-полурешетке S содержится в некоторой конечной дистрибутивной (∨,0)-подполурешетке S . Теперь мы пытаемся представить данную дистрибутивную (∨,0)-полурешетку S как Con _c L для некоторой решетки L . Написание S как направленного союза $S=\bigcup (S_{i}\mid i\in I)$ конечных дистрибутивных (∨,0)-подполурешеток, мы надеемся представить каждую S _i как решетку конгруэнций решетки L _i с решеточными гомоморфизмами f _i ^дж : L _i → L _j , для i ≤ j в I , такой, что диаграмма ${\mathcal {S}}$ всех Si _j со всеми отображениями включения i _→ S _S для i ⩽ в I эквивалентно естественно j $(\mathrm {Con_{c}} \,L_{i},\mathrm {Con_{c}} \,f_{i}^{j}\mid i\leq j{\text{ in }}I)$, мы говорим, что диаграмма $(L_{i},f_{i}^{j}\mid i\leq j{\text{ in }}I)$ лифты ${\mathcal {S}}$ (относительно функтора Con _c ). Если это возможно, то, как мы видели, функтор Con _c сохраняет прямые пределы, прямой предел $L=\varinjlim _{i\in I}L_{i}$ удовлетворяет ${\rm {Con_{c}}}\,L\cong S$.

Хотя вопрос о том, можно ли это сделать вообще, оставался открытым около 20 лет, Пудлак смог доказать это для дистрибутивных решеток с нулем, расширив тем самым один из результатов Шмидта, предоставив функториальное решение.

Теорема (Пудлак, 1985). Существует прямой предел, сохраняющий функтор Φ, из категории всех дистрибутивных решеток с нулевыми и 0-решеточными вложениями в категорию всех решеток с нулевыми и 0-решеточными вложениями, такой, что Con _c Φ естественно эквивалентен тождеству. Более того, Φ( S ) является конечной атомистической решеткой для любой конечной дистрибутивной (∨,0)-полурешетки S .

Этот результат дополнительно улучшен с помощью еще более сложной конструкции до локально конечных, секционно-дополняемых модульных решеток, предложенных Ружичкой в ​​2004 году. и 2006.

В 1985 году Пудлак спросил, можно ли распространить его результат на всю категорию дистрибутивных (∨,0)-полурешеток с (∨,0)-вложениями. Проблема оставалась открытой до тех пор, пока недавно Тума и Верунг не разрешили ее отрицательно.

Теорема (Тума и Верунг, 2006). Существует диаграмма D конечных булевых (∨,0)-полурешеток и (∨,0,1)-вложений, индексированных конечным частично упорядоченным множеством, которая не может быть поднята относительно функтора Con _c никакой диаграммой решеток и решеточных гомоморфизмов.

В частности, отсюда сразу следует, что CLP не имеет функториального решения. следует Более того, из глубоких результатов Кирнса и Сендреи по универсальной алгебре 1998 года в так называемой теории коммутаторов многообразий , что приведенный выше результат можно распространить с многообразия всех решеток на любое многообразие ${\mathcal {V}}$ такой, что все Con A , для $A\in {\mathcal {V}}$, удовлетворяют фиксированному нетривиальному тождеству в сигнатуре (∨,∧) (короче, с нетривиальным конгруэнтным тождеством ).

Следует также отметить, что многие попытки CLP также основывались на следующем результате, впервые доказанном Булман-Флемингом и Макдауэллом в 1978 г. используя категоричный результат Шеннона 1974 года, см. также прямой аргумент Goodearl and Wehrung в 2001 году.

Теорема (Булман-Флеминг и Макдауэлл, 1978). Всякая дистрибутивная (∨,0)-полурешетка является прямым пределом конечных булевых (∨,0)-полурешеток и (∨,0)-гомоморфизмов.

