Онтологическое доказательство Гёделя

Онтологическое доказательство Гёделя — это формальный аргумент математика Курта Гёделя (1906–1978) в пользу существования Бога . Этот аргумент развивается по линии, восходящей к Ансельму Кентерберийскому (1033–1109). святого Ансельма Онтологический аргумент в его наиболее сжатой форме таков: «Бог, по определению, есть то, для чего нельзя помыслить ничего большего. Бог существует в понимании. Если Бог существует в понимании, мы могли бы представить Его быть более великим, существуя в реальности . Следовательно, Бог должен существовать». Более подробную версию предложил Готфрид Лейбниц (1646–1716); это версия, которую Гёдель изучал и пытался прояснить своим онтологическим аргументом.

Гёдель оставил в своих статьях изложение своих философских убеждений из четырнадцати пунктов. ^{[ 1 ]} К моментам, имеющим отношение к онтологическому доказательству, относятся:

4. Существуют другие миры и разумные существа иного, более высокого рода.

5. Мир, в котором мы живем, не единственный, в котором мы будем жить или жили.

13. Существует научная (точная) философия и богословие, занимающиеся понятиями высшей абстрактности; и это также весьма плодотворно для науки.

14. Религии по большей части плохие, но религия — нет.

История

Первая версия онтологического доказательства в статьях Гёделя датирована «около 1941 года». Известно, что Гёдель никому не рассказывал о своей работе над доказательством до 1970 года, когда он думал, что умирает. В феврале он позволил Дане Скотт скопировать версию доказательства, которая распространилась в частном порядке. В августе 1970 года Гёдель сказал Оскару Моргенштерну , что он «удовлетворён» доказательством, но Моргенштерн сделал запись в своём дневнике от 29 августа 1970 года, что Гёдель не стал публиковаться, потому что боялся, что другие могут подумать, «что он действительно верит в Бога». , тогда как он занимается лишь логическим исследованием (т. е. показывает, что такое доказательство с классическими предположениями (полнотой и т. д.) соответственно аксиоматизируется, возможно)». ^{[ 2 ]} Гёдель умер 14 января 1978 года. В его бумагах была найдена другая версия, несколько отличающаяся от версии Скотта. Наконец, он был опубликован вместе с версией Скотта в 1987 году. ^{[ 3 ]}

В письмах к матери, которая не была прихожанкой церкви и воспитала Курта и его брата вольнодумцами , ^{[ 4 ]} Гёдель подробно отстаивал веру в загробную жизнь. ^{[ 5 ]} То же самое он сделал в интервью скептически настроенному Хао Вангу , который сказал: «Я выразил свои сомнения, пока Г говорил [...] Гёдель улыбался, отвечая на мои вопросы, очевидно, понимая, что его ответы меня не убедили». ^{[ 6 ]} Ван сообщает, что жена Гёделя, Адель, через два дня после смерти Гёделя сказала Вану, что «Гедель, хотя и не ходил в церковь, был религиозен и каждое воскресное утро читал Библию в постели». ^{[ 7 ]} В неотправленном ответе на анкету Гёдель описал свою религию как «крещеную лютеранскую веру (но не член какой-либо религиозной общины). Моя вера теистическая , а не пантеистическая , и я следую Лейбницу, а не Спинозе ». ^{[ примечание 1 ]}

Контур

Доказательство ^{[ 8 ]}^{[ 10 ]} использует модальную логику , которая различает необходимые истины и случайные истины . В наиболее распространенной семантике модальной логики множество « возможных миров рассматривается ». Истина , необходима . если она истинна во всех возможных мирах Напротив, если утверждение истинно в нашем мире, но ложно в другом мире, то это условная истина. Утверждение, которое верно в каком-то мире (не обязательно в нашем), называется возможной истиной.

Более того, доказательство использует (модальную) логику более высокого порядка , поскольку определение Бога использует явную количественную оценку свойств. ^{[ 11 ]}

Во-первых, Гёдель аксиоматизирует понятие «положительного свойства»: ^{[ примечание 2 ]} для каждого свойства φ либо φ , либо его отрицание ¬ φ должно быть положительным, но не оба одновременно (аксиома 2). Если положительное свойство φ влечет за собой свойство ψ в каждом возможном мире, то ψ тоже положительно (аксиома 1). ^{[ примечание 3 ]} Затем Гёдель утверждает, что каждое положительное свойство «возможно экземплифицируется», то есть применимо, по крайней мере, к некоторому объекту в некотором мире (теорема 1). Определение объекта богоподобным, если он обладает всеми положительными свойствами (определение 1), ^{[ примечание 4 ]} и требуя, чтобы это свойство само было положительным (аксиома 3), ^{[ примечание 5 ]} Гёдель показывает, что в некотором возможном мире существует богоподобный объект (теорема 2), называемый в дальнейшем «Богом». ^{[ примечание 6 ]} Гёдель продолжает доказывать, что богоподобный объект существует во всех возможных мирах.

