Поверхность (топология)

Для более широкого освещения этой темы см. Поверхность (математика) .

Показана открытая поверхность с контурами x- , y- и z .

В разделе математики, называемом топологией , поверхность представляет собой двумерное многообразие . Некоторые поверхности возникают как границы трехмерных фигур твердых ; например, сфера — это граница твердого шара . Другие поверхности возникают как графики функций двух переменных; см. рисунок справа. Однако поверхности также могут быть определены абстрактно, без привязки к какому-либо окружающему пространству . Например, бутылка Клейна — это поверхность, которую невозможно встроить в трехмерное евклидово пространство .

Топологические поверхности иногда снабжены дополнительной информацией, такой как риманова метрика или сложная структура, которая связывает их с другими дисциплинами математики, такими как дифференциальная геометрия и комплексный анализ . Различные математические понятия поверхности можно использовать для моделирования поверхностей в физическом мире.

В общем

Дополнительная информация: Поверхность (математика)

В математике поверхность — это геометрическая фигура, напоминающая деформированную плоскость . Наиболее знакомые примеры возникают в виде границ твердых тел в обычном трехмерном евклидовом пространстве R. ³ , такие как сферы . Точное определение поверхности может зависеть от контекста. Обычно в алгебраической геометрии поверхность может пересекать сама себя (и может иметь другие особенности ), а в топологии и дифференциальной геометрии — нет.

Поверхность — это двумерное пространство ; это означает, что движущаяся точка на поверхности может двигаться в двух направлениях (она имеет две степени свободы ). Другими словами, почти вокруг каждой точки существует участок координат двумерная система координат , на котором определена . Например, поверхность Земли напоминает (в идеале) двумерную сферу , а широта и долгота обеспечивают на ней двумерные координаты (кроме полюсов и вдоль 180-го меридиана ).

Понятие поверхности широко используется в физике , технике , компьютерной графике и многих других дисциплинах, прежде всего при изображении поверхностей физических объектов. Например, при анализе аэродинамических свойств самолета центральным соображением является поток воздуха вдоль его поверхности.

Определения и первые примеры

— (Топологическая) поверхность это топологическое пространство , в котором каждая точка имеет открытую окрестность , гомеоморфную некоторому открытому подмножеству евклидовой плоскости E ² . Такая окрестность вместе с соответствующим гомеоморфизмом известна как (координатная) карта . Именно благодаря этой карте окрестности наследуют стандартные координаты на евклидовой плоскости. Эти координаты известны как локальные координаты , и эти гомеоморфизмы позволяют нам описывать поверхности как локально евклидовы .

В большинстве работ по этой теме часто предполагается, явно или неявно, что как топологическое пространство поверхность также непуста, счетна по секундам и хаусдорфова . Также часто предполагается, что рассматриваемые поверхности связаны.

В оставшейся части этой статьи, если не указано иное, предполагается, что поверхность непустая, хаусдорфова, счетная по секундам и связная.

В более общем смысле, (топологическая) поверхность с краем — это Хаусдорфа топологическое пространство , в котором каждая точка имеет открытую окрестность , гомеоморфную некоторому открытому подмножеству замыкания верхней полуплоскости H. ² в С. ​Эти гомеоморфизмы также известны как (координатные) карты . Границей верхней полуплоскости является ось x . Точка на поверхности, нанесенная на карту на ось X , называется граничной точкой . Совокупность таких точек известна как граница поверхности, которая обязательно является одномногообразием, то есть объединением замкнутых кривых. С другой стороны, точка, расположенная выше оси X, является внутренней точкой . Совокупность внутренних точек — это внутренность поверхности, которая всегда непуста . Замкнутый диск — простой пример поверхности с границей. Границей диска является круг.

Термин «поверхность», используемый без уточнений, относится к поверхностям без границ. В частности, поверхность с пустым краем является поверхностью в обычном понимании. Компактная поверхность с пустой границей называется «замкнутой» поверхностью. Двумерная сфера, двумерный тор и действительная проективная плоскость являются примерами замкнутых поверхностей.

Лента Мёбиуса — это поверхность, на которой различие между движением по часовой стрелке и против часовой стрелки можно определить локально, но не глобально. Вообще говоря, поверхность называется ориентируемой, если она не содержит гомеоморфной копии ленты Мёбиуса; интуитивно у него есть две отдельные «стороны». Например, сфера и тор ориентируемы, а действительная проективная плоскость - нет (поскольку действительная проективная плоскость с удаленной одной точкой гомеоморфна открытой ленте Мёбиуса).