Следует отметить, что хотя переходные гомоморфизмы, используемые в теореме Ершова-Пудлака, являются (∨,0)-вложениями, переходные гомоморфизмы, используемые в приведенном выше результате, не обязательно являются взаимно однозначными, например, когда кто-то пытается представить трехэлементная цепь. Практически это не вызывает особых затруднений и позволяет доказать следующие результаты.

Теорема. Всякая дистрибутивная (∨,0)-полурешетка мощности не выше ℵ ₁ изоморфна

(1) Con _c L для некоторой локально конечной относительно дополняемой модульной решетки L (Tůma 1998 и Grätzer, Lakser и Wehrung 2000).

(2) Полурешетка конечно порожденных двусторонних идеалов некоторого (не обязательно единичного) регулярного кольца фон Неймана (Верунг, 2000).

(3) Con _c L для некоторой модулярной решетки L с секционными дополнениями (Wehrung 2000).

(4) Полурешетка конечно порожденных нормальных подгрупп некоторой локально конечной группы (Ружичка, Тума и Верунг, 2007).

(5) Решетка подмодулей некоторого правого модуля над (некоммутативным) кольцом (Ружичка, Тума и Верунг, 2007).

Конгруэнц-решетки решеток и нестабильная K-теория регулярных колец фон Неймана

Напомним, что для (унитального, ассоциативного) кольца R обозначается через V(R) (конический, коммутативный) моноид классов изоморфизма конечно порожденных проективных правых R -модулей, см . здесь подробнее . Напомним, что если R регулярен по фон Нейману , то V(R) является измельчающим моноидом . Обозначим через Id _c R (∨,0)-полурешетку конечно порожденных двусторонних R идеалов . Обозначим через L(R) решетку всех главных правых идеалов регулярного кольца фон Неймана R . Хорошо известно, что L(R) — с дополнениями модулярная решетка .

Следующий результат был получен Верунгом, опирающимся на более ранние работы, в основном Йонссона и Гудерла.

Теорема (Верунг, 1999). Пусть R — регулярное кольцо фон Неймана. Тогда (∨,0)-полурешетки Id _c R и Con _c L(R) изоморфны максимальному полурешеточному фактору V (R) .

Бергман доказывает это в известной неопубликованной заметке 1986 года. что любая не более чем счетная дистрибутивная (∨,0)-полурешетка изоморфна Id _c R для некоторого локально матричного кольца R (над любым заданным полем). Этот результат распространен на полурешетки мощности не более ℵ ₁ в 2000 году Верунгом: сохраняя только регулярность R (построенное доказательством кольцо не является локально матричным). Вопрос о том, R можно ли считать _{локально матриальным в случае ℵ 1} , некоторое время оставался открытым, пока не был опровергнут Верунгом в 2004 году. Возвращаясь к решеточному миру, используя приведенную выше теорему и используя теоретико-решеточный аналог конструкции V(R) , называемый моноидом размерности , введенный Верунгом в 1998 году: дает следующий результат.

Теорема (Верунг, 2004). Существует дистрибутивная (∨,0,1)-полурешетка мощности ℵ ₁ , не изоморфная Con _c L , для любой модулярной решетки L, каждая конечно порожденная подрешетка которой имеет конечную длину.

---

Задача 3 (Гудирл, 1991). Является ли положительный конус любой размерной группы с единицей порядка изоморфным V(R) для некоторого регулярного кольца фон Неймана R ?

---

Первое применение теоремы Куратовского о свободном множестве.

Вышеупомянутая проблема 1 (Шмидт), проблема 2 (Доббертин) и проблема 3 (Гудирл) были решены одновременно отрицательно в 1998 году.

Теорема (Верунг, 1998). Существует векторное пространство G размерности над рациональными числами с порядком единицы, положительный конус которого G ⁺ не изоморфно V(R) для любого регулярного кольца фон Неймана R и не измеримо в смысле Доббертина. , максимальный полурешеточный фактор G Более того ⁺ не удовлетворяет условию Шмидта. Более того, G может иметь любую мощность, большую или равную ℵ ₂ .

