Изгиб

Чтобы узнать о других значениях, см. Кривая (значения) .

Парабола . , одна из простейших кривых, после (прямых) линий

В математике кривая (в старых текстах ее также называли изогнутой линией ) — это объект, похожий на линию , но не обязательно должен быть прямым .

Интуитивно кривую можно рассматривать как след, оставленный движущейся точкой . Это определение появилось более 2000 лет назад в Евклида «Началах» : «[кривая] линия есть […] первый вид количества, который имеет только одно измерение, а именно длину, без какой-либо ширины и глубины, и представляет собой не что иное, как течение или бег точки, которая […] оставит после своего воображаемого движения некоторый след в длина, без учета ширины».

кривой было формализовано в современной математике следующим образом: Кривая — это изображение интервала Это определение топологического пространства с помощью непрерывной функции . В некоторых контекстах функция, определяющая кривую, называется параметризацией , а кривая является параметрической кривой . В этой статье эти кривые иногда называются топологическими кривыми, чтобы отличить их от более ограниченных кривых, таких как дифференцируемые кривые . Это определение охватывает большинство кривых, изучаемых математикой; заметными исключениями являются кривые уровня (которые представляют собой объединения кривых и изолированных точек) и алгебраические кривые (см. ниже). Кривые уровня и алгебраические кривые иногда называют неявными кривыми , поскольку они обычно определяются неявными уравнениями .

Тем не менее класс топологических кривых очень широк и содержит некоторые кривые, которые выглядят не так, как можно было бы ожидать от кривой, или даже не могут быть нарисованы. Это случай кривых, заполняющих пространство , и фрактальных кривых . Для обеспечения большей регулярности функцию, определяющую кривую, часто считают дифференцируемой , и тогда кривую называют дифференцируемой кривой .

Плоская кривая — это множество нулей многочлена алгебраическая от двух неопределённых . В более общем смысле, алгебраическая кривая — это нулевое множество конечного набора многочленов, которое удовлетворяет дополнительному условию того, что оно является алгебраическим многообразием размерности один . Если коэффициенты полиномов принадлежат полю k , говорят, что кривая определена над k . В общем случае вещественной алгебраической кривой , где k — поле действительных чисел , алгебраическая кривая представляет собой конечное объединение топологических кривых. Когда комплексные рассматриваются нули, получается комплексная алгебраическая кривая , которая с топологической точки зрения является не кривой, а поверхностью и часто называется римановой поверхностью . Алгебраические кривые, определенные в других полях, хотя и не являются кривыми в здравом смысле, широко изучались. алгебраические кривые над конечным полем широко используются В частности, в современной криптографии .

История

Мегалитическое искусство из Ньюгрейнджа, демонстрирующее ранний интерес к кривым.

Интерес к кривым возник задолго до того, как они стали предметом математических исследований. Это можно увидеть на многочисленных примерах их декоративного использования в искусстве и на предметах быта, относящихся к доисторическим временам.раз. Кривые или, по крайней мере, их графические изображения легко создать, например, с помощью палки на песке на пляже.

Исторически термин « линия» использовался вместо более современного термина « кривая» . Следовательно, термины «прямая линия» и «правая линия» использовались, чтобы отличить то, что сегодня называют линиями, от изогнутых линий. Например, в Книге I « Начал» Евклида линия определяется как «длина без ширины» (Опр. 2), а прямая линия определяется как «линия, лежащая равномерно с точками на самой себе» (Опр. 4). . Идея Евклида о линии, возможно, проясняется утверждением: «Концы линии суть точки» (Определение 3). Более поздние комментаторы далее классифицировали строки по различным схемам. Например:

• Составные линии (линии, образующие угол)
• Некомпозитные линии
  • Определенные (линии, которые не простираются бесконечно, например круг)
  • Неопределенные (линии, простирающиеся бесконечно, например прямая линия и парабола)

Кривые, созданные путем разрезания конуса ( конические сечения ), были среди кривых, изучавшихся древнегреческой математикой .

Греческие геометры изучали множество других видов кривых. Одной из причин был их интерес к решению геометрических задач, которые невозможно было решить с помощью стандартного циркуля и линейки .Эти кривые включают в себя:

• Конические сечения, подробно изученные Аполлонием Пергским.
• Циссоида Диокла , изученная Диоклом и использованная как метод удвоения куба .
• Раковина Никомеда , изученная Никомедом как метод удвоения куба и разделения угла на три части .
• Спираль Архимеда , изученная Архимедом как метод разделения угла на три части и квадратуры круга .
• Спирические сечения , сечения торов, изученные Персеем как сечения конусов, были изучены Аполлонием.

