Конгруэнц-перестановочная алгебра

В универсальной алгебре конгруэнц -перестановочная алгебра — это алгебра, конгруэнции которой коммутируют относительно композиции . Эта симметрия имеет несколько эквивалентных характеристик, которые позволяют анализировать такие алгебры. Многие знакомые разновидности алгебр , такие как многообразие групп , состоят из конгруэнц-перестановочных алгебр, но некоторые, например многообразие решеток , имеют члены, которые не являются конгруэнц-перестановочными.

Определение

Учитывая алгебру $\mathbf {A}$ , пара сравнений $\alpha ,\beta \in \operatorname {Con} (\mathbf {A} )$ Говорят, что они переставляются, когда $\alpha \circ \beta =\beta \circ \alpha$ . ^[1]^: 121 Алгебра $\mathbf {A}$ называется конгруэнц-перестановочным, если каждая пара конгруэнций $\mathbf {A}$ обмены. ^[1]^: 122 Разнообразие алгебр ${\mathcal {V}}$ называется конгруэнц-перестановочной, если каждая алгебра из ${\mathcal {V}}$ является конгруэнтно-перестановочным. ^[1]^: 122

Характеристики

В 1954 г. Мальцев дал еще два условия, эквивалентные приведенному выше, определяющие конгруэнц-перестановочное многообразие алгебр. Это положило начало изучению конгруэнцно-перестановочных многообразий. ^[1]^: 122

Theorem (Maltsev, 1954)

Предположим, что ${\mathcal {V}}$ является разновидностью алгебр. Следующие действия эквивалентны:

Разнообразие ${\mathcal {V}}$ является конгруэнтно-перестановочным.
Свободная алгебра на $3$ генераторы в ${\mathcal {V}}$ является конгруэнтно-перестановочным.
Есть троичный термин $q$ такой, что
${\mathcal {V}}\models q(x,y,y)\approx x\approx q(y,y,x)$ .

Такой термин называется термином Мальцева , а конгруэнтно-перестановочные многообразия в его честь также известны как мальцевские многообразия . ^[1]^: 122

Примеры

Большинство классических разновидностей абстрактной алгебры , таких как группы ^[1]^: 123, кольца ^[1]^: 123и алгебры Ли ^{[ нужна ссылка ]} являются конгруэнтно-перестановочными. Любое многообразие, содержащее групповую операцию, является конгруэнц-перестановочным, а член Мальцева равен $xy^{-1}z$ . ^{[ нужна ссылка ]}

Непримеры

из трех элементов как решетку, Если рассматривать цепочку то она не является конгруэнц-перестановочной, а значит, и многообразие решеток. ^[1]^: 123

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Бергман, Клиффорд (2011). Универсальная алгебра: основы и избранные темы . Чепмен и Холл/CRC. ISBN 978-1-4398-5129-6 .

Эта абстрактной алгебре статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[Bergman-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Бергман, Клиффорд (2011). Универсальная алгебра: основы и избранные темы . Чепмен и Холл/CRC. ISBN 978-1-4398-5129-6 .

[1]