Замечательный кардинал

В математике замечательный кардинал — это определенный вид большого кардинального числа.

Кардинал регулярных κ называется замечательным, если для всех кардиналов θ > κ существуют π , M , λ , σ , N и ρ такие, что

1. π : M → H _θ — элементарное вложение
2. M счетно ​ и транзитивно
3. π ( λ ) знак равно k
4. σ : M → N — элементарное вложение с критической точкой λ
5. N счетно и транзитивно
6. ρ = M ∩ Ord — регулярный кардинал в N
7. σ ( λ ) > п
8. М = Ч _ρ ^Н , т. е. M ∈ N и N ⊨ " M — множество всех множеств, наследственно меньших, чем ρ "

Эквивалентно, $\kappa$ замечательно тогда и только тогда, когда для каждого $\lambda >\kappa$ есть ${\bar {\lambda }}<\kappa$ такой, что в некотором принудительном расширении $V[G]$, имеется элементарное вложение $j:V_{\bar {\lambda }}^{V}\rightarrow V_{\lambda }^{V}$ удовлетворяющий $j(\operatorname {crit} (j))=\kappa$. Хотя определение похоже на одно из определений сверхкомпактных кардиналов , элементарное вложение здесь должно существовать только в $V[G]$, не в $V$.

См. также

• Наследственно счетное множество

Ссылки

• Шиндлер, Ральф (2000), «Правильное принуждение и замечательные кардиналы» , Бюллетень символической логики , 6 (2): 176–184, CiteSeerX   10.1.1.297.9314 , doi : 10.2307/421205 , ISSN   1079-8986 , JSTOR   421205 , МР   1765054 , S2CID   1733698
• Гитман, Виктория (2016), Виртуальные большие кардиналы (PDF)