Уточнение моноида

В математике уточняющий моноид — это коммутативный моноид M такой, что для любых элементов a ₀ , a ₁ , b ₀ , b ₁ из M таких, что a ₀ +a ₁ =b ₀ +b ₁ , существуют элементы c ₀₀ , c ₀₁ , c ₁₀ , c ₁₁ из M такие, что a ₀ =c ₀₀ +c ₀₁ , a ₁ =c ₁₀ +c ₁₁ , b ₀ =c ₀₀ +c ₁₀ и b ₁ =c ₀₁ +c ₁₁ .

Коммутативный моноид M называется коническим, если из x + y =0 следует, что = y = 0 для любых элементов x , y из M. x

Основные примеры

Соединение -полурешетка с нулем является уточняющим моноидом тогда и только тогда, когда она дистрибутивна .

Любая абелева группа является уточненным моноидом.

Положительный конус G ⁺ G частично упорядоченной абелевой группы является уточняющим моноидом тогда и только тогда, когда G является интерполяционной группой , причем последнее означает, что для любых элементов a ₀ , a ₁ , b ₀ , b ₁ группы G таких, что a _i ⩽ b _j для всех i, j<2 , существует элемент x из G такой, что a _i ≤ x ≤ b _j для всех i, j<2 . Это справедливо, например, в случае, когда G решеточно упорядочен .

Тип изоморфизма булевой алгебры B — это класс всех булевых алгебр, изоморфных B . (Если мы хотим, чтобы это было множество , ограничьтесь булевыми алгебрами теоретико-множественного ранга ниже, чем у B. )Класс типов изоморфизма булевых алгебр, наделенных добавкой, определяемой формулой $[X]+[Y]=[X\times Y]$ (для любых булевых алгебр X и Y , где $[X]$ обозначает тип изоморфизма X ), является моноидом конического измельчения.

Меры Воота на булевых алгебрах

Для булевой алгебры A и коммутативного моноида M отображение µ : A → M является мерой , если µ(a)=0 тогда и только тогда, когда a=0 и µ(a ∨ b)=µ(a)+ µ(b) всякий раз, когда a и b не пересекаются (т. е. ∧ b=0 ), для любых a, b из A. a Кроме того, мы говорим, что µ является мерой Вота (по Роберту Лоусону Воту ) или V-мерой , если для всех c в A и всех x,y в M таких, что µ(c)=x+y , существуют непересекающиеся , b в A такие, что c=a ∨ b , µ(a)=x и µ(b)=y .

Элемент e в коммутативном моноиде M измерим : (относительно M ), если существуют булева алгебра A и V-мера µ A → M такие , что µ(1)=e ---мы говорим, что µ меры е . Мы говорим, что , если M измеримо любой элемент M измерим (относительно M ). Конечно, каждый измеримый моноид является моноидом конического уточнения.

Ганс Доббертин доказал в 1983 году, что любой конический моноид уточнения, содержащий не более ℵ ₁ элементов, измерим. ^[1] Он также доказал, что любой элемент в не более чем счетном моноиде конического измельчения измеряется единственной (с точностью до изоморфизма) V-мерой на единственной не более чем счетной булевой алгебре.Там он поднял вопрос о том, измерим ли какой-либо моноид конического измельчения. На это ответил отрицательно Фридрих Верунг в 1998 году. ^[2] Контрпримеры могут иметь любую мощность, большую или равную ℵ ₂ .

Нестабильная K-теория регулярных колец фон Неймана

Для кольца (с единицей) R обозначим через FP( R ) класс конечно порожденных проективных правых R -модулей. Эквивалентно, объекты FP( R ) являются прямыми слагаемыми всех модулей формы R ^н, где n — положительное целое число, рассматриваемое как правый модуль над собой. Обозначим через $[X]$ тип изоморфизма объекта X в FP( R ). Тогда множество V(R) всех типов изоморфизма членов FP( R ), наделенное добавкой, определяемой формулой $[X]+[Y]=[X\oplus Y]$ , является коническим коммутативным моноидом . Кроме того, если R регулярен по фон Нейману , то V(R) является моноидом измельчения. Он имеет единицу заказа $[R]$ . Мы говорим, что V(R) кодирует нестабильную K-теорию R.

Например, если R — тело , то члены FP( R ) — это в точности конечномерные правые векторные пространства над R , а два векторных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность . Следовательно, V(R) изоморфен моноиду $\mathbb {Z} ^{+}=\{0,1,2,\dots \}$ всех натуральных чисел, наделенных обычным сложением.

Несколько более сложный пример можно получить следующим образом. Матричная алгебра над полем F — это конечное произведение колец вида $M_{n}(F)$ , кольцо всех квадратных матриц с n строками и элементами в F для переменных положительных целых чисел n . Прямой предел матричных алгебр над F — это локально матричная алгебра над F . Любая локально-матричная алгебра регулярна по фон Нейману. Для любой локально-матричной алгебры V R (R) — положительный конус так называемой группы размерностей . По определению, группа размерностей — это частично упорядоченная абелева группа , основной порядок которой направлен , чей положительный конус является уточняющим моноидом и неперфорирован . Буква означает, что mx≥0 подразумевает, что x≥0 для любого элемента x из G. и любое положительное целое число m . Любая симплициальная группа, т. е. частично упорядоченная абелева группа вида $\mathbb {Z} ^{n}$ , — группа измерений. Эффрос , Хандельман и Шен доказали в 1980 году, что группы размерностей являются в точности прямыми пределами симплициальных групп, где отображения переходов являются положительными гомоморфизмами. ^[3] Этот результат уже был доказан в 1976 г., в несколько иной форме, П. А. Грийе. ^[4] что положительный конус любого счетного прямого предела симплициальных групп изоморфен V(R) для некоторого локально матричного кольца R. Эллиотт доказал в 1976 году , ^[5] Наконец, Гудирл и Хандельман доказали в 1986 году, что положительный конус любой размерной группы, содержащей не более ℵ ₁ элементов, изоморфен V(R) для некоторого локально матричного кольца R (над любым заданным полем). ^[6]