Из ранее упомянутых работ Шмидта, Хана, Доббертина, Гудерла и Хандельмана следует, что оценка ℵ ₂ является оптимальной во всех трех отрицательных результатах, приведенных выше.

Как следует из оценки ℵ ₂ , здесь задействована бесконечная комбинаторика. Используемый принцип — это теорема Куратовского о свободном множестве только случай n=2 , впервые опубликованная в 1951 году . Здесь используется .

Полурешетчатая часть приведенного выше результата достигается с помощью бесконечного теоретико-полурешеточного утверждения URP ( Uniform Refinement Property ). Если мы хотим опровергнуть проблему Шмидта, идея состоит в том, чтобы (1) доказать, что любая обобщенная булева полурешетка удовлетворяет URP (что легко), (2) что URP сохраняется при гомоморфном образе при слабо дистрибутивном гомоморфизме (что также легко) и (3) существует дистрибутивная (∨,0)-полурешетка мощности ℵ ₂ , которая не удовлетворяет URP (что сложно и использует теорему Куратовского о свободном множестве).

Схематически конструкцию приведенной выше теоремы можно описать следующим образом. Для множества Ω мы рассматриваем частично упорядоченное векторное пространство E(Ω), определенное генераторами 1 и a _i,x для i<2 и x в Ω, и отношениями a _0,x +a _1,x =1 , a _0,x ≥ 0 и a _1,x ≥ 0 для любого x в Ω. Используя сколемизацию теории групп размерностей, мы можем функториально вложить E(Ω) в векторное пространство размерности F(Ω) . Контрпример векторного пространства к приведенной выше теореме: G=F(Ω) для любого множества Ω, содержащего не менее ℵ ₂ элементов.

Этот контрпример впоследствии был модифицирован Площицей и Тумой до прямой полурешеточной конструкции. Для (∨,0)-полурешетки большая полурешетка R(S) — это (∨,0)-полурешетка, свободно порожденная новыми элементами t(a,b,c) для a, b, c в S такая, что c ∨ a ​​∨ b , подчиненный единственным соотношениям c=t(a,b,c) ∨ t(b,a,c) и t(a,b,c) ⩽ a . Повторение этой конструкции дает свободное дистрибутивное расширение $D(S)=\bigcup (R^{n}(S)\mid n<\omega )$ С. ​ ​Теперь для множества Ω пусть L(Ω) — (∨,0)-полурешетка, определенная образующими 1 и a _i,x для i<2 и x в Ω, и отношениями a _0,x ∨ a _{1, x} =1 для любого x в Ω. Наконец, положим G(Ω)=D(L(Ω)) .

следующее свойство равномерного уточнения В большинстве связанных работ используется . Это модификация модели, представленной Верунгом в 1998 и 1999 годах.

Определение (Площица, Тума и Верунг, 1998). Пусть e — элемент (∨,0)-полурешетки S . Мы говорим, что свойство слабого равномерного уточнения WURP выполняется при e , если для всех семейств $(a_{i})_{i\in I}$ и $(b_{i})_{i\in I}$ элементов в S таких, что a _i ∨ b _i =e для всех i в I , существует семейство $(c_{i,j}\mid (i,j)\in I\times I)$ элементов S таких, что соотношения

• c _i,j ≤ a _i ,b _j ,

• c _i,j ∨ a _j ∨ b _i =e ,

• c _i,k ≤ c _i,j ∨ c _j,k

справедливо для всех i, j, k в I . Мы говорим, что S удовлетворяет WURP, если WURP выполняется для каждого элемента S .

Опираясь на вышеупомянутую работу Верунга о векторных пространствах размерности, Плошчица и Тума доказали, что WURP не выполняется в G(Ω) для любого множества Ω мощности не менее ℵ ₂ . Следовательно, G(Ω) не удовлетворяет условию Шмидта. Все упомянутые здесь результаты отрицательного представления всегда используют некоторое свойство однородного уточнения , включая первое, касающееся векторных пространств размерностей.

