Геометрия и топология

В математике геометрия и топология являются общим термином для исторически различных дисциплин геометрии и топологии , поскольку общие рамки позволяют единообразно манипулировать обеими дисциплинами, что наиболее заметно в локальных и глобальных теоремах римановой геометрии и таких результатах, как теорема Гаусса – Бонне. и теория Черна – Вейля .

Однако можно провести резкие различия между геометрией и топологией, как обсуждается ниже. ^{[ нужны разъяснения ]}

Это также название журнала «Геометрия и топология» , посвященного этим темам.

Область применения [ править ]

Она отличается от «геометрической топологии», которая в более узком смысле предполагает применение топологии к геометрии.

Он включает в себя:

Он не включает такие части алгебраической топологии, как теория гомотопий , но некоторые области геометрии и топологии (например, теория хирургии, особенно теория алгебраической хирургии ) являются в значительной степени алгебраическими.

Различие между геометрией и топологией [ править ]

Геометрия имеет локальную структуру (или бесконечно малую ), тогда как топология имеет только глобальную структуру. Альтернативно, геометрия имеет непрерывные модули , а топология — дискретные модули.

На примерах примером геометрии является риманова геометрия , а примером топологии — теория гомотопий . Изучение метрических пространств — это геометрия, изучение топологических пространств — это топология.

Эти термины используются не совсем последовательно: симплектические многообразия являются граничным случаем, а грубая геометрия является глобальной, а не локальной.

Локальная структура глобальная и

По определению, все дифференцируемые многообразия фиксированной размерности локально диффеоморфны евклидову пространству , поэтому, кроме размерности, не существует локальных инвариантов. Таким образом, дифференцируемые структуры на многообразии имеют топологическую природу.

Напротив, кривизна является риманова многообразия локальным (действительно, бесконечно малым) инвариантом. ^{[ нужны разъяснения ]} (и является единственным локальным инвариантом относительно изометрии ).

Модули [ править ]

Если структура имеет дискретные модули (если она не имеет деформаций или если деформация конструкции изоморфна исходной структуре), то конструкция называется жесткой , а ее исследование (если это геометрическая или топологическая структура) это топология. Если она имеет нетривиальные деформации, то конструкция называется гибкой , а ее изучением является геометрия.

Пространство гомотопических классов отображений дискретно, ^[а] поэтому изучение отображений с точностью до гомотопии — это топология.Точно так же дифференцируемые структуры на многообразии обычно представляют собой дискретное пространство и, следовательно, пример топологии, но экзотические R ⁴s имеют непрерывные модули дифференцируемой структуры.

Алгебраические многообразия имеют непрерывные пространства модулей , поэтому их изучением является алгебраическая геометрия . Это конечномерные пространства модулей.

Пространство римановых метрик на данном дифференцируемом многообразии является бесконечномерным пространством.

Симплектические многообразия [ править ]

Симплектические многообразия представляют собой граничный случай, и части их изучения называются симплектической топологией и симплектической геометрией .

По теореме Дарбу симплектическое многообразие не имеет локальной структуры, что позволяет называть их исследование топологией.

Напротив, пространство симплектических структур на многообразии образуют непрерывные модули, что позволяет называть их изучение геометрией.

Однако с точностью до изотопии пространство симплектических структур дискретно (любое семейство симплектических структур изотопно). ^[1]

Примечания [ править ]

^ Даны условия множества точек, которые выполняются для многообразий; в более общем смысле гомотопические классы образуют полностью несвязное , но не обязательно дискретное пространство; например, основная группа гавайских сережек . ^{[ нужна ссылка ]}

Ссылки [ править ]

^ Введение в группы Ли и симплектическую геометрию , Роберт Брайант , с. 103–104

[1] Даны условия множества точек, которые выполняются для многообразий; в более общем смысле гомотопические классы образуют полностью несвязное , но не обязательно дискретное пространство; например, основная группа гавайских сережек . ^{[ нужна ссылка ]}

[2] Введение в группы Ли и симплектическую геометрию , Роберт Брайант , с. 103–104

[а]

[1]