С этой целью он определяет сущности : если x является объектом в каком-то мире, то свойство φ называется сущностью x , если φ ( x ) истинно в этом мире и если φ обязательно влечет за собой все другие свойства, которыми x. обладает в том мире (определение 2). Требуя, чтобы положительные свойства были положительными во всех возможных мирах (аксиома 4), Гёдель может показать, что богоподобие является сущностью богоподобного объекта (теорема 3). Теперь существует говорят, что элемент y со свойством x существует необходимо, если для каждой сущности φ x φ в каждом возможном мире (определение 3). Аксиома 5 требует, чтобы необходимое существование было положительным свойством.

Следовательно, оно должно следовать из богоподобия. Более того, Богоподобие является сущностью Бога, поскольку оно влечет за собой все положительные свойства, а любое неположительное свойство является отрицанием некоторого положительного свойства, поэтому Бог не может иметь никаких неположительных свойств. Поскольку необходимое существование также является положительным свойством (аксиома 5), оно должно быть свойством каждого богоподобного объекта, поскольку каждый богоподобный объект обладает всеми положительными свойствами (определение 1). Поскольку любой богоподобный объект обязательно существует, отсюда следует, что любой богоподобный объект в одном мире является богоподобным объектом во всех мирах по определению необходимого существования. Учитывая доказанное выше существование богоподобного объекта в одном мире, можно заключить, что богоподобный объект существует в каждом возможном мире, что и требовалось (теорема 4). Помимо аксиомы 1–5 и определения 1–3, еще несколько аксиом модальной логики. ^{[ нужны разъяснения ]} были молчаливо использованы в доказательстве.

Из этих гипотез также можно доказать, что в каждом мире существует только один Бог, по закону Лейбница, тождества неразличимых : два или более объектов тождественны (одинаковы), если они имеют все свои свойства общие, и так, в каждом мире будет только один объект, обладающий свойством. Однако Гёдель не пытался этого сделать, поскольку он намеренно ограничил свое доказательство вопросом существования, а не уникальности.

Символическое обозначение

${\begin{array}{rl}{\text{Ax. 1.}}&\left(P(\varphi )\;\wedge \;\Box \;\forall x(\varphi (x)\Rightarrow \psi (x))\right)\;\Rightarrow \;P(\psi )\\{\text{Ax. 2.}}&P(\neg \varphi )\;\Leftrightarrow \;\neg P(\varphi )\\{\text{Th. 1.}}&P(\varphi )\;\Rightarrow \;\Diamond \;\exists x\;\varphi (x)\\{\text{Df. 1.}}&G(x)\;\Leftrightarrow \;\forall \varphi (P(\varphi )\Rightarrow \varphi (x))\\{\text{Ax. 3.}}&P(G)\\{\text{Th. 2.}}&\Diamond \;\exists x\;G(x)\\{\text{Df. 2.}}&\varphi {\text{ ess }}x\;\Leftrightarrow \;\varphi (x)\wedge \forall \psi \left(\psi (x)\Rightarrow \Box \;\forall y(\varphi (y)\Rightarrow \psi (y))\right)\\{\text{Ax. 4.}}&P(\varphi )\;\Rightarrow \;\Box \;P(\varphi )\\{\text{Th. 3.}}&G(x)\;\Rightarrow \;G{\text{ ess }}x\\{\text{Df. 3.}}&E(x)\;\Leftrightarrow \;\forall \varphi (\varphi {\text{ ess }}x\Rightarrow \Box \;\exists y\;\varphi (y))\\{\text{Ax. 5.}}&P(E)\\{\text{Th. 4.}}&\Box \;\exists x\;G(x)\end{array}}$

Критика

Большая часть критики доказательства Гёделя направлена на его аксиомы: как и в случае любого доказательства в любой логической системе, если аксиомы, от которых зависит доказательство, подвергаются сомнению, то и выводы могут быть подвергнуты сомнению. Это особенно применимо к доказательству Гёделя, поскольку оно основано на пяти аксиомах, некоторые из которых считаются сомнительными. Доказательство не требует, чтобы вывод был правильным, а скорее требует, чтобы, приняв аксиомы, вывод вытекал логически.