Однако полурешетки, использованные в этих отрицательных результатах, относительно сложны. Следующий результат, доказанный Площицей, Темой и Верунгом в 1998 году, более поразителен, поскольку показывает примеры представимых полурешеток, которые не удовлетворяют условию Шмидта. Обозначим через F _V (Ω) свободную решетку на Ω в V для любого многообразия V решеток.

Теорема (Площица, Тума и Верунг, 1998). Полурешетка Con _c F _V (Ω) не удовлетворяет WURP для любого множества Ω мощности не менее ℵ ₂ и любого недистрибутивного многообразия V решеток. Следовательно, Con _c F _V (Q) не удовлетворяет условию Шмидта.

Это доказали Тума и Верунг в 2001 году. что Con _c F _V (Ω) не изоморфно Con _c L для любой решетки L с перестановочными конгруэнциями . Используя небольшое ослабление WURP, этот результат был распространен на произвольные алгебры с перестановочными конгруэнциями Ружичкой, Темой и Верунгом в 2007 году. Следовательно, например, если Ω имеет не менее ℵ ₂ элементов, то Con _c F _V (Ω) не изоморфна решетке нормальных подгрупп любой группы или решетке подмодулей любого модуля.

Решение CLP: лемма об эрозии

Следующая недавняя теорема решает проблему CLP.

Теорема (Верунг, 2007). Полурешетка G(Ω) не изоморфна Con _c L ни для какой решетки L , если в множестве Ω есть хотя бы ℵ _ω+1 элементов.

Следовательно, противоположный пример CLP был известен уже почти десять лет, вот только никто не знал, почему он сработал! Все результаты, предшествовавшие приведенной выше теореме, использовали ту или иную форму перестановочности сравнений. Трудность заключалась в том, чтобы найти достаточную структуру в конгруэнц-решетках неконгруэнц-перестановочных решеток.

Мы будем обозначать через ε "функцию четности" натуральных чисел, т. е. ε( n )= n mod 2, для любого натурального числа n .

Пусть L — алгебра , обладающая полурешеточной структурой ( L , ∨) такой, что каждая конгруэнция L является также конгруэнцией для операции ∨. Мы ставим

$U\vee V=\{u\vee v\mid (u,v)\in U\times V\},\quad {\text{for all }}U,V\subseteq L,$

и обозначим через Con _c ^В L - (∨,0)-подполурешетка Con _c L, порожденная всеми главными конгруэнциями Θ( u , v ) (= наименьшее сравнение L , которое отождествляет u и v ), где ( u , v ) принадлежит U × U . Мы ставим Θ ⁺ ( u , v )=Θ( u ∨ v , v ), для всех u, v в L .br />

Лемма об эрозии (Wehrung 2007). Пусть x ₀ , x ₁ в L и пусть $Z=\{z_{0},z_{1},\dots ,z_{n}\}$, для положительного целого числа n — конечное подмножество L с $\bigvee _{i<n}z_{i}\leq z_{n}$. Помещать

$\alpha _{j}=\bigvee (\Theta _{L}(z_{i},z_{i+1})\mid i<n,\ \varepsilon (i)=j),{\text{ for all }}j<2.$

Тогда есть сравнения $\theta _{j}\in \mathrm {Con_{c}} ^{\{x_{j}\}\vee Z}L$, для j<2 , такой, что

$z_{0}\vee x_{0}\vee x_{1}\equiv z_{n}\vee x_{0}\vee x_{1}{\pmod {\theta _{0}\vee \theta _{1}}}\quad {\text{and}}\quad \theta _{j}\subseteq \alpha _{j}\cap \Theta _{L}^{+}(z_{n},x_{j}),{\text{ for all }}j<2.$

(Обратите внимание на слабое формальное сходство с разрешением первого порядка в математической логике. Можно ли развивать эту аналогию дальше?)

