Эквиваленты аксиомы выбора
Эквиваленты аксиомы выбора — это книга по математике, в которой собраны математические утверждения, которые верны тогда и только тогда, когда аксиома выбора верна. Он был написан Германом Рубином и Джин Э. Рубин и опубликован в 1963 году Северной Голландией как 34-й том их серии «Исследования логики и основы математики». Обновленное издание « Эквиваленты аксиомы выбора, II » было опубликовано как 116-й том той же серии в 1985 году.
Темы [ править ]
На момент первой публикации книги было неизвестно, следует ли аксиома выбора из других аксиом теории множеств Цермело – Френкеля (ZF) или не зависит от них, хотя было известно, что она согласуется с ними из работы Курта Гёделя . В этой книге систематизирован проект классификации математических теорем в зависимости от того, необходима ли аксиома выбора в их доказательствах или их можно доказать без нее. Примерно в то же время, когда была опубликована книга, Пол Коэн доказал, что отрицание аксиомы выбора также является последовательным, подразумевая, что аксиома выбора и все ее эквивалентные утверждения в этой книге действительно независимы от ZF. [1]
Первое издание книги включает более 150 математических утверждений, эквивалентных выбранной аксиоме, включая некоторые новые для книги. [1] [2] Настоящее издание разделено на две части: первая посвящена понятиям, выраженным с помощью множеств , а вторая — классам , а не множествам. В первой части темы сгруппированы в утверждения, связанные с принципом хорошего порядка , самой аксиомой выбора, трихотомией (умением сравнивать кардинальные числа ), а также леммой Цорна и связанными с ней принципами максимальности . Этот раздел также включает еще три главы, посвященные утверждениям абстрактной алгебры , утверждениям для кардинальных чисел и окончательному набору различных утверждений. Второй раздел состоит из четырех глав, посвященных темам, параллельным четырем главам первого раздела. [3]
Книга включает историю каждого утверждения и множество доказательств их эквивалентности. [3] Вместо ZF для своих доказательств он использует теорию множеств Фон Неймана–Бернейса–Гёделя , главным образом в форме, называемой NBG. 0 что допускает использование urelements (вопреки аксиоме экстенсиональности ), а также не включает аксиому регулярности .
Во второе издание добавлено множество дополнительных эквивалентных утверждений, более чем в два раза больше, чем в первом издании, а также дополнительный список из более чем 80 утверждений, которые связаны с выбранной аксиомой, но не известны как эквивалентные ей. [2] Он включает в себя два добавленных раздела: один посвящен эквивалентным утверждениям, для доказательства эквивалентности которых требуются аксиомы экстенсиональности и регулярности, а другой посвящен утверждениям топологии , математического анализа и математической логики . [4] Он также включает в себя более поздние разработки в области независимости аксиомы выбора и улучшенное описание истории леммы Цорна. [2]
и Аудитория прием
Эта книга написана как справочник для профессиональных математиков, особенно тех, кто работает в области теории множеств . [2] Рецензент Чен Чунг Чанг пишет, что он «будет полезен как специалисту в этой области, так и обычному работающему математику», и что его результаты «ясны и понятны». [3] Ко времени выхода второго издания рецензенты Дж. М. Плоткин и Дэвид Пинкус назвали это «стандартным справочником» в этой области. [4] [5]
Ссылки [ править ]
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Гудстейн, Р.Л. (октябрь 1964 г.), «Обзор эквивалентов аксиомы выбора », The Mathematical Gazette , 48 (365): 348, doi : 10.2307/3613069 , JSTOR 3613069
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Смит, Перри (1987), «Обзор эквивалентов аксиомы выбора, II », Mathematical Reviews , MR 0798475
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Чанг, К.-К. , «Обзор эквивалентов аксиомы выбора », Математические обзоры , MR 0153590
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Плоткин, Дж. М., «Обзор эквивалентов аксиомы выбора, II », zbMATH , Zbl 0582.03033
- ^ Пинкус, Дэвид (сентябрь 1987 г.), «Обзор эквивалентов аксиомы выбора, II », Журнал символической логики , 52 (3): 867–869, doi : 10.2307/2274372 , JSTOR 2274372