Многие философы ставили аксиомы под сомнение. Первый уровень критики заключается просто в том, что не представлено никаких аргументов, объясняющих, почему аксиомы верны. Второй слой заключается в том, что именно эти аксиомы приводят к нежелательным выводам. Эту точку зрения отстаивал Джордан Говард Собел . ^{[ 12 ]} показывая, что, если аксиомы приняты, они приводят к « модальному коллапсу », когда каждое истинное утверждение обязательно истинно, т.е. все множества необходимых, случайных и возможных истин совпадают (при условии, что существуют доступные вообще миры) . ^{[ примечание 7 ]} По словам Роберта Кунса , ^{[ 9 ]}^: 9 Собел предложил в докладе на конференции 2005 года. ^{[ нужна ссылка ]} что Гёдель, возможно, приветствовал модальный коллапс. ^{[ 13 ]}

Предлагаются поправки к доказательству, представленные К. Энтони Андерсоном , ^{[ 14 ]} но Андерсон и Майкл Геттингс утверждали, что это опровержимо. ^{[ 15 ]} Доказательство Собела о модальном коллапсе было подвергнуто сомнению Кунсом. ^{[ 9 ]}^{[ примечание 8 ]} но Собел дал контрзащиту. ^{[ нужна ссылка ]}

Доказательство Гёделя также было подвергнуто сомнению Грэмом Оппи . ^{[ 16 ]} задаваясь вопросом, будут ли многие другие почти-боги также «доказаны» с помощью аксиом Гёделя. Этот контраргумент был подвергнут сомнению Геттингсом, ^{[ 17 ]} который согласен с тем, что аксиомы могут быть подвергнуты сомнению, но не согласен с тем, что конкретный контрпример Оппи можно показать на основе аксиом Гёделя.

Религиовед о. Роберт Дж. Спитцер принял доказательство Гёделя, назвав его «улучшением по сравнению с онтологическим аргументом Ансельма (который не работает)». ^{[ 18 ]}

Однако существует гораздо больше критических замечаний, большинство из которых сосредоточены на вопросе о том, следует ли отвергать эти аксиомы, чтобы избежать странных выводов. Более широкая критика заключается в том, что даже если невозможно доказать ложность аксиом, это не означает, что они истинны. Гильберта Знаменитое замечание о взаимозаменяемости имен примитивов применимо как к аксиомам онтологических аксиом Гёделя («положительное», «богоподобное», «сущность»), так и к аксиомам геометрии Гильберта («точка», «линия», "самолет"). По мнению Андре Фурманна (2005), осталось показать, что ослепительная идея, предписанная традициями и часто считающаяся по сути загадочной, удовлетворяет аксиомам Гёделя. Это не математическая, а богословская задача. ^{[ 19 ]}^{: 364–366} Именно эта задача решает, существование бога какой религии будет доказано.

Версии, проверенные компьютером

Кристоф Бенцмюллер и Бруно Вольценлогель-Палео формализовали доказательство Гёделя до уровня, который подходит для автоматического доказательства теорем или, по крайней мере, вычислительной проверки с помощью помощников по доказательству . ^{[ 20 ]} Эта попытка попала в заголовки немецких газет. По словам авторов этой работы, их вдохновила Мелвина Фиттинга . книга ^{[ 21 ]}

В 2014 году они вычислительно подтвердили доказательство Гёделя (в приведенной выше версии). ^{[ 22 ]}^: 97^{[ примечание 9 ]} Они также доказали, что аксиомы этой версии непротиворечивы: ^{[ примечание 10 ]} но подразумевают модальный коллапс, ^{[ примечание 11 ]} тем самым подтверждая аргумент Собела 1987 года. В той же статье они предположили, что первоначальная версия аксиом Гёделя ^{[ примечание 12 ]} быть непоследовательными, так как им не удалось доказать свою последовательность. ^{[ примечание 13 ]}

В 2016 году они предоставили автоматическое доказательство того, что исходная версия подразумевает $\Diamond \Box \bot$ , т. е. несовместимо в любой модальной логике с рефлексивным или симметричным отношением доступности . ^{[ 24 ]}^{: 940 футов} Более того, они привели аргумент, что эта версия несостоятельна вообще ни в какой логике, ^{[ примечание 14 ]} но не смог воспроизвести его с помощью автоматических пруверов. ^{[ примечание 15 ]} Однако они смогли проверить переформулировку аргумента Мелвина Фиттинга и гарантировать ее последовательность. ^{[ 25 ]}

В литературе

Юмористический вариант онтологического доказательства Гёделя упоминается в романе Квентина Кантерела « Веселый коронер» . ^{[ 26 ]}^{[ нужна страница ]} Доказательство также упоминается в сериале « Рука Бога» . ^{[ указать ]}

В романе Джеффри Кеглера 2007 года «Доказательство Бога» изображено (вымышленное) повторное открытие потерянной записной книжки Гёделя об онтологическом доказательстве. ^{[ 27 ]}