В дифференциальной и алгебраической геометрии к топологии поверхности добавляется дополнительная структура. Эта добавленная структура может быть структурой гладкости (позволяющей определять дифференцируемые отображения на поверхность и обратно), римановой метрикой (позволяющей определять длину и углы на поверхности), сложной структурой (позволяющей определять голоморфные отображается на поверхность и обратно — в этом случае поверхность называется римановой поверхностью ) или алгебраической структурой (позволяет обнаруживать особенности , такие как самопересечения и точки возврата, которые нельзя описать исключительно с точки зрения базовой топологии). ).

Внешне определенные поверхности и вложения

Сфера может быть определена параметрически ( x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ ) или неявно ( x ² + и ² + я ² − р ² = 0 .)

Исторически поверхности изначально определялись как подпространства евклидовых пространств. Часто эти поверхности были местом расположения нулей некоторых функций, обычно полиномиальных. Такое определение рассматривало поверхность как часть большего (евклидова) пространства и поэтому называлось внешним .

В предыдущем разделе поверхность определялась как топологическое пространство с определенными свойствами, а именно хаусдорфовыми и локально евклидовыми. Это топологическое пространство не считается подпространством другого пространства. В этом смысле определение, данное выше, то есть определение, которое используют математики в настоящее время, является внутренним .

Поверхность, определенная как внутренняя, не обязана удовлетворять дополнительному ограничению, заключающемуся в том, что она является подпространством евклидова пространства. Может показаться возможным, что некоторые поверхности, определенные внутренне, не являются поверхностями во внешнем смысле. Однако теорема вложения Уитни утверждает, что каждая поверхность на самом деле может быть гомеоморфно вложена в евклидово пространство, фактически в E ⁴ : Внешний и внутренний подходы оказываются эквивалентными.

Фактически, любая компактная поверхность, которая либо ориентируема, либо имеет границу, может быть вложена в E ³ ; с другой стороны, действительная проективная плоскость, компактная, неориентируемая и не имеющая границ, не может быть вложена в E ³ (см. Грамен). Поверхности Штейнера , включая поверхность Боя , римскую поверхность и крестовину , являются моделями реальной проективной плоскости в E. ³ , но только поверхность Боя является погруженной поверхностью . Все эти модели сингулярны в точках их пересечения.

– Рогатая сфера Александра известное патологическое встраивание двусферы в трехсферу.

Завязанный тор.

Выбранное вложение (если таковое имеется) поверхности в другое пространство рассматривается как внешняя информация; это не существенно для самой поверхности. Например, тор можно вложить в E ³ «стандартным» способом (похож на бублик ) или узловатым способом (см. рисунок). Два вложенных тора гомеоморфны, но не изотопны : они топологически эквивалентны, а их вложения — нет.

Образ R непрерывной инъективной из функции ² в многомерный R ^н называется параметрической поверхностью . Такое изображение называется так потому, что направления x и y области R ² — это 2 переменные, которые параметризуют изображение. Параметрическая поверхность не обязательно должна быть топологической поверхностью. Поверхность вращения можно рассматривать как особый вид параметрической поверхности.

Если f — гладкая функция из R ³ к R, нигде которого не равен нулю, то место нулей f действительно градиент определяет поверхность, известную как неявная поверхность . Если отбросить условие неисчезающего градиента, то в нулевом локусе могут возникнуть особенности.

Построение из полигонов

Каждую замкнутую поверхность можно построить из ориентированного многоугольника с четным числом сторон, называемого фундаментальным многоугольником поверхности, путем попарного определения его ребер. Например, в каждом многоугольнике ниже, прикрепив стороны совпадающими метками ( A с A , B с B ), чтобы стрелки указывали в одном направлении, получим указанную поверхность.

• 
  сфера
• 
  реальная проективная плоскость
• 
  тор
• 
  бутылка Клейна

Любой фундаментальный многоугольник можно символически записать следующим образом. Начните с любой вершины и продолжайте движение по периметру многоугольника в любом направлении, пока не вернетесь к начальной вершине. Во время этого обхода запишите метку на каждом ребре по порядку с показателем степени -1, если ребро указывает противоположно направлению обхода. Четыре модели, приведенные выше, при перемещении по часовой стрелке, начиная с верхнего левого угла, дают

• сфера: $ABB^{-1}A^{-1}$
• реальная проективная плоскость: $ABAB$
• тор: $ABA^{-1}B^{-1}$
• Бутылка Клейна: $ABAB^{-1}$.