кривые, такие как « Фолиум Декарта» , с помощью уравнений вместо геометрического построения. Аналитическая геометрия позволяла определять

Фундаментальным достижением в теории кривых стало введение геометрии аналитической Рене Декартом в семнадцатом веке. Это позволило описать кривую с помощью уравнения, а не сложной геометрической конструкции. Это не только позволило определить и изучить новые кривые, но и позволило провести формальное различие между алгебраическими кривыми , которые можно определить с помощью полиномиальных уравнений , и трансцендентными кривыми , которые не могут быть определены. Раньше кривые описывались как «геометрические» или «механические» в зависимости от того, как они были или предположительно могли быть созданы.

Конические сечения были применены астрономии Кеплером в .Ньютон также работал над первым примером вариационного исчисления . Решения вариационных задач, таких как вопросы брахистохроны и таутохроны , по-новому представили свойства кривых (в данном случае циклоиды ). Цепная линия получила свое название как решение проблемы висящей цепи, вопроса, который стал обычно доступен с помощью дифференциального исчисления .

В восемнадцатом веке зародилась теория плоских алгебраических кривых вообще. Ньютон изучал кубические кривые в общем описании реальных точек в виде «овалов». Формулировка теоремы Безу показала ряд аспектов, которые не были напрямую доступны геометрии того времени, связанных с особыми точками и комплексными решениями.

С девятнадцатого века теория кривых рассматривается как частный случай размерности один теории многообразий и алгебраических многообразий . Тем не менее, многие вопросы остаются специфичными для кривых, такие как кривые, заполняющие пространство , теорема Жордана о кривой и шестнадцатая проблема Гильберта .

Топологическая кривая

может Топологическая кривая быть задана непрерывной функцией $\gamma \colon I\rightarrow X$ из интервала I действительных чисел в пространство X. топологическое Собственно говоря, кривая это образ — $\gamma .$ Однако в некоторых контекстах $\gamma$ само по себе называется кривой, особенно когда изображение не похоже на то, что обычно называют кривой, и недостаточно характеризует $\gamma .$

Например, изображение кривой Пеано или, шире, кривой, заполняющей пространство, полностью заполняет квадрат и, следовательно, не дает никакой информации о том, как $\gamma$ определяется.

Кривая $\gamma$ закрыто ​ или это цикл , если $I=[a,b]$ и $\gamma (a)=\gamma (b)$. Таким образом, замкнутая кривая является образом непрерывного отображения окружности . Незамкнутую кривую можно также назвать разомкнутой кривой .

Если область определения топологической кривой представляет собой замкнутый и ограниченный интервал $I=[a,b]$кривая называется путем , также известным как топологическая дуга (или просто дуга ).

Кривая называется простой , если она представляет собой изображение отрезка или окружности инъективной непрерывной функцией. Другими словами, если кривая определяется непрерывной функцией $\gamma$ с интервалом в качестве области кривая является простой тогда и только тогда, когда любые две разные точки интервала имеют разные изображения, за исключением, возможно, случаев, когда эти точки являются конечными точками интервала. Интуитивно простая кривая — это кривая, которая «не пересекает сама себя и не имеет пропущенных точек» (непрерывная несамопересекающаяся кривая).

Плоская кривая – это кривая, у которой $X$ — это евклидова плоскость (это первые встречающиеся примеры) или, в некоторых случаях, проективная плоскость . – Пространственная кривая это кривая, для которой $X$ является как минимум трехмерным; — косая кривая это пространственная кривая, не лежащая ни в одной плоскости. Эти определения плоских, пространственных и косых кривых применимы также к действительным алгебраическим кривым , хотя приведенное выше определение кривой не применимо (действительная алгебраическая кривая может быть несвязной ).

с Кривая дракона положительной площадью

Плоскую простую замкнутую кривую также называют жордановой кривой . Его также определяют как несамопересекающуюся непрерывную петлю на плоскости. Теорема жордановой кривой утверждает, что дополнение множества в плоскости жордановой кривой состоит из двух связных компонентов (то есть кривая делит плоскость на две непересекающиеся области , которые обе связаны). Ограниченная область внутри жордановой кривой называется областью Жордана .