См. также

Примечания

↑ Ответ Гёделя на специальную анкету, которую ему прислал социолог Берк Гранжан. Этот ответ прямо цитируется в Wang 1987, с. 18 и косвенно в Wang 1996, с. 112. Это также прямо цитируется в Dawson 1997, p. 6, который цитирует Wang 1987. Анкета Гранжана, пожалуй, самая обширная автобиографическая статья в статьях Гёделя. Гёдель заполнил его карандашом и написал сопроводительное письмо, но так и не вернул его. «Теистический» выделен курсивом как в Wang 1987, так и в Wang 1996. Вполне возможно, что этот курсив принадлежит Вангу, а не Гёделю. Цитата следует за Вангом 1987 года с двумя исправлениями, взятыми из Ванга 1996 года. Ван 1987 года читается как «баптист-лютеранин», а Ван 1996 года «крестил лютеранина». Слово «баптист-лютеранин» не имеет смысла, особенно в контексте, и, по-видимому, это опечатка или неправильная транскрипция. Wang 1987 имеет слово «rel. cong.», которое в Wang 1996 расширено до «религиозной общины».
^ можно выделить положительные Предполагается, что среди всех свойств свойства. Гёдель комментирует: «Позитивное означает позитивное в морально- эстетическом смысле (независимо от случайной структуры мира)… Это также может означать чистую атрибуцию в отличие от лишений (или содержащих лишения)». (Gödel 1995), см. также рукопись (Gawlick 2012).
^ В качестве профанного примера: если свойство быть зеленым является положительным, свойство не быть красным также является положительным (согласно аксиоме 1), следовательно, свойство быть красным является отрицательным (согласно аксиоме 2). В более общем смысле, позитивным можно считать не более одного цвета.
^ Продолжая пример с цветом: богоподобный объект должен иметь уникальный цвет, который считается положительным, или вообще не иметь цвета; обе альтернативы могут показаться нелогичными.
^ Если рассматривать частичный порядок $\preceq$ определяется $\varphi \preceq \psi$ если $\square \forall y(\varphi (y)\to \psi (y))$ , то аксиомы 1–3 можно резюмировать, сказав, что положительные свойства образуют ультрафильтр в этом порядке. Определение 1 и аксиома 4 необходимы для установления свойства богоподобия как основного элемента ультрафильтра.
^ Путем удаления всех модальных операторов из аксиом, определений, доказательств и теорем получается модифицированная версия теоремы 2, в которой говорится: «∃ x G ( x )», т.е. «Существует объект, который имеет все положительные, но не имеет отрицательных свойств» . Для получения этого результата не требуется учитывать ничего, кроме аксиом 1–3, определения 1 и теорем 1–2.
^ Формально $p\Rightarrow \Box p$ для всех p подразумевает $\Diamond p\Rightarrow p$ для всех p по косвенному доказательству и $\Box p\Rightarrow \Diamond p$ справедливо для всех p, когда существуют доступные миры.
^ Поскольку доказательство модального коллапса Собеля использует лямбда-абстракцию , а доказательство Гёделя - нет, Кунс предлагает запретить эту операцию построения свойств как «наиболее консервативную» меру, прежде чем «отклонять или исправлять ... аксиомы (как это делает Андерсон)».
^ Строки «Т3» на рис.2 и пункт 3 в разделе 4 («Основные выводы»). Их теорема «Т3» соответствует показанной выше «Тел.4» .
^ Строка «СО» на рис.2 и пункт 1 в разделе 4 (с. 97).
^ Строка «MC» на рис.2 и пункт 6 в разделе 4 (с. 97).
↑ версия Показанная здесь принадлежит Дане Скотт. ^{[ 23 ]} Он отличается от оригинала Гёделя отсутствием первого союза, $\varphi (x)$ , в Df.2.
^ Строки «СО'» на рис.2 и пункт 5 в разделе 4 (с. 97).
^ Пункт 8 раздела 4.1 «Неофициальный спор» (с. 940).
^ См. подробное обсуждение в разделе 4 «Аргумент интуитивной несогласованности» (стр. 939–941).