Доказательство приведенной выше теоремы основано на сопоставлении структурной теоремы для конгруэнтных решеток полурешеток, а именно леммы об эрозии, против неструктурных теорем для свободных дистрибутивных расширений G(Ω) , основная из которых называется леммой об испарении . Хотя последние технически сложны, они в некотором смысле предсказуемы. Напротив, доказательство леммы об эрозии элементарно и легко, поэтому, вероятно, странность ее утверждения объясняет, что она так долго скрывалась.

Более того, фактически доказано в приведенной выше теореме: для любой алгебры L с конгруэнц-совместимой структурой соединения-полурешетки с единицей и для любого множества Ω, содержащего не менее ℵ _ω+1 элементов, не существует слабо дистрибутивного гомоморфизма µ: Con _c L → G(Ω), содержащий 1 в своем диапазоне . В частности, CLP была, в конце концов, проблемой не теории решеток, а скорее универсальной алгебры , точнее, теории полурешеток ! Эти результаты также можно перевести с точки зрения свойства равномерного уточнения , обозначаемого CLR в статье Верунга, представляющей решение CLP, которое заметно сложнее, чем WURP.

оценку мощности ℵ _ω+1 улучшил _{до оптимальной оценки ℵ 2 .} Наконец, Ружичка

Теорема (Ружичка, 2008). Полурешетка G(Ω) не изоморфна Con _c L ни для какой решетки L , если в множестве Ω есть хотя бы ℵ ₂ элемента.

Доказательство Ружички следует основным направлениям доказательства Верунга, за исключением того, что оно вводит расширение теоремы Куратовского о свободном множестве , называемое существованием свободных деревьев , которое оно использует в последнем аргументе, связанном с леммой об эрозии.

Положительный результат представления дистрибутивных полурешеток.

Доказательство отрицательного решения для CLP показывает, что проблема представления дистрибутивных полурешеток компактными конгруэнциями решеток возникает уже для конгруэнтных решеток полурешеток . На вопрос, вызовет ли структура частично упорядоченного множества подобные проблемы, отвечает следующий результат.

Теорема (Верунг, 2008). Для любой дистрибутивной (∨,0)-полурешетки S существуют (∧,0)-полурешетка P и отображение µ : P × P → S такие, что выполняются следующие условия:

(1) x ≤ y означает, что µ( x , y )=0 для всех x , y в P .

(2) µ( x , z ) ≤ µ( x , y ) ∨ µ( y , z ) для всех x , y , z в P .

(3) Для всех x ≥ y в P и всех α, β в S таких, что µ( x , y ) ⩽ α ∨ β, существуют целое положительное число n и элементы x = z ₀ ≥ z ₁ ≥ ... ≥ z _{2 n} = y такой, что µ( z _i , z _i+1 ) ⩽ α (соответственно µ( zi _, . z _i+1 ) ⩽ β) всякий раз, когда i < 2 n четно (соответственно, нечетно)

(4) S порождается как объединенная полурешетка всеми элементами формы µ( x ,0) для x в P .

Более того, если S имеет самый большой элемент, то P можно считать решеткой с самым большим элементом.

Нетрудно проверить, что из приведенных выше условий (1)–(4) следует дистрибутивность S , поэтому приведенный выше результат дает характеристику дистрибутивности для (∨,0)-полурешеток.