Обратите внимание, что сфера и проективная плоскость могут быть реализованы как частные 2-угольника, тогда как для тора и бутылки Клейна требуется 4-угольник (квадрат).

Выражение, полученное таким образом из фундаментального многоугольника поверхности, оказывается единственным отношением в представлении фундаментальной группы поверхности с метками ребер многоугольника в качестве образующих. Это следствие теоремы Зейферта–ван Кампена .

Склеивание ребер многоугольников — это особый вид факторпространственного процесса. Концепция фактора может применяться в более широком смысле для создания новых или альтернативных конструкций поверхностей. Например, реальная проективная плоскость может быть получена как фактор сферы путем идентификации всех пар противоположных точек на сфере. Другим примером частного является связная сумма.

Связанные суммы

Связная сумма двух поверхностей M и N , обозначаемая M # N , получается удалением диска из каждой из них и склейкой их по получившимся граничным компонентам. Граница диска представляет собой круг, поэтому эти компоненты границы являются кругами. Эйлерова характеристика $\chi$ M — это сумма эйлеровых характеристик # N слагаемых минус два:

$\chi (M{\mathbin {\#}}N)=\chi (M)+\chi (N)-2.\,$

Сфера S является единичным элементом связной суммы, что означает, что S # M = M . диск Это связано с тем, что при удалении диска из сферы остается диск, который просто заменяет удаленный из M при склейке.

Связное суммирование с тором T также описывается как присоединение «ручки» к другому M. слагаемому Если M ориентируемо, то ориентируемо и T # M . Связная сумма ассоциативна, поэтому связная сумма конечного набора поверхностей корректно определена.

Связная сумма двух вещественных проективных плоскостей P # P — это Клейна K. бутылка Связная сумма вещественной проективной плоскости и бутылки Клейна гомеоморфна связной сумме вещественной проективной плоскости с тором; в формуле P # K = P # T . Таким образом, связная сумма трех вещественных проективных плоскостей гомеоморфна связной сумме вещественной проективной плоскости с тором. Любая связная сумма, содержащая вещественную проективную плоскость, неориентируема.

Закрытые поверхности

«Открытая поверхность» перенаправляется сюда. Не путать со свободной поверхностью .

— Замкнутая поверхность это поверхность, которая компактна и не имеет границы . Примеры закрытых поверхностей включают сферу , тор и бутылку Клейна . Примеры незамкнутых поверхностей включают открытый диск (который представляет собой сферу с проколом ), цилиндр (который представляет собой сферу с двумя проколами) и ленту Мёбиуса .

Поверхность, погруженная в трехмерное пространство, замкнута тогда и только тогда, когда она является границей твердого тела. Как и в случае с любым замкнутым многообразием , поверхность, вложенная в евклидово пространство, замкнутая относительно унаследованной евклидовой топологии обязательно является , не замкнутой поверхностью; например, диск, встроенный в $\mathbb {R} ^{3}$ содержащая свою границу, является топологически замкнутой, но не замкнутой поверхностью.

Классификация закрытых поверхностей

Некоторые примеры ориентируемых замкнутых поверхностей (слева) и поверхностей с краем (справа). Слева: некоторые ориентируемые замкнутые поверхности — это поверхность сферы, поверхность тора и поверхность куба. (Куб и сфера топологически эквивалентны друг другу.) Справа: некоторые поверхности с границей — это поверхность диска , квадратная поверхность и поверхность полусферы. Границы показаны красным. Все три из них топологически эквивалентны друг другу.

Классификационная теорема замкнутых поверхностей утверждает, что любая связная замкнутая поверхность гомеоморфна некоторому члену одного из этих трех семейств:

1. сфера ​ ,
2. связная сумма g ≥ торов для g 1,
3. связная сумма k k вещественных проективных плоскостей при . ≥ 1

Поверхности первых двух семейств ориентируемы . Удобно объединить два семейства, рассматривая сферу как связную сумму 0 торов. Число g задействованных торов называется родом поверхности. Сфера и тор имеют эйлеровы характеристики 2 и 0 соответственно, и вообще эйлерова характеристика связной суммы g торов равна 2 - 2 g .

Поверхности третьего семейства неориентируемы. Эйлерова характеристика вещественной проективной плоскости равна 1, и вообще эйлерова характеристика связной суммы k из них равна 2 − k .