Ссылки

^ В: Ван, Хао. Логическое путешествие: от Гёделя к философии. Книга Брэдфорда, 1997. Печать. стр.316.
^ Цитируется по Gödel 1995, с. 388. Немецкий оригинал цитируется в Dawson 1997, p. 307. Вложенные круглые скобки находятся в оригинальной дневниковой записи Моргенштерна, цитируемой Доусоном.
^ История публикации доказательства в этом абзаце взята из Gödel 1995, стр. 388
^ Доусон 1997, стр. 6.
^ Доусон 1997, стр. 210–212.
^ Ван 1996, с. 317. Многоточие принадлежит Википедии.
^ Деньги 1996, с. 51.
^ Доказательство Гёделя перепечатано на стр. 403-404, 429-437: Курт Гёдель (март 1995 г.). Соломон Феферман и Джон В. Доусон мл. и Уоррен Гольдфарб, Чарльз Парсонс и Роберт М. Соловей (ред.). Неопубликованные эссе и лекции (PDF) . Собрание сочинений. Том. III (1-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-507255-3 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Роберт К. Кунс (июль 2005 г.). Собель об онтологическом доказательстве Гёделя (PDF) (неопубликованная статья). Техасский университет в Остине. Архивировано из оригинала (PDF) 2 августа 2020 г.
^ Представленная ниже презентация следует за тем, что было в Кунсе (2005), ^{[ 9 ]} стр.3-7.
^ Фиттинг, 2002, с. 139
^ Джордан Ховард Собел (ноябрь 1987 г.). «Онтологическое доказательство Гёделя». В Джудит Джарвис Томсон (ред.). О бытии и высказывании: очерки Ричарда Картрайта . Кембридж/Массачусетс и Лондон, Англия: MIT Press. стр. 241–261 . ISBN 978-0262200639 .
^ Курт Гёдель (март 1995 г.). «Тексты, относящиеся к онтологическому доказательству (приложение B)». У Соломона Фефермана; Джон В. Доусон-младший; Уоррен Гольдфарб; Чарльз Парсонс; Роберт М. Соловей (ред.). Неопубликованные эссе и лекции (PDF) . Собрание сочинений. Том. III (1-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 429–437. ISBN 0-19-507255-3 . Здесь: стр.435; вероятно, Собель имел в виду примечание Гёделя 4.: «...Если $\varphi (x)\Rightarrow \Box \varphi (x)$ предполагается [как вытекает из существа $x$ ], ... но это худший способ. Скорее, $\varphi (x)\Rightarrow \Box \varphi (x)$ должно следовать в первую очередь из существования Бога». Это примечание может указывать на то, что Гёдель осознавал свои аксиомы, подразумевающие модальный коллапс.
^ Кертис Энтони Андерсон (июль 1990 г.). «Некоторые поправки к онтологическому доказательству Гёделя» (PDF) . Вера и философия . 7 (3): 291–303. дои : 10.5840/faithphil19907325 . Архивировано (PDF) из оригинала 4 июня 2015 г.
^ Кертис Энтони Андерсон и Майкл Геттингс (август 1996 г.). «Пересмотр онтологического доказательства Гёделя» . У Петра Гаека (ред.). Учеб. Гёдель '96: Логические основы математики, информатики и физики — наследие Курта Гёделя . Конспект лекций по логике. Том. 6. Спрингер. стр. 167–172.
^ Грэм Оппи (октябрь 1996 г.). «Годелевские онтологические аргументы» . Анализ . 54 (4): 226–230. дои : 10.1093/analys/56.4.226 . - Более длинная версия (2005 г.)
^ Геттингс Майкл (1999). «Онтологический аргумент Гёделя: ответ Оппи». Анализ . 59 (264): 309–313. doi : 10.1111/1467-8284.00184 (неактивен 31 января 2024 г.). {{cite journal}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на январь 2024 г. ( ссылка )
^ «Теорема Гёделя и существование Бога» . Центр Магис . 26 апреля 2017 г. Проверено 23 мая 2018 г.
^ Андре Фурманн (2005). «Существование и необходимость - аксиоматическая теология Курта Гёделя» (PDF) . В В. Споне (ред.). философии Логика в (на немецком языке). Гейдельберг: Синхронно. стр. 349–374. Архивировано (PDF) из оригинала 18 мая 2016 г.
^ «Формальное богословие / ГедельБог» . Гитхаб . 28 июня 2021 г.
^ Найт, Дэвид (23 октября 2013 г.). «Ученые используют компьютер для математического доказательства теоремы Гёделя о Боге» . Дер Шпигель . Проверено 28 октября 2013 г.
^ Кристоф Бенцмюллер и Бруно Вольценлогель-Палео (2014). «Автоматизация онтологического доказательства существования Бога Гёделя с помощью автоматизированных средств доказательства теорем высшего порядка» (PDF) . Учеб. Европейская конференция по искусственному интеллекту . Границы искусственного интеллекта и приложений. Том. 263. ИОС Пресс. стр. 93–98. Архивировано (PDF) из оригинала 14 июля 2014 г.
^ Д. Скотт (2004). «Приложение B: Заметки рукой Даны Скотт [1972]». В Дж. Х. Собеле (ред.). Логика и теизм: аргументы за и против веры в Бога . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 145–146. ISBN 978-0511497988 .
^ Кристоф Бенцмюллер и Бруно Вольценлогель-Палео (июль 2016 г.). «Непоследовательность в онтологическом аргументе Гёделя: история успеха ИИ в метафизике» (PDF) . В Суббарао Камбхампати (ред.). Учеб. 25-я Международная совместная конференция по искусственному интеллекту . АААИ Пресс. стр. 936–942. Архивировано (PDF) из оригинала 13 ноября 2016 г.
^ Кристоф Бенцмюллер и Дэвид Фуэнмайор (май 2017 г.). «Типы, таблицы и Бог Гёделя в Изабель/ХОЛ» . Архив формальных доказательств . ISSN 2150-914X .
^ Квентин Кантерел (2015). Веселый коронер: плутовской роман . Независимая пресса Желудя.
^ Джеффри Кеглер (2007), «Доказательство Бога» , заархивировано из оригинала 28 июля 2021 г. , получено 25 марта 2021 г. , полный текст онлайн.