Ссылки

• Бергман, Джордж М. (26 октября 1986 г.). «Регулярные кольца фон Неймана с индивидуально подобранными идеальными решетками» (PDF) . Неопубликованная заметка .
• Биркгоф, Гаррет (1948). Теория решеток (пересмотренная ред.). Американское математическое общество, Нью-Йорк.
• Биркгоф, Гарретт ; Фринк, Оррин (1948). «Представления решеток множествами» . Труды Американского математического общества . 64 (2): 299–316. дои : 10.1090/S0002-9947-1948-0027263-2 .
• Булман-Флеминг, Сидней; Макдауэлл, Кеннет (1978). «Плоские полурешетки» . Труды Американского математического общества . 72 (2): 228–232. doi : 10.1090/S0002-9939-1978-0505915-X .
• Богарт, Кеннет П.; Фриз, Ральф; Кунг, Джозеф PS, ред. (1990). Теоремы Дилворта. Избранные статьи Роберта П. Дилворта . Биркхойзер, Бостон. дои : 10.1007/978-1-4899-3558-8 . ISBN  0-8176-3434-7 .
• Доббертин, Ганс (1983). «Уточнение моноидов, моноидов Воота и булевых алгебр» . Математические Аннален . 265 (4): 473–487. дои : 10.1007/BF01455948 .
• Доббертин, Ганс (1986). «Меры Воота и их приложения в теории решеток» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 43 (1): 27–51. дои : 10.1016/0022-4049(86)90003-4 .
• Эффрос, Эдвард Г.; Хандельман, Дэвид Э.; Шен, Чао-Лян (1980). «Группы измерений и их аффинные представления». Американский журнал математики . 102 (2): 385–407. дои : 10.2307/2374244 . JSTOR   2374244 .
• Эллиотт, Джордж А. (1976). «О классификации индуктивных пределов последовательностей полупростых конечномерных алгебр» . Журнал алгебры . 38 (1): 29–44. дои : 10.1016/0021-8693(76)90242-8 .
• Ершов, Юрий Леонидович (1977). Теория нумерации . Монографии по математической логике и основам математики (на русском языке). Наука, Москва.
• Фриз, Ральф; Лампе, Уильям А.; Тейлор, Уолтер (1979). «Решетки конгруэнций алгебр фиксированного типа подобия. I» . Тихоокеанский математический журнал . 82 (1): 59–68. дои : 10.2140/pjm.1979.82.59 .
• Фунаяма, Неносукэ; Накаяма, Тадаси (1942). «О дистрибутивности решетки конгруэнций решеток» . Известия Императорской Академии . 18 (9): 553–554. дои : 10.3792/пиа/1195573786 .
• Гудирл, Кеннет Р. (1991). Регулярные кольца фон Неймана (Второе изд.). Robert E. Krieger Publishing Co., Inc., Малабар, Флорида. ISBN  0-89464-632-Х .
• Гудерл, Кеннет Р.; Хандельман, Дэвид Э. (1975). «Простые самоинъекционные кольца». Связь в алгебре . 3 (9): 797–834. дои : 10.1080/00927877508822074 .
• Гудерл, Кеннет Р.; Хандельман, Дэвид Э. (1986). «Тензорные произведения размерных групп и К ₀ единично-регулярных колец» . Канадский математический журнал . 38 (3): 633–658. дои : 10.4153/CJM-1986-032-0 .
• Гудерл, Кеннет Р.; Верунг, Фридрих (2001). «Представления дистрибутивных полурешеток в идеальных решетках различных алгебраических структур» . Алгебра Универсалис . 45 (1): 71–102. arXiv : math/0011083 . дои : 10.1007/s000120050203 .
• Гретцер, Джордж (1998). Общая теория решеток (второе изд.). Биркхойзер Верлаг, Базель. ISBN  3-7643-5239-6 .
• Гретцер, Джордж (2005). Сравнения конечной решетки: доказательства на картинках метод . Биркхойзер Бостон. дои : 10.1007/978-3-319-38798-7 . ISBN  978-0-8176-3224-3 .
