Теорема Куратовского о свободном множестве

Теорема Куратовского о свободном множестве , названная в честь Казимира Куратовского , является результатом теории множеств , области математики . Этот результат был в значительной степени забыт в течение почти 50 лет, но недавно был применен при решении нескольких задач теории решеток , таких как проблема конгруэнтной решетки .

Обозначим через $[X]^{<\omega }$ совокупность подмножеств всех конечных множества $X$. Аналогично, для положительного целого числа $n$, обозначим $[X]^{n}$ набор всего $n$-элементы подмножества $X$. Для картографии $\Phi \colon [X]^{n}\to [X]^{<\omega }$, мы говорим, что подмножество $U$ из $X$ является бесплатным (по отношению к $\Phi$), если для любого $n$-подмножество элементов $V$ из $U$ и любой $u\in U\setminus V$, $u\notin \Phi (V)$. Куратовский опубликовал в 1951 г. следующий результат, характеризующий бесконечные кардиналы вида $\aleph _{n}$.

Теорема утверждает следующее. Позволять $n$ целое положительное число и пусть $X$ быть набором. Тогда мощность ​ $X$ больше или равно $\aleph _{n}$ тогда и только тогда, когда для любого отображения $\Phi$ от $[X]^{n}$ к $[X]^{<\omega }$, существует $(n+1)$-элементное свободное подмножество $X$ относительно $\Phi$.

Для $n=1$Теорема Куратовского о свободном множестве заменяется теоремой Хайнала об отображении множеств .

Ссылки

• П. Эрдеш , А. Хайнал , А. Мате, Р. Радо : Комбинаторная теория множеств: отношения разделения для кардиналов , Северная Голландия, 1984, стр. 282–285.
• К. Куратовский , К характеристике алефов , Фонд. Математика. 38 (1951), 14–17.
• Джон К. Симмс (1991) «Теорема Серпинского», Саймон Стевин 65: 69–163.