Идентичность (математика)
В математике тождество равенство — это , связывающее одно математическое выражение A с другим математическим выражением B , такое, что A и B (которые могут содержать некоторые переменные ) дают одно и то же значение для всех значений переменных в определенном диапазоне допустимости. [1] Другими словами, A = B является тождеством, если A и B определяют одни и те же функции , а тождество — это равенство между функциями, которые определены по-разному. Например, и являются тождествами. [1] Идентичность иногда обозначается тройной чертой ≡ вместо = , знака равенства . [2] Формально тождество — это универсально определенное равенство.
Общие личности [ править ]
Алгебраические тождества [ править ]
Определенные личности, такие как и , составляют основу алгебры , [3] в то время как другие личности, такие как и , может быть полезен при упрощении алгебраических выражений и их расширении. [4]
Тригонометрические тождества [ править ]
Геометрически тригонометрические тождества — это тождества, включающие в себя определенные функции одного или нескольких углов . [5] Они отличаются от тождеств треугольника , которые включают в себя как углы, так и длины сторон треугольника . В этой статье рассматриваются только первые.
Эти тождества полезны всякий раз, когда необходимо упростить выражения, включающие тригонометрические функции. Еще одним важным применением является интегрирование нетригонометрических функций: распространенный метод, который включает сначала использование правила замены тригонометрической функцией , а затем упрощение полученного интеграла с помощью тригонометрического тождества.
Одним из наиболее ярких примеров тригонометрических тождеств является уравнение что верно для всех действительных значений . С другой стороны, уравнение
справедливо только для определенных значений , не все. Например, это уравнение верно, когда но ложь, когда .
Другая группа тригонометрических тождеств касается так называемых формул сложения и вычитания (например, тождество двойного угла , формула сложения для ), [2] который можно использовать для разбиения выражений больших углов на выражения с меньшими составляющими.
Экспоненциальные тождества [ править ]
Следующие тождества справедливы для всех целочисленных показателей при условии, что основание не равно нулю:
В отличие от сложения и умножения, возведение в степень не является коммутативным . Например, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 и 2 · 3 = 3 · 2 = 6 , но 2 3 = 8 тогда как 3 2 = 9 .
Кроме того, в отличие от сложения и умножения, возведение в степень не является ассоциативным . Например, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 и (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24 , но 2 3 до 4 будет 8 4 (или 4096), тогда как 2 к 3 4 2 81 (или 2 417 851 639 229 258 349 412 352). Если круглые скобки не написаны, по соглашению порядок будет сверху вниз, а не снизу вверх:
- тогда как
Логарифмические тождества [ править ]
Несколько важных формул, иногда называемых логарифмическими тождествами или логарифмическими законами , связывают логарифмы друг с другом: [а]
Произведение, частное, степень и корень [ править ]
Логарифм произведения — это сумма логарифмов умножаемых чисел; логарифм отношения двух чисел — это разность логарифмов. Логарифм p-й степени числа в p раз больше логарифма самого числа; логарифм корня p- й степени равен логарифму числа, разделенного на p . В следующей таблице перечислены эти личности с примерами. Каждое из тождеств можно получить после подстановки определений логарифмов. и/или в левых сторонах.
Формула | Пример | |
---|---|---|
продукт | ||
частное | ||
власть | ||
корень |
Смена базы [ править ]
Логарифм log b ( x ) можно вычислить из логарифмов x и b по произвольному основанию k, используя следующую формулу:
Типичные научные калькуляторы вычисляют логарифмы по основаниям 10 и e . [6] Логарифмы по любой базе b можно определить, используя любой из этих двух логарифмов по предыдущей формуле:
Учитывая число x и его логарифм log b ( x ) по неизвестной базе b , база определяется следующим образом:
Гиперболические тождества функций [ править ]
Гиперболические функции удовлетворяют многим тождествам, все из которых по форме аналогичны тригонометрическим тождествам . Фактически, правило Осборна [7] утверждает, что можно преобразовать любое тригонометрическое тождество в гиперболическое тождество, полностью расширив его с точки зрения целых степеней синусов и косинусов, заменив синус на sinh и косинус на cosh и изменив знак каждого члена, который содержит произведение четного числа. гиперболических синусов. [8]
Функция Гудермана дает прямую связь между тригонометрическими функциями и гиперболическими, не использующими комплексные числа .
Логика и универсальная алгебра [ править ]
Формально тождество — это истинная универсально квантифицированная формула вида где s и t — термины, в которых нет других свободных переменных, кроме Префикс квантора часто остается неявным, когда утверждается, что формула является тождеством. Например, аксиомы моноида часто задаются в виде формул
или, короче,
Итак, эти формулы являются тождествами в каждом моноиде. Что касается всякого равенства, то формулы без квантора часто называют уравнениями . Другими словами, тождество — это уравнение, истинное для всех значений переменных. [9] [10]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Все утверждения в этом разделе можно найти в Shirali 2002 , Раздел 4, Downing 2003 , p. 275, или Кейт и Бхапкар 2009 , с. Например, 1-1.
Цитаты [ править ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Математические слова: идентичность» . www.mathwords.com . Проверено 1 декабря 2019 г.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Идентичность – определение математического слова – Открытый справочник по математике» . www.mathopenref.com . Проверено 1 декабря 2019 г.
- ^ «Основные идентичности» . www.math.com . Проверено 1 декабря 2019 г.
- ^ «Алгебраические тождества» . www.sosmath.com . Проверено 1 декабря 2019 г.
- ^ Стапель, Элизабет. «Тригонометрические тождества» . Фиолетовая математика . Проверено 1 декабря 2019 г.
- ^ Бернштейн, Стивен; Бернштейн, Рут (1999), Очерк теории и проблем элементов статистики Шаума. I, Описательная статистика и вероятность , серия очерков Шаума, Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-005023-5 , с. 21
- ^ Осборн, Г. (1 января 1902 г.). «109. Мнемотехника для гиперболических формул» . Математический вестник . 2 (34): 189. дои : 10.2307/3602492 . JSTOR 3602492 .
- ^ Петерсон, Джон Чарльз (2003). Техническая математика с исчислением (3-е изд.). Cengage Обучение. п. 1155. ИСБН 0-7668-6189-9 . , глава 26, стр. 1155
- ^ Нахум Дершовиц ; Жан-Пьер Жуанно (1990). «Переписать системы». Ян ван Леувен (ред.). Формальные модели и семантика . Справочник по теоретической информатике. Том. Б. Эльзевир. стр. 243–320.
- ^ Вольфганг Векслер (1992). Вильфрид Брауэр ; Гжегож Розенберг ; Арто Саломаа (ред.). Универсальная алгебра для компьютерщиков . Монографии EATCS по теоретической информатике. Том. 25. Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-54280-9 . Здесь: Опр.1 п.3.2.1, стр.160.
Источники [ править ]
- Даунинг, Дуглас (2003). Алгебра простой путь . Образовательная серия Бэрронса. ISBN 978-0-7641-1972-9 .
- Кейт, СК; Бхапкар, HR (2009). Основы математики . Технические публикации. ISBN 978-81-8431-755-8 .
- Ширали, С. (2002). Приключения в решении проблем . Университетская пресса. ISBN 978-81-7371-413-9 .
Внешние ссылки [ править ]
- Энциклопедия уравнений Онлайн-энциклопедия математических тождеств (в архиве)
- Коллекция алгебраических тождеств