Фактор (универсальная алгебра)

О фактор-ассоциативных алгебрах над кольцом см. факторкольцо .

В математике факторалгебра — это результат разделения элементов алгебраической структуры с использованием отношения конгруэнтности .Фактор-алгебры также называют фактор-алгебрами . Здесь отношение конгруэнтности должно быть отношением эквивалентности , дополнительно совместимым со всеми операциями алгебры в формальном смысле, описанном ниже.Его классы эквивалентности разделяют элементы данной алгебраической структуры. Фактор-алгебра имеет эти классы в качестве своих элементов, а условия совместимости используются для придания классам алгебраической структуры.

Идея фактор-алгебры объединяет в одно общее понятие фактор-структуру фактор-колец теории колец , фактор-групп теории групп , фактор-пространств линейной алгебры и фактор-модулей теории представлений в общую структуру.

Совместимое отношение

Пусть A — множество элементов алгебры ${\mathcal {A}}$, и пусть E — отношение эквивалентности на множестве A . отношение E Говорят, что совместимо (или обладает свойством подстановки по отношению к) n -арной операции f , если $(a_{i},\;b_{i})\in E$ для $1\leq i\leq n$ подразумевает $(f(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),f(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}))\in E$ для любого $a_{i},\;b_{i}\in A$ с $1\leq i\leq n$. Отношение эквивалентности, согласованное со всеми операциями алгебры, называется конгруэнцией относительно этой алгебры.

Факторалгебры и гомоморфизмы

Любое отношение эквивалентности E в множестве A разбивает это множество на классы эквивалентности . Набор этих классов эквивалентности обычно называют фактормножеством и обозначают A / E . Для алгебры ${\mathcal {A}}$, то несложно определить операции, индуцированные над элементами A / E, если E является конгруэнцией. В частности, для любой операции $f_{i}^{\mathcal {A}}$ арности ​ $n_{i}$ в ${\mathcal {A}}$ (где верхний индекс просто означает, что это операция в ${\mathcal {A}}$, и индекс $i\in I$ перечисляет функции в ${\mathcal {A}}$ и их арность) определяют $f_{i}^{{\mathcal {A}}/E}:(A/E)^{n_{i}}\to A/E$ как $f_{i}^{{\mathcal {A}}/E}([a_{1}]_{E},\ldots ,[a_{n_{i}}]_{E})=[f_{i}^{\mathcal {A}}(a_{1},\ldots ,a_{n_{i}})]_{E}$, где $[x]_{E}\in A/E$ обозначает класс эквивалентности $x\in A$ генерируется E (" x по модулю E ").

Для алгебры ${\mathcal {A}}=(A,(f_{i}^{\mathcal {A}})_{i\in I})$, учитывая сравнение E на ${\mathcal {A}}$, алгебра ${\mathcal {A}}/E=(A/E,(f_{i}^{{\mathcal {A}}/E})_{i\in I})$ называется фактор-алгеброй (или фактор-алгеброй ) ${\mathcal {A}}$ модулю Е. по Существует естественный гомоморфизм из ${\mathcal {A}}$ к ${\mathcal {A}}/E$ отображение каждого элемента в его класс эквивалентности. Фактически, каждый гомоморфизм h определяет отношение конгруэнтности через ядро ​​гомоморфизма: $\mathop {\mathrm {ker} } \,h=\{(a,a')\in A^{2}\,|\,h(a)=h(a')\}\subseteq A^{2}$.

Учитывая алгебру ${\mathcal {A}}$, гомоморфизм h, таким образом, определяет две алгебры, гомоморфные ${\mathcal {A}}$, изображение h( ${\mathcal {A}}$) и ${\mathcal {A}}/\mathop {\mathrm {ker} } \,h$ Они изоморфны , и этот результат известен как теорема о гомоморфном изображении или как первая теорема об изоморфизме для универсальной алгебры. Формально пусть $h:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ — сюръективный гомоморфизм. Тогда существует единственный изоморфизм g из ${\mathcal {A}}/\mathop {\mathrm {ker} } \,h$ на ${\mathcal {B}}$ такой, что g составлен с естественным гомоморфизмом, индуцированным $\mathop {\mathrm {ker} } \,h$ равно ч .

