Jump to content

Идентичность (математика)

Визуальное доказательство идентичности Пифагора : под любым углом , точка лежит на единичной окружности , которая удовлетворяет уравнению . Таким образом, .

В математике тождество равенство — это , связывающее одно математическое выражение A с другим математическим выражением B , такое, что A и B (которые могут содержать некоторые переменные ) дают одно и то же значение для всех значений переменных в определенном диапазоне допустимости. [1] Другими словами, A = B является тождеством, если A и B определяют одни и те же функции , а тождество — это равенство между функциями, которые определены по-разному. Например, и являются тождествами. [1] Идентичность иногда обозначается тройной чертой вместо = , знака равенства . [2] Формально тождество — это универсально определенное равенство.

Общие личности [ править ]

Алгебраические тождества [ править ]

Определенные личности, такие как и , составляют основу алгебры , [3] в то время как другие личности, такие как и , может быть полезен при упрощении алгебраических выражений и их расширении. [4]

Тригонометрические тождества [ править ]

Геометрически тригонометрические тождества — это тождества, включающие в себя определенные функции одного или нескольких углов . [5] Они отличаются от тождеств треугольника , которые включают в себя как углы, так и длины сторон треугольника . В этой статье рассматриваются только первые.

Эти тождества полезны всякий раз, когда необходимо упростить выражения, включающие тригонометрические функции. Еще одним важным применением является интегрирование нетригонометрических функций: распространенный метод, который включает сначала использование правила замены тригонометрической функцией , а затем упрощение полученного интеграла с помощью тригонометрического тождества.

Одним из наиболее ярких примеров тригонометрических тождеств является уравнение что верно для всех действительных значений . С другой стороны, уравнение

справедливо только для определенных значений , не все. Например, это уравнение верно, когда но ложь, когда .

Другая группа тригонометрических тождеств касается так называемых формул сложения и вычитания (например, тождество двойного угла , формула сложения для ), [2] который можно использовать для разбиения выражений больших углов на выражения с меньшими составляющими.

Экспоненциальные тождества [ править ]

Следующие тождества справедливы для всех целочисленных показателей при условии, что основание не равно нулю:

В отличие от сложения и умножения, возведение в степень не является коммутативным . Например, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 и 2 · 3 = 3 · 2 = 6 , но 2 3 = 8 тогда как 3 2 = 9 .

Кроме того, в отличие от сложения и умножения, возведение в степень не является ассоциативным . Например, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 и (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24 , но 2 3 до 4 будет 8 4 (или 4096), тогда как 2 к 3 4 2 81 (или 2 417 851 639 229 258 349 412 352). Если круглые скобки не написаны, по соглашению порядок будет сверху вниз, а не снизу вверх:

тогда как

Логарифмические тождества [ править ]

Несколько важных формул, иногда называемых логарифмическими тождествами или логарифмическими законами , связывают логарифмы друг с другом: [а]

Произведение, частное, степень и корень [ править ]

Логарифм произведения — это сумма логарифмов умножаемых чисел; логарифм отношения двух чисел — это разность логарифмов. Логарифм p-й степени числа в p раз больше логарифма самого числа; логарифм корня p- й степени равен логарифму числа, разделенного на p . В следующей таблице перечислены эти личности с примерами. Каждое из тождеств можно получить после подстановки определений логарифмов. и/или в левых сторонах.

Формула Пример
продукт
частное
власть
корень

Смена базы [ править ]

Логарифм log b ( x ) можно вычислить из логарифмов x и b по произвольному основанию k, используя следующую формулу:

Типичные научные калькуляторы вычисляют логарифмы по основаниям 10 и e . [6] Логарифмы по любой базе b можно определить, используя любой из этих двух логарифмов по предыдущей формуле:

Учитывая число x и его логарифм log b ( x ) по неизвестной базе b , база определяется следующим образом:

Гиперболические тождества функций [ править ]

Гиперболические функции удовлетворяют многим тождествам, все из которых по форме аналогичны тригонометрическим тождествам . Фактически, правило Осборна [7] утверждает, что можно преобразовать любое тригонометрическое тождество в гиперболическое тождество, полностью расширив его с точки зрения целых степеней синусов и косинусов, заменив синус на sinh и косинус на cosh и изменив знак каждого члена, который содержит произведение четного числа. гиперболических синусов. [8]

Функция Гудермана дает прямую связь между тригонометрическими функциями и гиперболическими, не использующими комплексные числа .

Логика и универсальная алгебра [ править ]

Формально тождество — это истинная универсально квантифицированная формула вида где s и t термины, в которых нет других свободных переменных, кроме Префикс квантора часто остается неявным, когда утверждается, что формула является тождеством. Например, аксиомы моноида часто задаются в виде формул

или, короче,

Итак, эти формулы являются тождествами в каждом моноиде. Что касается всякого равенства, то формулы без квантора часто называют уравнениями . Другими словами, тождество — это уравнение, истинное для всех значений переменных. [9] [10]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Все утверждения в этом разделе можно найти в Shirali 2002 , Раздел 4, Downing 2003 , p. 275, или Кейт и Бхапкар 2009 , с. Например, 1-1.

Цитаты [ править ]

  1. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Математические слова: идентичность» . www.mathwords.com . Проверено 1 декабря 2019 г.
  2. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Идентичность – определение математического слова – Открытый справочник по математике» . www.mathopenref.com . Проверено 1 декабря 2019 г.
  3. ^ «Основные идентичности» . www.math.com . Проверено 1 декабря 2019 г.
  4. ^ «Алгебраические тождества» . www.sosmath.com . Проверено 1 декабря 2019 г.
  5. ^ Стапель, Элизабет. «Тригонометрические тождества» . Фиолетовая математика . Проверено 1 декабря 2019 г.
  6. ^ Бернштейн, Стивен; Бернштейн, Рут (1999), Очерк теории и проблем элементов статистики Шаума. I, Описательная статистика и вероятность , серия очерков Шаума, Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN  978-0-07-005023-5 , с. 21
  7. ^ Осборн, Г. (1 января 1902 г.). «109. Мнемотехника для гиперболических формул» . Математический вестник . 2 (34): 189. дои : 10.2307/3602492 . JSTOR   3602492 .
  8. ^ Петерсон, Джон Чарльз (2003). Техническая математика с исчислением (3-е изд.). Cengage Обучение. п. 1155. ИСБН  0-7668-6189-9 . , глава 26, стр. 1155
  9. ^ Нахум Дершовиц ; Жан-Пьер Жуанно (1990). «Переписать системы». Ян ван Леувен (ред.). Формальные модели и семантика . Справочник по теоретической информатике. Том. Б. Эльзевир. стр. 243–320.
  10. ^ Вольфганг Векслер (1992). Вильфрид Брауэр ; Гжегож Розенберг ; Арто Саломаа (ред.). Универсальная алгебра для компьютерщиков . Монографии EATCS по теоретической информатике. Том. 25. Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-54280-9 . Здесь: Опр.1 п.3.2.1, стр.160.

Источники [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: efc80deb2764679a92b3044048b0a72e__1692963900
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ef/2e/efc80deb2764679a92b3044048b0a72e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Identity (mathematics) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)