В 1998 году Верунг доказал, что существуют группы размерностей с порядком единицы, положительный конус которых не может быть представлен как (R) для регулярного кольца фон Неймана R. V ^[2] Данные примеры могут иметь любую мощность, большую или равную ℵ ₂ . Вопрос о том, может ли какой-либо конический моноид уточнения с не более чем ℵ ₁ (или даже ℵ ₀ ) элементами быть представлен как V (R) для R регулярного фон Неймана, является открытой проблемой.

Ссылки

^ Доббертин, Ганс (1983), «Уточнение моноидов, моноидов Воота и булевых алгебр», Mathematische Annalen , 265 (4): 473–487, doi : 10.1007/BF01455948 , S2CID 119668249
^ Перейти обратно: ^а ^б Верунг, Фридрих (1998), «Свойства неизмеримости интерполяционных векторных пространств», Израильский математический журнал , 103 : 177–206, doi : 10.1007/BF02762273
^ Эффрос, Эдвард Г .; Хандельман, Дэвид Э.; Шен, Чао-Лян (1980), «Группы измерений и их аффинные представления», American Journal of Mathematics , 102 (2): 385–407, doi : 10.2307/2374244 , JSTOR 2374244
^ Грийе, Пьер Антуан (1976), «Направленные копределы свободных коммутативных полугрупп», Журнал чистой и прикладной алгебры , 9 (1): 73–87, doi : 10.1016/0022-4049(76)90007-4
^ Эллиотт, Джордж А. (1976), «О классификации индуктивных пределов последовательностей полупростых конечномерных алгебр», Journal of Algebra , 38 (1): 29–44, doi : 10.1016/0021-8693(76)90242 -8
^ Гудерл, КР; Хандельман, Д.Э. (июнь 1986 г.), "Тензорные произведения групп размерностей и $K_{0}$ единично-регулярных колец», Canadian Journal of Mathematics , 38 (3): 633–658, doi : 10.4153/CJM-1986-032-0

Дальнейшее чтение

Доббертин, Ганс (1986), «Меры Воота и их приложения в теории решеток», Journal of Pure and Applied Algebra , 43 (1): 27–51, doi : 10.1016/0022-4049(86)90003-4
Гудирл, К.Р. (1995), «Регулярные кольца фон Неймана и проблемы разложения в прямую сумму», Абелевы группы и модули (Падова, 1994) , Математика и ее приложения, том. 343, Springer, Дордрехт, стр. 249–255, номер документа : 10.1007/978-94-011-0443-2_20.
Гудерл, КР (1986), Частично упорядоченные абелевы группы с интерполяцией , Математические обзоры и монографии, том. 20, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, ISBN 0-8218-1520-2
Гудирл, КР (1991), Регулярные кольца фон Неймана. Второе издание , Robert E. Krieger Publishing Co., Inc., Малабар, Флорида, ISBN 0-89464-632-Х
Тарский, Альфред (1949), Кардинальная алгебра. С приложением: Кардинальные произведения типов изоморфизма, Бьярни Йонссон и Альфред Тарский , Oxford University Press, Нью-Йорк.

[Dobbertin1983-1] Доббертин, Ганс (1983), «Уточнение моноидов, моноидов Воота и булевых алгебр», Mathematische Annalen , 265 (4): 473–487, doi : 10.1007/BF01455948 , S2CID 119668249

[Wehrung1998-2] Перейти обратно: ^а ^б Верунг, Фридрих (1998), «Свойства неизмеримости интерполяционных векторных пространств», Израильский математический журнал , 103 : 177–206, doi : 10.1007/BF02762273

[EffrosHandelmanShen1980-3] Эффрос, Эдвард Г .; Хандельман, Дэвид Э.; Шен, Чао-Лян (1980), «Группы измерений и их аффинные представления», American Journal of Mathematics , 102 (2): 385–407, doi : 10.2307/2374244 , JSTOR 2374244

[Grillet1976-4] Грийе, Пьер Антуан (1976), «Направленные копределы свободных коммутативных полугрупп», Журнал чистой и прикладной алгебры , 9 (1): 73–87, doi : 10.1016/0022-4049(76)90007-4

[Elliott1976-5] Эллиотт, Джордж А. (1976), «О классификации индуктивных пределов последовательностей полупростых конечномерных алгебр», Journal of Algebra , 38 (1): 29–44, doi : 10.1016/0021-8693(76)90242 -8

[GoodearlHandelman1986-6] Гудерл, КР; Хандельман, Д.Э. (июнь 1986 г.), "Тензорные произведения групп размерностей и $K_{0}$ единично-регулярных колец», Canadian Journal of Mathematics , 38 (3): 633–658, doi : 10.4153/CJM-1986-032-0

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]