Дальнейшее чтение

Фроде Альфсон Бьёрдал , «Понимание онтологического аргумента Гёделя», в Т. Чайлдерсе (редактор), The Logica Yearbook 1998 , Прага 1999, 214–217.
Фроде Альфсон Бьордал, «Все свойства божественны, или Бог существует», в журнале Logic and Logical Philosophy, Vol. 27 № 3, 2018 г., стр. 329–350.
Броманд, Иоахим. «Онтологическое доказательство Гёделя и другие модальные логические доказательства Бога», в книге Дж. Броманда и Г. Крайса (ред.), « Доказательства Бога от Ансельма до Гёделя» , Берлин, 2011, 381–491.
Джон В. Доусон-младший (1997). Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Геделя . Уэлсли, Массачусетс: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-025-3 .
Мелвин Фиттинг , «Типы, таблицы и Бог Гёделя». Издательство: Dordrecht Kluwer Academic, 2002 г., ISBN 1-4020-0604-7 , ISBN 978-1-4020-0604-3
Курт Гёдель (март 1995 г.). Соломон Феферман; Джон В. Доусон младший; Уоррен Гольдфарб; Чарльз Парсонс; Роберт М. Соловей (ред.). Неопубликованные эссе и лекции (PDF) . Собрание сочинений. Том. III (1-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-507255-3 . - См. главу «Онтологическое доказательство», стр. 403–404, и Приложение B «Тексты, относящиеся к онтологическому доказательству», стр. 429–437.
Гольдман, Рэндольф Р. «Онтологический аргумент Гёделя», докторская диссертация, Калифорнийский университет, Беркли, 2000.
Хазен, А.П. «Об онтологическом доказательстве Гёделя», Австралазийский философский журнал, Vol. 76, № 3, стр. 361–377, сентябрь 1998 г.
Маленький, Кристофер. «Размышления об онтологическом аргументе Гёделя» (PDF) . Университет Ватерлоо . Архивировано из оригинала (PDF) 22 декабря 2009 г. Проверено 31 августа 2010 г.
Ван, Хао (1987). Размышления о Курте Гёделе . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 0-262-23127-1 .
Ван, Хао (1996). Логическое путешествие: от Гёделя к философии . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 0-262-23189-1 .

Внешние ссылки

Оппи, Грэм. «Онтологические аргументы» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
Аннотированная библиография исследований онтологического аргумента Гёделя.
Томас Гаулик, Что такое математические доказательства существования Бога? , январь 2012 г. — показан оригинал корректуры Гёделя на стр. 2-3
Доказательство божественной непротиворечивости математики — представленная работа Харви Фридмана, показывающая, что если Бог существует (в смысле Гёделя), то математика, формализованная обычными аксиомами ZFC , непротиворечива.

[8] Ответ Гёделя на специальную анкету, которую ему прислал социолог Берк Гранжан. Этот ответ прямо цитируется в Wang 1987, с. 18 и косвенно в Wang 1996, с. 112. Это также прямо цитируется в Dawson 1997, p. 6, который цитирует Wang 1987. Анкета Гранжана, пожалуй, самая обширная автобиографическая статья в статьях Гёделя. Гёдель заполнил его карандашом и написал сопроводительное письмо, но так и не вернул его. «Теистический» выделен курсивом как в Wang 1987, так и в Wang 1996. Вполне возможно, что этот курсив принадлежит Вангу, а не Гёделю. Цитата следует за Вангом 1987 года с двумя исправлениями, взятыми из Ванга 1996 года. Ван 1987 года читается как «баптист-лютеранин», а Ван 1996 года «крестил лютеранина». Слово «баптист-лютеранин» не имеет смысла, особенно в контексте, и, по-видимому, это опечатка или неправильная транскрипция. Wang 1987 имеет слово «rel. cong.», которое в Wang 1996 расширено до «религиозной общины».

[13] можно выделить положительные Предполагается, что среди всех свойств свойства. Гёдель комментирует: «Позитивное означает позитивное в морально- эстетическом смысле (независимо от случайной структуры мира)… Это также может означать чистую атрибуцию в отличие от лишений (или содержащих лишения)». (Gödel 1995), см. также рукопись (Gawlick 2012).