Отсюда следует, что замкнутая поверхность определяется с точностью до гомеоморфизма двумя частями информации: ее эйлеровой характеристикой и тем, ориентируема она или нет. Другими словами, эйлерова характеристика и ориентируемость полностью классифицируют замкнутые поверхности с точностью до гомеоморфизма.

Замкнутые поверхности с несколькими связными компонентами классифицируются по классу каждого из их связных компонентов, и поэтому обычно предполагается, что поверхность связна.

Моноидная структура

Связывая эту классификацию со связными суммами, замкнутые поверхности с точностью до гомеоморфизма образуют коммутативный моноид под действием операции связной суммы, как и многообразия любой фиксированной размерности. Тождество — это сфера, а вещественная проективная плоскость и тор порождают этот моноид с единственным соотношением P # P # P = P # T , которое также можно записать P # K = P # T , поскольку K = P # П. ​Это отношение иногда называют Теорема Дейка в честь Вальтера фон Дейка , доказавшего ее в ( Дик 1888 ), и тройная перекрестная поверхность P # P # P соответственно называется Поверхность Дейка .

Геометрически коннект-сумма с тором ( #T ) добавляет ручку, оба конца которой прикреплены к одной и той же стороне поверхности, а коннект-сумма с бутылкой Клейна ( #K ) добавляет ручку с двумя концами, прикрепленными к противоположным сторонам. ориентируемой поверхности; при наличии проективной плоскости ( #P ) ​​поверхность неориентируема (нет понятия стороны), поэтому нет разницы между присоединением тора и присоединением бутылки Клейна, что и объясняет соотношение.

Доказательство

Классификация закрытых поверхностей известна с 1860-х гг. и сегодня существует ряд доказательств.

Топологические и комбинаторные доказательства в целом опираются на трудный результат о том, что каждое компактное 2-многообразие гомеоморфно симплициальному комплексу , который представляет интерес сам по себе. Наиболее распространенным доказательством классификации является ( Seifert & Threlfall 1980 ): который приводит каждую триангулированную поверхность к стандартной форме. Упрощенное доказательство, избегающее стандартной формы, было обнаружено Джоном Х. Конвеем примерно в 1992 году и названо «Доказательством нулевой нерелевантности» или «ZIP-доказательством» и представлено в ( Francis & Weeks 1999 ).

Геометрическим доказательством, которое дает более сильный геометрический результат, является теорема униформизации . Первоначально это было доказано только для римановых поверхностей в 1880-х и 1900-х годах Феликсом Кляйном , Полем Кебе и Анри Пуанкаре .

Поверхности с границей

Компактные поверхности, возможно, с краем, представляют собой просто замкнутые поверхности с конечным числом отверстий (открытые диски, которые были удалены). Таким образом, связная компактная поверхность классифицируется по числу граничных компонент и роду соответствующей замкнутой поверхности – что эквивалентно количеству граничных компонент, ориентируемости и эйлеровой характеристике. Род компактной поверхности определяется как род соответствующей замкнутой поверхности.

Эта классификация почти сразу следует из классификации замкнутых поверхностей: удаление открытого диска из замкнутой поверхности дает компактную поверхность с кругом для граничного компонента, а удаление k открытых дисков дает компактную поверхность с k непересекающимися кругами для граничных компонентов. Точное расположение дырок не имеет значения, поскольку группа гомеоморфизмов действует k -транзитивно на любом связном многообразии размерности не менее 2.

И наоборот, граница компактной поверхности представляет собой замкнутое 1-многообразие и, следовательно, представляет собой непересекающееся объединение конечного числа окружностей; заполнение этих кругов дисками (формально, взяв конус ) дает замкнутую поверхность.

Единственную компактную ориентируемую поверхность рода g с k граничными компонентами часто обозначают $\Sigma _{g,k},$ например, при изучении группы классов отображения .

Некомпактные поверхности

Некомпактные поверхности классифицировать труднее. В качестве простого примера: некомпактную поверхность можно получить проколом (удалением конечного набора точек) замкнутого многообразия. С другой стороны, любое открытое подмножество компактной поверхности само по себе является некомпактной поверхностью; рассмотрим, например, дополнение к канторову множеству в сфере, также известное как поверхность канторового дерева . Однако не каждая некомпактная поверхность является подмножеством компактной поверхности; два канонических контрпримера — это лестница Иакова и Лохнесское чудовище , которые представляют собой некомпактные поверхности с бесконечным родом.