• Гретцер, Джордж; Лаксер, Гарри; Верунг, Фридрих (2000). «Конгруэнтное объединение решеток» . Acta Scientiarum Mathematicarum (Сегед) . 66 (1–2): 3–22.
• Гретцер, Джордж; Шмидт, Э. Тамаш (1962). «О равенстве решеток решеток» . Математический журнал Венгерской академии наук 13 (1–2): 179–185. дои : 10.1007/BF02033636 .
• Гретцер, Джордж; Шмидт, Э. Тамаш (1963). «Характеризации решеток конгруэнций абстрактных алгебр» . Acta Scientiarum Mathematicarum (Сегед) . 24 : 34–59.
• Гретцер, Джордж; Шмидт, Э. Тамаш (2004). «Конечные решетки и конгруэнции. Обзор» . Алгебра Универсалис . 52 (2–3): 241–278. дои : 10.1007/s00012-004-1881-1 .
• Грилье, Пьер Антуан (1976). «Направленные копределы свободных коммутативных полугрупп» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 9 (1): 73–87. дои : 10.1016/0022-4049(76)90007-4 .
• Хун, Андраш (1989a). «О представлении алгебраических дистрибутивных решеток II» . Acta Scientiarum Mathematicarum (Сегед) . 53 (1–2): 3–10.
• Хун, Андраш (1989b). «О представлении алгебраических дистрибутивных решеток III» . Acta Scientiarum Mathematicarum (Сегед) . 53 (1–2): 11–18.
• Кирнс, Кейт А.; Сендрей, Агнес (1998). «Отношения между двумя коммутаторами». Международный журнал алгебры и вычислений . 8 (4): 497–531. arXiv : математика/9604246 . дои : 10.1142/S0218196798000247 . S2CID   17997536 .
• Куратовский, Казимир (1951). «Sur une характеристика алефов» . Основы математики . 38 : 14–17. дои : 10.4064/fm-38-1-14-17 .
• Лампе, Уильям А. (1982). «Решетки конгруэнций алгебр фиксированного типа подобия. II» . Тихоокеанский математический журнал . 103 (2): 475–508. дои : 10.2140/pjm.1982.103.475 .
• фон Нейман, Джон (декабрь 1936 г.). «На штатных кольцах» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 22 (12): 707–713. Бибкод : 1936ПНАС...22..707В . дои : 10.1073/pnas.22.12.707 . ПМЦ   1076849 . ПМИД   16577757 .
• Площица, Мирослав; Тума, Иржи (1998). «Равномерные уточнения в распределительных полурешетках». Материалы Клагенфуртской конференции, 29 мая – 1 июня 1997 г. (PDF) . Вклад в общую алгебру. Том. 10. Верлаг Йоханнес Хейн, Клагенфурт.
• Площица, Мирослав; Тума, Иржи; Верунг, Фридрих (1998). «Решетки конгруэнции свободных решеток в недистрибутивных многообразиях» . Коллоквиум Математикум . 76 (2): 269–278. дои : 10,4064/см-76-2-269-278 .
• Пудлак, Павел (1985). «О решетках конгруэнтности решеток» . Алгебра Универсалис . 20 : 96–114. дои : 10.1007/BF01236809 .
• Ружичка, Павел (2004). «Решетки двусторонних идеалов локально-матричных алгебр и Г-инвариантная проблема» . Израильский математический журнал . 142 : 1–28. дои : 10.1007/BF02771525 .
• Ружичка, Павел (август 2006 г.). «Подъемы дистрибутивных решеток локально-матричными алгебрами относительно функтора Id _c » . Алгебра Универсалис . 55 (2–3): 239–257. дои : 10.1007/s00012-006-1962-4 .
• Ружичка, Павел (2008). «Свободные деревья и оптимальная граница в теореме Верунга» . Фундамента Математика . 198 (3): 217–228. дои : 10.4064/fm198-3-2 .
• Ружичка, Павел; Тума, Иржи; Верунг, Фридрих (2007). «Дистрибутивные конгруэнц-решетки конгруэнц-перестановочных алгебр» . Журнал алгебры . 311 (1): 96–116. дои : 10.1016/j.jalgebra.2006.11.005 .