[14] В качестве профанного примера: если свойство быть зеленым является положительным, свойство не быть красным также является положительным (согласно аксиоме 1), следовательно, свойство быть красным является отрицательным (согласно аксиоме 2). В более общем смысле, позитивным можно считать не более одного цвета.

[15] Продолжая пример с цветом: богоподобный объект должен иметь уникальный цвет, который считается положительным, или вообще не иметь цвета; обе альтернативы могут показаться нелогичными.

[16] Если рассматривать частичный порядок $\preceq$ определяется $\varphi \preceq \psi$ если $\square \forall y(\varphi (y)\to \psi (y))$ , то аксиомы 1–3 можно резюмировать, сказав, что положительные свойства образуют ультрафильтр в этом порядке. Определение 1 и аксиома 4 необходимы для установления свойства богоподобия как основного элемента ультрафильтра.

[17] Путем удаления всех модальных операторов из аксиом, определений, доказательств и теорем получается модифицированная версия теоремы 2, в которой говорится: «∃ x G ( x )», т.е. «Существует объект, который имеет все положительные, но не имеет отрицательных свойств» . Для получения этого результата не требуется учитывать ничего, кроме аксиом 1–3, определения 1 и теорем 1–2.

[19] Формально $p\Rightarrow \Box p$ для всех p подразумевает $\Diamond p\Rightarrow p$ для всех p по косвенному доказательству и $\Box p\Rightarrow \Diamond p$ справедливо для всех p, когда существуют доступные миры.

[23] Поскольку доказательство модального коллапса Собеля использует лямбда-абстракцию , а доказательство Гёделя - нет, Кунс предлагает запретить эту операцию построения свойств как «наиболее консервативную» меру, прежде чем «отклонять или исправлять ... аксиомы (как это делает Андерсон)».

[31] Строки «Т3» на рис.2 и пункт 3 в разделе 4 («Основные выводы»). Их теорема «Т3» соответствует показанной выше «Тел.4» .

[32] Строка «СО» на рис.2 и пункт 1 в разделе 4 (с. 97).

[33] Строка «MC» на рис.2 и пункт 6 в разделе 4 (с. 97).

[Godel_vs_Scott-35] версия Показанная здесь принадлежит Дане Скотт. ^{[ 23 ]} Он отличается от оригинала Гёделя отсутствием первого союза, $\varphi (x)$ , в Df.2.

[36] Строки «СО'» на рис.2 и пункт 5 в разделе 4 (с. 97).

[38] Пункт 8 раздела 4.1 «Неофициальный спор» (с. 940).

[39] См. подробное обсуждение в разделе 4 «Аргумент интуитивной несогласованности» (стр. 939–941).

[1] В: Ван, Хао. Логическое путешествие: от Гёделя к философии. Книга Брэдфорда, 1997. Печать. стр.316.

[2] Цитируется по Gödel 1995, с. 388. Немецкий оригинал цитируется в Dawson 1997, p. 307. Вложенные круглые скобки находятся в оригинальной дневниковой записи Моргенштерна, цитируемой Доусоном.

[3] История публикации доказательства в этом абзаце взята из Gödel 1995, стр. 388

[4] Доусон 1997, стр. 6.

[5] Доусон 1997, стр. 210–212.

[6] Ван 1996, с. 317. Многоточие принадлежит Википедии.

[7] Деньги 1996, с. 51.

[9] Доказательство Гёделя перепечатано на стр. 403-404, 429-437: Курт Гёдель (март 1995 г.). Соломон Феферман и Джон В. Доусон мл. и Уоррен Гольдфарб, Чарльз Парсонс и Роберт М. Соловей (ред.). Неопубликованные эссе и лекции (PDF) . Собрание сочинений. Том. III (1-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-507255-3 .

[Koons.2005-10] Перейти обратно: ^а ^б ^с Роберт К. Кунс (июль 2005 г.). Собель об онтологическом доказательстве Гёделя (PDF) (неопубликованная статья). Техасский университет в Остине. Архивировано из оригинала (PDF) 2 августа 2020 г.

[11] Представленная ниже презентация следует за тем, что было в Кунсе (2005), ^{[ 9 ]} стр.3-7.

[12] Фиттинг, 2002, с. 139

[18] Джордан Ховард Собел (ноябрь 1987 г.). «Онтологическое доказательство Гёделя». В Джудит Джарвис Томсон (ред.). О бытии и высказывании: очерки Ричарда Картрайта . Кембридж/Массачусетс и Лондон, Англия: MIT Press. стр. 241–261 . ISBN 978-0262200639 .

