Теорема обращения Фурье

В математике теорема обращения Фурье гласит, что для многих типов функций можно восстановить функцию по ее преобразованию Фурье . Интуитивно это можно рассматривать как утверждение, что если мы знаем всю информацию о частоте и фазе волны, то мы можем точно восстановить исходную волну.

Теорема гласит, что если у нас есть функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ удовлетворяющие определенным условиям, и мы используем соглашение о преобразовании Фурье , которое

$({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,$

затем

$f(x)=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .$

Другими словами, теорема утверждает, что

$f(x)=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .$

Это последнее уравнение называется интегральной теоремой Фурье .

Другой способ сформулировать теорему состоит в том, что если $R$ является оператором переворота, т.е. $(Rf)(x):=f(-x)$, затем

${\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}R=R{\mathcal {F}}.$

Теорема справедлива, если оба $f$ и его преобразование Фурье абсолютно интегрируемы (в смысле Лебега ) и $f$ непрерывен в точке $x$. Однако даже при более общих условиях верны версии теоремы обращения Фурье. В этих случаях приведенные выше интегралы могут не сходиться в обычном смысле.

Заявление

В этом разделе мы предполагаем, что $f$ является интегрируемой непрерывной функцией. Используйте соглашение для преобразования Фурье , которое

$({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy.$

Кроме того, мы предполагаем, что преобразование Фурье также интегрируемо.

Обратное преобразование Фурье как интеграл

Наиболее распространенное утверждение теоремы обращения Фурье — это формулировка обратного преобразования как интеграла. Для любой интегрируемой функции $g$ и все $x\in \mathbb {R}$ набор

${\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi .$

Тогда для всех $x\in \mathbb {R}$ у нас есть

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).$

Интегральная теорема Фурье

Теорему можно переформулировать как

$f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .$

Принимая реальную часть каждой стороны вышеизложенного мы получаем

$f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }\cos(2\pi (x-y)\cdot \xi )\,f(y)\,dy\,d\xi .$

Обратное преобразование с помощью оператора флип

Для любой функции $g$ определить оператор переворота $R$ к

$Rg(x):=g(-x).$

Тогда мы можем вместо этого определить

${\mathcal {F}}^{-1}f:=R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}Rf.$

Из определения преобразования Фурье и оператора флип сразу следует, что оба $R{\mathcal {F}}f$ и ${\mathcal {F}}Rf$ соответствовать интегральному определению ${\mathcal {F}}^{-1}f$, и, в частности, равны друг другу и удовлетворяют ${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)$.

С $Rf=R{\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}f=RR{\mathcal {FF}}f$ у нас есть $R={\mathcal {F}}^{2}$ и

${\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{3}.$

Двусторонний инверсный

Изложенная выше теорема обращения Фурье, как правило, имеет следующий вид:

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).$

Другими словами, ${\mathcal {F}}^{-1}$ является левым обратным преобразованием Фурье. Однако это также является правым обратным преобразованием Фурье, т.е.

${\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(\xi )=f(\xi ).$

С ${\mathcal {F}}^{-1}$ так похоже на ${\mathcal {F}}$, это очень легко следует из теоремы обращения Фурье (замена переменных $\zeta :=-\xi$):

${\begin{aligned}f&={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi \\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi ix\cdot \zeta }\,e^{2\pi iy\cdot \zeta }\,f(y)\,dy\,d\zeta \\[6pt]&={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x).\end{aligned}}$

Альтернативно, это можно увидеть из соотношения между ${\mathcal {F}}^{-1}f$ и оператор флип и ассоциативность композиции функций , поскольку

$f={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)={\mathcal {F}}R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f).$

Условия на функцию

При использовании в физике и технике теорема обращения Фурье часто используется в предположении, что все «ведет себя хорошо». В математике такие эвристические аргументы не допускаются, а теорема обращения Фурье включает явное указание того, какой класс функций разрешен. Однако не существует «лучшего» класса функций для рассмотрения, поэтому существует несколько вариантов теоремы обращения Фурье, хотя и с совместимыми выводами.

Функции Шварца

Теорема обращения Фурье справедлива для всех функций Шварца (грубо говоря, гладких функций, которые быстро затухают и все производные которых быстро затухают). Преимущество этого условия состоит в том, что оно представляет собой элементарное прямое утверждение о функции (в отличие от наложения условия на ее преобразование Фурье), а интеграл, определяющий преобразование Фурье и обратное к нему, абсолютно интегрируемы. Эта версия теоремы используется при доказательстве теоремы обращения Фурье для умеренных распределений (см. ниже).

Интегрируемые функции с интегрируемым преобразованием Фурье

Теорема обращения Фурье справедлива для всех непрерывных функций, которые абсолютно интегрируемы (т. е. $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$) с абсолютно интегрируемым преобразованием Фурье. Сюда входят все функции Шварца, поэтому это строго более сильная форма теоремы, чем упомянутая предыдущая. Это условие используется выше в разделе операторов .