• Шмидт, Э. Тамаш (1968). «Zur Charakterisierung der Kongruenzverbände der Verbände». Математический журнал Словацкой академии наук . 18 :3–20. Артикул   0155.35102 .
• Шмидт, Э. Тамаш (1981). «Идеальная решетка дистрибутивной решетки с 0 есть решетка конгруэнций решетки» . Acta Scientiarum Mathematicarum (Сегед) . 43 (1–2): 153–168.
• Шмидт, Э. Тамаш (1982). Обзор представлений конгруэнтных решеток . Тексты Тойбнера по математике [Тексты Тойбнера по математике]. Том 42. BSB BG Teubner Verlagsgesellschaft, Лейпциг.
• Шеннон, Ричард Т. (1974). «Теорема Лазара в алгебраических категориях» . Алгебра Универсалис . 4 : 226–228. дои : 10.1007/BF02485728 .
• Тарский, Альфред (1949). Кардинальные алгебры. С приложением: Кардинальные произведения типов изоморфизма, Бьярни Йонссон и Альфред Тарский . Издательство Оксфордского университета, Нью-Йорк.
• Тума, Иржи (1998). «О существовании одновременных представлений» . Журнал математических наук (Сегед) . 64 : 357–371.
• Тума, Иржи; Верунг, Фридрих (2001). «Совместные представления полурешеток решетками с перестановочными конгруэнциями». Международный журнал алгебры и вычислений . 11 (2): 217–246. arXiv : math/0501417 . дои : 10.1142/S0218196701000516 . S2CID   15648638 .
• Тума, Иржи; Верунг, Фридрих (2002). «Обзор последних результатов о решетках конгруэнции решеток» . Алгебра Универсалис . 48 (4): 439–471. arXiv : math/0501375 . дои : 10.1007/s000120200011 .
• Тума, Иржи; Верунг, Фридрих (2006). «Поднятие конгруэнтности диаграмм конечных булевых полурешеток требует больших конгруэнтных многообразий». Международный журнал алгебры и вычислений . 16 (3): 541–550. arXiv : math/0410576 . дои : 10.1142/S0218196706003049 . S2CID   735797 .
• Верунг, Фридрих (1998a). «Свойства неизмеримости интерполяционных векторных пространств» . Израильский математический журнал . 103 : 177–206. дои : 10.1007/BF02762273 .
• Верунг, Фридрих (1998b). «Моноид размерности решетки» . Алгебра Универсалис . 40 (3): 247–411. arXiv : math/0501437 . дои : 10.1007/s000120050091 .
• Верунг, Фридрих (1999). «Свойство равномерного измельчения конгруэнтных решеток» (PDF) . Труды Американского математического общества . 127 (2): 363–370. дои : 10.1090/S0002-9939-99-04558-X . S2CID   85539753 .
• Верунг, Фридрих (2000). «Представление алгебраических дистрибутивных решеток с ℵ ₁ компактными элементами как идеальные решетки регулярных колец» . Publicacions Matemàtiques (Барселона) . 44 (2): 419–435. arXiv : math/0501367 . дои : 10.5565/PUBLMAT_44200_03 .
• Верунг, Фридрих (2003). «Принудительное расширение частичных решеток» . Журнал алгебры . 262 (1): 127–193. arXiv : math/0501378 . дои : 10.1016/S0021-8693(03)00015-2 .
• Верунг, Фридрих (2004). «Полурешетки конечно порожденных идеалов обменных колец конечного стабильного ранга» . Труды Американского математического общества . 356 (5): 1957–1970. дои : 10.1090/S0002-9947-03-03369-5 .
• Верунг, Фридрих (2008). «Чуст-представления дистрибутивных полурешеток». Международный журнал алгебры и вычислений . 18 (2): 321–356. дои : 10.1142/S0218196708004469 . S2CID   7674741 .
• Верунг, Фридрих (2007). «Решение проблемы решетки конгруэнтности Дилворта» . Достижения в математике . 216 (2): 610–625. дои : 10.1016/j.aim.2007.05.016 .