Модальная алгебра

В алгебре и логике модальная алгебра — это структура $\langle A,\land ,\lor ,-,0,1,\Box \rangle$ такой, что

• $\langle A,\land ,\lor ,-,0,1\rangle$ — булева алгебра ,
• $\Box$ является унарной операцией над A, удовлетворяющей $\Box 1=1$ и $\Box (x\land y)=\Box x\land \Box y$ для x , y в A. всех

Модальные алгебры предоставляют модели пропозициональной модальной логики точно так же, как булевы алгебры являются моделями классической логики . В частности, многообразие всех модальных алгебр является эквивалентной алгебраической семантикой модальной логики К в смысле абстрактной алгебраической логики , а решетка ее подмногообразий дуально изоморфна решетке нормальных модальных логик .

Теорема Стоуна о представлении может быть обобщена на двойственность Йонссона-Тарского , которая гарантирует, что каждая модальная алгебра может быть представлена ​​как алгебра допустимых множеств в модальном общем фрейме .

Алгебра Магари (или диагонализируемая алгебра ) — это модальная алгебра, удовлетворяющая $\Box (-\Box x\lor x)=\Box x$. Алгебры Магари соответствуют логике доказуемости .

См. также

• Внутренняя алгебра
• Алгебра Гейтинга

Ссылки

• А. Чагров и М. Захарьящев, Модальная логика , Oxford Logic Guides vol. 35, Издательство Оксфордского университета, 1997. ISBN   0-19-853779-4