В определение кривой входят фигуры, которые в обиходе вряд ли можно назвать кривыми. Например, изображение кривой может охватывать квадрат на плоскости ( кривая, заполняющая пространство ), а простая кривая может иметь положительную площадь. Фрактальные кривые могут иметь свойства, странные для здравого смысла. Например, фрактальная кривая может иметь размерность Хаусдорфа больше единицы (см. «снежинка Коха» ) и даже положительную площадь. Примером может служить кривая дракона , обладающая множеством других необычных свойств.

Дифференцируемая кривая

Основная статья: Дифференцируемая кривая

Грубо говоря, дифференцируемая кривая — это кривая, которая определяется как локально образ инъективной дифференцируемой функции. $\gamma \colon I\rightarrow X$ из интервала I действительных чисел в дифференцируемое многообразие X , часто $\mathbb {R} ^{n}.$

Точнее, дифференцируемая кривая — это подмножество C в X , где каждая точка C имеет окрестность U такую, что $C\cap U$ диффеоморфно интервалу действительных чисел. Другими словами, дифференцируемая кривая — это дифференцируемое многообразие размерности один.

Дифференцируемая дуга

«Дуга (геометрия)» перенаправляется сюда. Чтобы узнать об использовании в конечной проективной геометрии, см. Arc (проективная геометрия) . Чтобы узнать о других значениях, см. Дуга (значения) .

В евклидовой геометрии дуга ⌒ (символ: ) представляет собой связное подмножество дифференцируемой кривой.

Дуги прямых называются сегментами , лучами или линиями , в зависимости от того, как они ограничены.

Распространенным примером изогнутой формы является дуга окружности , называемая дугой окружности .

В сфере (или сфероиде ) дуга большого круга (или большого эллипса ) называется большой дугой .

Длина кривой

Основная статья: Длина дуги

Дополнительная информация: Дифференцируемая кривая § Длина.

Если $X=\mathbb {R} ^{n}$ это $n$-мерное евклидово пространство, и если $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ — инъективная и непрерывно дифференцируемая функция, то длина $\gamma$ определяется как количество

$\operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.$

Длина кривой не зависит от параметризации $\gamma$.

В частности, длина $s$ графика непрерывно дифференцируемой функции $y=f(x)$ определяется на замкнутом интервале $[a,b]$ является

$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x},$

что можно интуитивно представить как использование теоремы Пифагора в бесконечно малом масштабе непрерывно по всей длине кривой.

В более общем смысле, если $X$ является метрическим пространством с метрикой $d$, то мы можем определить длину кривой $\gamma :[a,b]\to X$ к

$\operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\},$

где супремум берется за все $n\in \mathbb {N}$ и все разделы $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$ из $[a,b]$.

Спрямляемая кривая — это кривая конечной длины. Кривая $\gamma :[a,b]\to X$ называется естественным (или единичным, или параметризованным длиной дуги), если для любого $t_{1},t_{2}\in [a,b]$ такой, что $t_{1}\leq t_{2}$, у нас есть

$\operatorname {Length} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.$

Если $\gamma :[a,b]\to X$ является липшицево-непрерывной функцией, то она автоматически спрямляема. Более того, в этом случае можно определить скорость (или метрическую производную ) $\gamma$ в $t\in [a,b]$ как

${\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}$

а потом покажи это

$\operatorname {Length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.$

Дифференциальная геометрия

Основная статья: Дифференциальная геометрия кривых

Хотя первые примеры встречающихся кривых в основном представляют собой плоские кривые (то есть, говоря обычными словами, изогнутые линии в двумерном пространстве ), существуют очевидные примеры, такие как спираль , которые естественным образом существуют в трех измерениях. Потребности геометрии, а также, например, классической механики, заключаются в том, чтобы иметь понятие кривой в пространстве любого числа измерений. В общей теории относительности мировая линия — это кривая в пространстве-времени .

Если $X$ является дифференцируемым многообразием , то мы можем определить понятие дифференцируемой кривой в $X$. Этой общей идеи достаточно, чтобы охватить многие применения кривых в математике. С местной точки зрения можно принять $X$ быть евклидовым пространством. С другой стороны, полезно использовать более общий подход, поскольку (например) можно определить касательные векторы к $X$ посредством этого понятия кривой.