Некомпактная поверхность M имеет непустое пространство концов E ( M ), которое, неформально говоря, описывает способы, которыми поверхность «уходит в бесконечность». Пространство E ( M ) всегда топологически эквивалентно замкнутому подпространству канторового множества . M может иметь конечное или счетное число N _h ручек, а также конечное или счетное число N _p проективных плоскостей . Если и N _h, и N _p конечны, то эти два числа и топологический тип пространства концов классифицируют поверхность M с точностью до топологической эквивалентности. Если одно или оба из N _h и N _p бесконечны, то топологический тип M зависит не только от этих двух чисел, но и от того, как бесконечное число приближается к пространству концов. В общем, топологический тип M определяется четырьмя подпространствами E ( M ), которые являются предельными точками бесконечного числа ручек и бесконечного числа проективных плоскостей, предельными точками только ручек, предельными точками только проективных плоскостей и предельными точками ни одной из них. .

секундной

Если убрать из определения поверхности предположение о второй счетности, то существуют (обязательно некомпактные) топологические поверхности, не имеющие счетной базы для своей топологии. Возможно, самым простым примером является декартово произведение длинной прямой на пространство действительных чисел.

Другая поверхность, не имеющая счетной базы для своей топологии, но не требующая аксиомы выбора для доказательства своего существования, - это многообразие Прюфера , которое можно описать простыми уравнениями, которые показывают, что это вещественно-аналитическая поверхность. Многообразие Прюфера можно рассматривать как верхнюю полуплоскость вместе с одним дополнительным «язычком» Tx _, свисающим с нее непосредственно под точкой ( x ,0) для каждого вещественного x .

В 1925 году Тибор Радо доказал, что все римановы поверхности (т. е. одномерные комплексные многообразия ) обязательно счетно по секундам ( теорема Радо ). Напротив, если заменить действительные числа при построении поверхности Прюфера комплексными числами , получится двумерное комплексное многообразие (которое обязательно является 4-мерным вещественным многообразием) без счетной базы.

Поверхности в геометрии

Основная статья: Дифференциальная геометрия поверхностей

Многогранники , такие как граница куба , являются одними из первых поверхностей, встречающихся в геометрии. Также возможно определить гладкие поверхности , в которых каждая точка имеет окрестность, диффеоморфную некоторому открытому множеству в E ² . Эта разработка позволяет исчисление применять к поверхностям для доказательства многих результатов.

Две гладкие поверхности диффеоморфны тогда и только тогда, когда они гомеоморфны. (Аналогичный результат не верен для многообразий более высокой размерности.) Таким образом, замкнутые поверхности классифицируются с точностью до диффеоморфизма по их эйлеровой характеристике и ориентируемости.

Гладкие поверхности, снабженные римановой метрикой, имеют основополагающее значение в дифференциальной геометрии . Риманова метрика наделяет поверхность понятиями геодезической , расстояния , угла и площади. Это также приводит к гауссовой кривизне , которая описывает, насколько изогнута или изогнута поверхность в каждой точке. Кривизна — жесткое геометрическое свойство, поскольку оно не сохраняется при общих диффеоморфизмах поверхности. Однако знаменитая теорема Гаусса-Бонне для замкнутых поверхностей утверждает, что интеграл гауссовой кривизны K по всей поверхности S определяется эйлеровой характеристикой:

$\int _{S}K\;dA=2\pi \chi (S).$

Этот результат иллюстрирует глубокую связь между геометрией и топологией поверхностей (и, в меньшей степени, многообразий более высокой размерности).

Другой способ возникновения поверхностей в геометрии — переход в комплексную область. Комплексное одномногообразие — это гладкая ориентированная поверхность, также называемая римановой поверхностью . Любая комплексная неособая алгебраическая кривая, рассматриваемая как комплексное многообразие, является римановой поверхностью. Фактически любая компактная ориентируемая поверхность реализуема как риманова поверхность. Таким образом, компактные римановы поверхности топологически характеризуются своим родом: 0, 1, 2, .... С другой стороны, род не характеризует комплексную структуру. Например, существует бесчисленное множество неизоморфных компактных римановых поверхностей рода 1 ( эллиптические кривые ).

Комплексные структуры на замкнутой ориентированной поверхности соответствуют классам конформной эквивалентности римановых метрик на поверхности. Одна версия теоремы об униформизации (из-за Пуанкаре ) утверждает, что любая риманова метрика на ориентированной замкнутой поверхности конформно эквивалентна существенно уникальной метрике постоянной кривизны . Это обеспечивает отправную точку для одного из подходов к теории Тейхмюллера , который обеспечивает более тонкую классификацию римановых поверхностей, чем топологическая, только по эйлеровой характеристике.

