Ньютоновский потенциал

В математике ньютоновский потенциал или потенциал Ньютона — это оператор векторного исчисления , который действует как обратный отрицательному лапласиану на функциях, которые являются гладкими и достаточно быстро затухают на бесконечности. По существу, это фундаментальный объект исследования в теории потенциала . По своей общей природе это сингулярный интегральный оператор , определяемый сверткой с функцией, имеющей математическую особенность в начале координат, ядром Ньютона. $\Gamma$ что является фундаментальным решением уравнения Лапласа . Она названа в честь Исаака Ньютона , который первым открыл ее и доказал, что это гармоническая функция в частном случае трех переменных , где она служила фундаментальным гравитационным потенциалом в законе всемирного тяготения Ньютона . В современной теории потенциала ньютоновский потенциал вместо этого рассматривается как электростатический потенциал .

Ньютонов потенциал с компактным носителем интегрируемой функции $f$ определяется как свертка $$u(x)=\Gamma *f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (x-y)f(y)\,dy$$где ядро ​​Ньютона $\Gamma$ в измерении $d$ определяется $$\Gamma (x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|x|},&d=2,\\{\frac {1}{d(2-d)\omega _{d}}}|x|^{2-d},&d\neq 2.\end{cases}}$$

Здесь ω _d — объем единичного d -шара (иногда соглашения о знаках могут различаться; сравните ( Evans 1998 ) и ( Gilbarg & Trudinger 1983 )). Например, для $d=3$ у нас есть $\Gamma (x)=-1/(4\pi |x|).$

Ньютоновский потенциал w функции f является решением уравнения Пуассона $$\Delta w=f,$$то есть операция взятия ньютоновского потенциала функции частично обратна оператору Лапласа. Тогда w будет классическим решением, которое дважды дифференцируемо, если f ограничено и локально непрерывно по Гёльдеру, как показал Отто Гёльдер . Оставался открытым вопрос, достаточна ли сама по себе непрерывность. Ошибочность этого утверждения показал Хенрик Петрини , который привел пример непрерывного f, для которого w не является дважды дифференцируемым.Решение не является единственным, поскольку добавление к w любой гармонической функции не повлияет на уравнение. Этот факт можно использовать для доказательства существования и единственности решений задачи Дирихле с достаточно хорошим поведением для уравнения Пуассона в достаточно регулярных областях, а также для функций f : сначала применяют ньютоновский потенциал для получения решения, а затем корректируют его, добавляя гармоническая функция для получения правильных граничных данных.

Ньютоновский потенциал определяется в более широком смысле как свертка $$\Gamma *\mu (x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (x-y)\,d\mu (y)$$когда µ с компактным носителем — мера Радона . Он удовлетворяет уравнению Пуассона $$\Delta w=\mu$$в смысле распределений . Более того, когда мера положительна , ньютоновский потенциал субгармоничен на R ^д .

Если f — непрерывная функция с компактным носителем (или, в более общем смысле, конечная мера), которая является вращательно-инвариантной , то свертка f с Γ удовлетворяет для x вне носителя f $$f*\Gamma (x)=\lambda \Gamma (x),\quad \lambda =\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)\,dy.$$

В размерности d = 3 это сводится к теореме Ньютона о том, что потенциальная энергия небольшой массы вне гораздо большего сферически-симметричного распределения массы такая же, как если бы вся масса более крупного объекта была сосредоточена в его центре.

Когда мере µ сопоставлена ​​с распределением массы на достаточно гладкой гиперповерхности S ( поверхность Ляпунова класса Гёльдера C ^{1, а} ), который делит R ^д на две области D ₊ и D− _, то ньютоновский потенциал µ называется простым потенциалом слоя . Потенциалы простых слоев непрерывны и решают уравнение Лапласа, за исключением S . Они естественным образом возникают при изучении электростатики в контексте электростатического потенциала, связанного с распределением заряда на замкнутой поверхности. Если d µ = f d H является произведением непрерывной функции на S с ( d − 1)-мерной мерой Хаусдорфа , то в точке y из S нормальная производная претерпевает скачок f ( y ) при пересечении слой. Более того, нормальная производная w является четко определенной непрерывной функцией S. на Это делает простые слои особенно подходящими для изучения задачи Неймана для уравнения Лапласа.

См. также

• Потенциал двойного слоя
• функция Грина
• Потенциал Рисса
• Функция Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными

Ссылки

• Эванс, LC (1998), Уравнения в частных производных , Провиденс: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0772-2 .
• Гилбарг, Д.; Трудингер, Нил (1983), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка , Нью-Йорк: Springer, ISBN  3-540-41160-7 .
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Потенциал Ньютона» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Потенциал простого слоя» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Поверхностный потенциал» , Энциклопедия Математики , EMS Press