Небольшой вариант — отказаться от условия, что функция $f$ быть непрерывным, но при этом требовать, чтобы оно и его преобразование Фурье были абсолютно интегрируемы. Затем $f=g$ почти всюду, где g — непрерывная функция, и ${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)$ для каждого $x\in \mathbb {R} ^{n}$.

Интегрируемые функции в одном измерении

Кусочно-гладкая; одно измерение

Если функция абсолютно интегрируема в одном измерении (т.е. $f\in L^{1}(\mathbb {R} )$) и кусочно-гладкая, то справедлива версия теоремы обращения Фурье. В этом случае мы определяем

${\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi .$

Тогда для всех $x\in \mathbb {R}$

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),$

т.е. ${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)$ равно среднему значению левого и правого пределов $f$ в $x$. В точках, где $f$ непрерывно, это просто равно $f(x)$.

Многомерный аналог этой формы теоремы также имеет место, но, по словам Фолланда (1992), он «довольно деликатный и не очень полезный».

Кусочно-непрерывный; одно измерение

Если функция абсолютно интегрируема в одном измерении (т.е. $f\in L^{1}(\mathbb {R} )$), но просто кусочно-непрерывным, то версия теоремы обращения Фурье все еще остается верной. В этом случае интеграл в обратном преобразовании Фурье определяется с помощью плавной, а не резкой обрезающей функции; конкретно мы определяем

${\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} }\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}}.$

Заключение теоремы тогда такое же, как и для кусочно-гладкого случая, рассмотренного выше.

Непрерывный; любое количество измерений

Если $f$ непрерывна и абсолютно интегрируема на $\mathbb {R} ^{n}$ тогда теорема обращения Фурье остается в силе, пока мы снова определяем обратное преобразование с помощью гладкой обрезающей функции, т.е.

${\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\vert \xi \vert ^{2}}.$

Вывод теперь просто заключается в том, что для всех $x\in \mathbb {R} ^{n}$

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).$

Нет условия регулярности; любое количество измерений

Если отбросить все предположения о (кусочной) непрерывности $f$ и предположим просто, что оно абсолютно интегрируемо, тогда одна из версий теоремы все еще остается верной. Обратное преобразование снова определяется с плавным обрезанием, но с выводом, что

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)$

для каждого почти $x\in \mathbb {R} ^{n}.$

Квадратные интегрируемые функции

В этом случае преобразование Фурье не может быть определено непосредственно как интеграл, поскольку оно может не быть абсолютно сходящимся, поэтому вместо этого оно определяется аргументом плотности (см. статью о преобразовании Фурье ). Например, поставив

$g_{k}(\xi ):=\int _{\{y\in \mathbb {R} ^{n}:\left\vert y\right\vert \leq k\}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,\qquad k\in \mathbb {N} ,$

мы можем установить $\textstyle {\mathcal {F}}f:=\lim _{k\to \infty }g_{k}$ где предел взят в $L^{2}$-норм. Обратное преобразование может быть определено по плотности таким же образом или путем определения его в терминах преобразования Фурье и оператора флип. Тогда у нас есть

$f(x)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)$

в среднеквадратичной норме . В одном измерении (и только в одном измерении) также можно показать, что оно сходится почти для каждого x ∈ℝ — это теорема Карлесона , но ее гораздо сложнее доказать, чем сходимость в среднеквадратичной норме.

Умеренные дистрибутивы

Преобразование Фурье может быть определено в пространстве умеренных распределений. ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ двойственностью преобразования Фурье в пространстве функций Шварца. Специально для $f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ и для всех тестовых функций $\varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ мы устанавливаем

$\langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle :=\langle f,{\mathcal {F}}\varphi \rangle ,$

где ${\mathcal {F}}\varphi$ определяется по интегральной формуле. Если $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ тогда это согласуется с обычным определением. Мы можем определить обратное преобразование ${\mathcal {F}}^{-1}\colon {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$, либо посредством двойственности обратного преобразования функций Шварца таким же образом, либо путем определения его в терминах оператора флип (где оператор флип определяется двойственностью). Тогда у нас есть

${\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.$

Связь с рядом Фурье

При рассмотрении ряда Фурье функции принято масштабировать ее так, чтобы она действовала на $[0,2\pi ]$ (или есть $2\pi$-периодический). Вместо этого в этом разделе мы используем несколько необычное соглашение, принимая $f$ действовать $[0,1]$, поскольку это соответствует используемому здесь соглашению о преобразовании Фурье.

Теорема обращения Фурье аналогична сходимости рядов Фурье . В случае преобразования Фурье имеем

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,$

${\hat {f}}(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,$

$f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .$

В случае ряда Фурье вместо этого мы имеем

$f\colon [0,1]^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {C} ,$

${\hat {f}}(k):=\int _{[0,1]^{n}}e^{-2\pi iy\cdot k}\,f(y)\,dy,$

$f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot k}\,{\hat {f}}(k).$

В частности, в одном измерении $k\in \mathbb {Z}$ и сумма исчисляется от $-\infty$ к $\infty$.