Конгруэнтная решетка

Для каждой алгебры ${\mathcal {A}}$ на множестве A тождественное отношение на A и $A\times A$ являются тривиальными сравнениями. Алгебра, в которой нет других сравнений, называется простой .

Позволять $\mathrm {Con} ({\mathcal {A}})$ — множество сравнений на алгебре ${\mathcal {A}}$. Поскольку сравнения замкнуты при пересечении, мы можем определить операцию встречи : $\wedge :\mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\times \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\to \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})$ просто взяв пересечение сравнений $E_{1}\wedge E_{2}=E_{1}\cap E_{2}$.

С другой стороны, сравнения не замыкаются при объединении. Однако мы можем определить замыкание любого бинарного отношения E относительно фиксированной алгебры ${\mathcal {A}}$, так что оно является конгруэнтностью следующим образом: $\langle E\rangle _{\mathcal {A}}=\bigcap \{F\in \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\mid E\subseteq F\}$. Обратите внимание, что замыкание бинарного отношения является конгруэнцией и, следовательно, зависит от операций в ${\mathcal {A}}$, а не только на операторском наборе. Теперь определите $\vee :\mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\times \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\to \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})$ как $E_{1}\vee E_{2}=\langle E_{1}\cup E_{2}\rangle _{\mathcal {A}}$.

Для каждой алгебры ${\mathcal {A}}$, $(\mathrm {Con} ({\mathcal {A}}),\wedge ,\vee )$ с двумя операциями, определенными выше, образует решетку , называемую решеткой конгруэнции ${\mathcal {A}}$.

Условия Мальцева

Если два сравнения переставляются (коммутируют) с композицией отношений как операцией, т.е. $\alpha \circ \beta =\beta \circ \alpha$, то их соединение (в решетке конгруэнций) равно их составу: $\alpha \circ \beta =\alpha \vee \beta$. Алгебра называется перестановочной конгруэнцией, если каждая пара ее конгруэнций перестановочна; Аналогично, многообразие называется конгруэнтно-перестановочным, если все его члены конгруэнцно-перестановочные алгебры.

В 1954 году Анатолий Мальцев установил следующую характеристику конгруэнц-перестановочных многообразий: многообразие является конгруэнц-перестановочным тогда и только тогда, когда существует троичный терм q ( x , y , z ) такой, что q ( x , y , y ) ≈ x ≈ q ( ​​у , у , Икс ) ; это называется термином Мальцева, а многообразия с этим свойством называются многообразиями Мальцева. Характеристика Мальцева объясняет большое количество подобных результатов в группах (возьмем q = xy ⁻¹ z ), кольца, квазигруппы (возьмем q = (x / (y \ y))(y \ z)) , дополняемые решетки , алгебры Гейтинга и т. д. Кроме того, каждая конгруэнц-перестановочная алгебра является конгруэнц-модулярной, т. е. ее решетка конгруэнций является модульной решеткой также ; однако обратное неверно.

После результата Мальцева другие исследователи нашли характеристики, основанные на условиях, аналогичных найденным Мальцевым, но для других видов свойств. В 1967 году Бьярни Йонссон нашел условия существования многообразий, имеющих дистрибутивную решетку конгруэнтности. (таким образом называемые конгруэнтно-дистрибутивными многообразиями), а в 1969 году Алан Дэй сделал то же самое для многообразий, имеющих модульные решетки конгруэнтности. В общем виде такие условия называются условиями Мальцева.

Это направление исследований привело к созданию алгоритма Пиксли – Уилла для генерации условий Мальцева, связанныхс конгруэнтными тождествами.

См. также

• Коэффициентное кольцо
• Задача о конгруэнтной решетке
• Решетка подгрупп

Ссылки

• Клаус Денеке; Шелли Л. Висмат (2009). Универсальная алгебра и коалгебра . Всемирная научная. стр. 14–17. ISBN  978-981-283-745-5 .
• Пурна Чандра Бисвал (2005). Дискретная математика и теория графов . PHI Learning Pvt. ООО с. 215. ИСБН  978-81-203-2721-4 .
• Клиффорд Бергман (2011). Универсальная алгебра: основы и избранные темы . ЦРК Пресс. С. 122–124, 137 (мальцевские сорта). ISBN  978-1-4398-5129-6 .