[20] Курт Гёдель (март 1995 г.). «Тексты, относящиеся к онтологическому доказательству (приложение B)». У Соломона Фефермана; Джон В. Доусон-младший; Уоррен Гольдфарб; Чарльз Парсонс; Роберт М. Соловей (ред.). Неопубликованные эссе и лекции (PDF) . Собрание сочинений. Том. III (1-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 429–437. ISBN 0-19-507255-3 . Здесь: стр.435; вероятно, Собель имел в виду примечание Гёделя 4.: «...Если $\varphi (x)\Rightarrow \Box \varphi (x)$ предполагается [как вытекает из существа $x$ ], ... но это худший способ. Скорее, $\varphi (x)\Rightarrow \Box \varphi (x)$ должно следовать в первую очередь из существования Бога». Это примечание может указывать на то, что Гёдель осознавал свои аксиомы, подразумевающие модальный коллапс.

[21] Кертис Энтони Андерсон (июль 1990 г.). «Некоторые поправки к онтологическому доказательству Гёделя» (PDF) . Вера и философия . 7 (3): 291–303. дои : 10.5840/faithphil19907325 . Архивировано (PDF) из оригинала 4 июня 2015 г.

[22] Кертис Энтони Андерсон и Майкл Геттингс (август 1996 г.). «Пересмотр онтологического доказательства Гёделя» . У Петра Гаека (ред.). Учеб. Гёдель '96: Логические основы математики, информатики и физики — наследие Курта Гёделя . Конспект лекций по логике. Том. 6. Спрингер. стр. 167–172.

[24] Грэм Оппи (октябрь 1996 г.). «Годелевские онтологические аргументы» . Анализ . 54 (4): 226–230. дои : 10.1093/analys/56.4.226 . - Более длинная версия (2005 г.)

[25] Геттингс Майкл (1999). «Онтологический аргумент Гёделя: ответ Оппи». Анализ . 59 (264): 309–313. doi : 10.1111/1467-8284.00184 (неактивен 31 января 2024 г.). {{cite journal}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на январь 2024 г. ( ссылка )

[26] «Теорема Гёделя и существование Бога» . Центр Магис . 26 апреля 2017 г. Проверено 23 мая 2018 г.

[27] Андре Фурманн (2005). «Существование и необходимость - аксиоматическая теология Курта Гёделя» (PDF) . В В. Споне (ред.). философии Логика в (на немецком языке). Гейдельберг: Синхронно. стр. 349–374. Архивировано (PDF) из оригинала 18 мая 2016 г.

[28] «Формальное богословие / ГедельБог» . Гитхаб . 28 июня 2021 г.

[29] Найт, Дэвид (23 октября 2013 г.). «Ученые используют компьютер для математического доказательства теоремы Гёделя о Боге» . Дер Шпигель . Проверено 28 октября 2013 г.

[Benzmuller.Woltzenlogel.2014-30] Кристоф Бенцмюллер и Бруно Вольценлогель-Палео (2014). «Автоматизация онтологического доказательства существования Бога Гёделя с помощью автоматизированных средств доказательства теорем высшего порядка» (PDF) . Учеб. Европейская конференция по искусственному интеллекту . Границы искусственного интеллекта и приложений. Том. 263. ИОС Пресс. стр. 93–98. Архивировано (PDF) из оригинала 14 июля 2014 г.

[34] Д. Скотт (2004). «Приложение B: Заметки рукой Даны Скотт [1972]». В Дж. Х. Собеле (ред.). Логика и теизм: аргументы за и против веры в Бога . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 145–146. ISBN 978-0511497988 .

[Benzmuller.Woltzenlogel.2016-37] Кристоф Бенцмюллер и Бруно Вольценлогель-Палео (июль 2016 г.). «Непоследовательность в онтологическом аргументе Гёделя: история успеха ИИ в метафизике» (PDF) . В Суббарао Камбхампати (ред.). Учеб. 25-я Международная совместная конференция по искусственному интеллекту . АААИ Пресс. стр. 936–942. Архивировано (PDF) из оригинала 13 ноября 2016 г.

[40] Кристоф Бенцмюллер и Дэвид Фуэнмайор (май 2017 г.). «Типы, таблицы и Бог Гёделя в Изабель/ХОЛ» . Архив формальных доказательств . ISSN 2150-914X .

[41] Квентин Кантерел (2015). Веселый коронер: плутовской роман . Независимая пресса Желудя.

[42] Джеффри Кеглер (2007), «Доказательство Бога» , заархивировано из оригинала 28 июля 2021 г. , получено 25 марта 2021 г. , полный текст онлайн.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ примечание 1 ]

[ 8 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ примечание 2 ]

[ примечание 3 ]

[ примечание 4 ]

[ примечание 5 ]

[ примечание 6 ]

[ 12 ]

[ примечание 7 ]

[ 9 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ примечание 8 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ примечание 9 ]

[ примечание 10 ]

[ примечание 11 ]

[ примечание 12 ]

[ примечание 13 ]

[ 24 ]

[ примечание 14 ]

[ примечание 15 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 23 ]