Приложения

Некоторые проблемы, например некоторые дифференциальные уравнения, становится легче решать, если применить преобразование Фурье. В этом случае решение исходной задачи восстанавливается с помощью обратного преобразования Фурье.

В приложениях преобразования Фурье теорема обращения Фурье часто играет решающую роль. Во многих ситуациях основная стратегия состоит в том, чтобы применить преобразование Фурье, выполнить некоторую операцию или упрощение, а затем применить обратное преобразование Фурье.

Более абстрактно, теорема обращения Фурье — это утверждение о преобразовании Фурье как об операторе (см. Преобразование Фурье в функциональных пространствах ). Например, теорема обращения Фурье о $f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ показывает, что преобразование Фурье является унитарным оператором на $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$.

Свойства обратного преобразования

Обратное преобразование Фурье чрезвычайно похоже на исходное преобразование Фурье: как обсуждалось выше, оно отличается только применением оператора флип. По этой причине свойства преобразования Фурье сохраняются и для обратного преобразования Фурье, такие как теорема о свертке и лемма Римана – Лебега .

Таблицы преобразований Фурье можно легко использовать для обратного преобразования Фурье, составив искомую функцию с помощью оператора переворота. Например, просматривая преобразование Фурье функции rect, мы видим, что $$f(x)=\operatorname {rect} (ax)\quad \Rightarrow \quad ({\mathcal {F}}f)(\xi )={\frac {1}{|a|}}\operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right),$$поэтому соответствующий факт для обратного преобразования равен $$g(\xi )=\operatorname {rect} (a\xi )\quad \Rightarrow \quad ({\mathcal {F}}^{-1}g)(x)={\frac {1}{|a|}}\operatorname {sinc} \left(-{\frac {x}{a}}\right).$$

Доказательство

Доказательство использует несколько фактов, учитывая $f(y)$ и ${\mathcal {F}}f(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }f(y)\,dy$.

1. Если $x\in \mathbb {R} ^{n}$ и $g(\xi )=e^{2\pi \mathrm {i} x\cdot \xi }\psi (\xi )$, затем $({\mathcal {F}}g)(y)=({\mathcal {F}}\psi )(y-x)$.
2. Если $\varepsilon \in \mathbb {R}$ и $\psi (\xi )=\varphi (\varepsilon \xi )$, затем $({\mathcal {F}}\psi )(y)=({\mathcal {F}}\varphi )(y/\varepsilon )/|\varepsilon |^{n}$.
3. Для $f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, из теоремы Фубини следует, что $\textstyle \int g(\xi )\cdot ({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\int ({\mathcal {F}}g)(y)\cdot f(y)\,dy$.
4. Определять $\varphi (\xi )=e^{-\pi \vert \xi \vert ^{2}}$; затем $({\mathcal {F}}\varphi )(y)=\varphi (y)$.
5. Определять $\varphi _{\varepsilon }(y)=\varphi (y/\varepsilon )/\varepsilon ^{n}$. Затем с $\ast$ обозначая свертку , $\varphi _{\varepsilon }$ является приближением к тождеству : для любого непрерывного $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ и точка $x\in \mathbb {R} ^{n}$, $\lim _{\varepsilon \to 0}(\varphi _{\varepsilon }\ast f)(x)=f(x)$ (где сходимость точечная).

Поскольку, по предположению, ${\mathcal {F}}f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ следует, , то по теореме о доминируемой сходимости что

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .$

Определять $g_{x}(\xi )=e^{-\pi \varepsilon ^{2}\vert \xi \vert ^{2}+2\pi \mathrm {i} x\cdot \xi }$. Применяя факты 1, 2 и 4, при необходимости повторно для кратных интегралов, получаем

$({\mathcal {F}}g_{x})(y)={\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}=\varphi _{\varepsilon }(x-y).$

Используя факт 3 на $f$ и $g_{x}$, для каждого $x\in \mathbb {R} ^{n}$, у нас есть

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}f(y)\,dy=(\varphi _{\varepsilon }*f)(x),$

свертка $f$ с примерной личностью. Но поскольку $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, факт 5 говорит о том, что

$\lim _{\varepsilon \to 0}(\varphi _{\varepsilon }*f)(x)=f(x).$

Объединив все вышесказанное, мы показали, что

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =f(x).\qquad \square$

Ссылки

• Фолланд, Великобритания (1992). Анализ Фурье и его приложения . Белмонт, Калифорния, США: Уодсворт. ISBN  0-534-17094-3 .
• Фолланд, Великобритания (1995). Введение в уравнения в частных производных (2-е изд.). Принстон, США: Princeton Univ. Нажимать. ISBN  978-0-691-04361-6 .