Лемма Картана

В математике относится лемма Картана к ряду результатов, названных в честь Эли Картана или его сына Анри Картана :

• Во внешней алгебре : Предположим, что v ₁ , ..., v _p — линейно независимые элементы векторного пространства V и w ₁ , ..., w _p таковы, что

$v_{1}\wedge w_{1}+\cdots +v_{p}\wedge w_{p}=0$

в Λ V . Тогда существуют скаляры h _ij = h _ji такие, что

$w_{i}=\sum _{j=1}^{p}h_{ij}v_{j}.$

• В нескольких комплексных переменных : Пусть a ₁ < a ₂ < a ₃ < a ₄ и b ₁ < b ₂ , и определим прямоугольники в комплексной плоскости C формулой

${\begin{aligned}K_{1}&=\{z_{1}=x_{1}+iy_{1}|a_{2}<x_{1}<a_{3},b_{1}<y_{1}<b_{2}\}\\K_{1}'&=\{z_{1}=x_{1}+iy_{1}|a_{1}<x_{1}<a_{3},b_{1}<y_{1}<b_{2}\}\\K_{1}''&=\{z_{1}=x_{1}+iy_{1}|a_{2}<x_{1}<a_{4},b_{1}<y_{1}<b_{2}\}\end{aligned}}$

так что $K_{1}=K_{1}'\cap K_{1}''$. Пусть K ₂ , ..., K _n — односвязные области в C и пусть

${\begin{aligned}K&=K_{1}\times K_{2}\times \cdots \times K_{n}\\K'&=K_{1}'\times K_{2}\times \cdots \times K_{n}\\K''&=K_{1}''\times K_{2}\times \cdots \times K_{n}\end{aligned}}$

так что снова $K=K'\cap K''$. Предположим, что F ( z ) — комплексная аналитическая матрица-функция на прямоугольнике K в C ^н такой, что ( z ) является обратимой матрицей для каждого z в K. F Тогда существуют аналитические функции $F'$ в $K'$ и $F''$ в $K''$ такой, что

$F(z)=F'(z)F''(z)$

чернила ​ .

• В теории потенциала — результат, позволяющий оценить меру Хаусдорфа множества, на котором логарифмический ньютоновский потенциал мал. См. лемму Картана (потенциальная теория) .