Комплексная поверхность — это комплексное двухмногообразие и, следовательно, настоящее четырехмногообразие; это не поверхность в смысле этой статьи. Алгебраические кривые также не определены над полями, отличными от комплексных чисел.алгебраические поверхности также не определены над полями, отличными от действительных чисел.

См. также

• Граница (топология)
• Форма объёма , для объёмов поверхностей в E ^н
• Метрика Пуанкаре для метрических свойств римановых поверхностей.
• Римская поверхность
• Поверхность мальчика
• Тетрагемишестиэдр
• Смятая поверхность — недифференцируемая поверхность, полученная деформированием (смятием) дифференцируемой поверхности.

Ссылки

• Дайк, Вальтер (1888), «Вклад в анализ ситуации I», Math. , 32 (4): 459–512, doi : 10.1007/bf01443580 , S2CID   118123073

доказательства классификации с точностью

• Зайферт, Герберт; Трелфолл, Уильям (1980), Учебник топологии , Чистая и прикладная математика, том. 89, Академическое издательство, ISBN  0126348502 , английский перевод классического немецкого учебника 1934 года.
• Альфорс, Ларс В.; Сарио, Лео (1960), Римановы поверхности , Princeton Mathematical Series, vol. 26, Издательство Принстонского университета , Глава I.
• Маундер, CRF (1996), Алгебраическая топология , Dover Publications, ISBN  0486691314 , Кембриджский курс бакалавриата
• Мэсси, Уильям С. (1991). Базовый курс алгебраической топологии . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-97430-Х .
• Бредон, Глен Э. (1993). Топология и геометрия . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-97926-3 .
• Йост, Юрген (2006), Компактные римановы поверхности: введение в современную математику (3-е изд.), Springer, ISBN  3540330658 , для замкнутых ориентированных римановых многообразий

-морсовские доказательства классификации с точностью

• Хирш, М. (1994), Дифференциальная топология (2-е изд.), Springer
• Голд, Дэвид Б. (1982), Дифференциальная топология: введение , Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, том. 72, Марсель Деккер, ISBN  0824717090
• Шастри, Анант Р. (2011), Элементы дифференциальной топологии , CRC Press, ISBN  9781439831601 , тщательное доказательство, предназначенное для студентов
• Грамен, Андре (1984). Топология поверхностей . БКС Ассошиэйтс. ISBN  0-914351-01-Х . (Оригинальные конспекты курса Орсе 1969-70 годов на французском языке для «Топологии поверхностей»)
• А. Чампанеркар; и др., Классификация поверхностей с помощью теории Морса (PDF) , изложение заметок Грамена. {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

Другие доказательства

• Лоусон, Терри (2003), Топология: геометрический подход , Oxford University Press, ISBN  0-19-851597-9 , аналогично теоретическому доказательству Морзе с использованием скольжения прикрепленных ручек.
• Фрэнсис, Джордж К.; Уикс, Джеффри Р. (май 1999 г.), «Доказательство ZIP Конвея» (PDF) , American Mathematical Monthly , 106 (5): 393, doi : 10.2307/2589143 , JSTOR   2589143 ; страница, обсуждающая статью: «О ZIP-доказательстве Конвея».
• Томассен, Карстен (1992), «Теорема Джордана-Шенфлиса и классификация поверхностей», Amer. Математика. Monthly , 99 (2): 116–13, doi : 10.2307/2324180 , JSTOR   2324180 , краткое элементарное доказательство с использованием связующих графов.
• Прасолов В.В. (2006), Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии , Аспирантура по математике, вып. 74, Американское математическое общество, ISBN.  0821838091 , содержит краткое изложение доказательства Томассена.

Внешние ссылки

• Классификация компактных поверхностей в проекте Matifold
• Классификация поверхностей и теорема Жордана о кривой на домашней странице Эндрю Раницки
• Галерея Math Surfaces с 60 поверхностями и Java-апплетом для просмотра вращения в реальном времени.
• Анимация математических поверхностей с использованием JavaScript (Canvas HTML) для просмотра вращения десятков поверхностей
• Классификация поверхностей Конспект лекций З.Федоровича
• История и искусство поверхностей и их математических моделей
• 2-многообразия в Атласе многообразий