Если $X$ — гладкое многообразие , гладкая кривая в $X$ это гладкая карта

$\gamma \colon I\rightarrow X$.

Это базовое понятие. Есть также все более и более ограниченные идеи. Если $X$ это $C^{k}$ многообразие (т. е. многообразие, карты которого $k$ раз непрерывно дифференцируемо ), то $C^{k}$ кривая в $X$ это такая кривая, которая только предполагается $C^{k}$ (т.е. $k$ раз непрерывно дифференцируемы). Если $X$ является аналитическим многообразием (т.е. бесконечно дифференцируемым и карты выражаются в виде степенных рядов ), и $\gamma$ является аналитическим отображением, то $\gamma$ называется аналитической кривой .

Дифференцируемая кривая называется регулярен, если его производная никогда не обращается в нуль. (На словах регулярная кривая никогда не замедляется до остановки и не возвращается назад.) Два $C^{k}$ дифференцируемые кривые

$\gamma _{1}\colon I\rightarrow X$ и

$\gamma _{2}\colon J\rightarrow X$

называются эквивалентными, если существует биективное $C^{k}$ карта

$p\colon J\rightarrow I$

такая, что обратное отображение

$p^{-1}\colon I\rightarrow J$

также $C^{k}$, и

$\gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))$

для всех $t$. Карта $\gamma _{2}$ называется репараметризацией ​ $\gamma _{1}$; и это создает отношение эквивалентности на множестве всех $C^{k}$ дифференцируемые кривые в $X$. А $C^{k}$ arc — это эквивалентности класс $C^{k}$ кривые по отношению репараметризации.

Алгебраическая кривая

Основная статья: Алгебраическая кривая

Алгебраические кривые — это кривые, рассматриваемые в алгебраической геометрии . Плоская алгебраическая кривая — это набор точек координат x , y таких, что ( x , y ) = 0 , где f — многочлен от двух переменных, определенный над некоторым полем F. f Говорят, что кривая определена над F . Алгебраическая геометрия обычно рассматривает не только точки с координатами из F, и все точки с координатами в алгебраически замкнутом поле К. но

Если C определяемая многочленом f с коэффициентами из F , говорят, что кривая определена над F. — кривая ,

В случае кривой, определенной над действительными числами , обычно рассматриваются точки с комплексными координатами. В этом случае точка с реальными координатами является реальной точкой , а совокупность всех реальных точек — реальной частью кривой. Поэтому только действительная часть алгебраической кривой может быть топологической кривой (это не всегда так, поскольку действительная часть алгебраической кривой может быть несвязной и содержать изолированные точки). Вся кривая, то есть совокупность ее комплексных точек, с топологической точки зрения является поверхностью. В частности, неособые комплексные проективные алгебраические кривые называются римановыми поверхностями .

Точки кривой C с координатами в поле G называются рациональными над G и могут обозначаться C ( G ) . Когда G является полем рациональных чисел , говорят просто о рациональных точках . Например, Великую теорему Ферма можно переформулировать так: Для n > 2 степени каждая рациональная точка кривой Ферма n имеет нулевую координату .

Алгебраические кривые также могут быть пространственными кривыми или кривыми в пространстве более высокого измерения, скажем, n . Они определяются как алгебраические многообразия размерности один . Их можно получить как общие решения не менее n –1 полиномиальных уравнений от n переменных. Если n -1 полиномов достаточно, чтобы определить кривую в пространстве размерности n , кривая называется полным пересечением . Исключив переменные (с помощью любого инструмента теории исключения ), алгебраическую кривую можно спроецировать на плоскую алгебраическую кривую , что, однако, может привести к появлению новых особенностей, таких как точки возврата или двойные точки .

Плоская кривая также может быть дополнена до кривой на проективной плоскости : если кривая определяется многочленом f полной степени d , то w ^д f ( u / w , v / w ) упрощается до однородного многочлена g ( u , v , w ) степени d . Значения u , v , w такие, что g ( u , v , w ) = 0, являются однородными координатами точек завершения кривой в проективной плоскости, а точки исходной кривой - такими, w что не ноль. Примером может служить кривая Ферма u ^н + v ^н = v ^н , который имеет аффинную форму x ^н + и ^н = 1 . Аналогичный процесс гомогенизации можно определить для кривых в пространствах более высокой размерности.

За исключением линий , простейшими примерами алгебраических кривых являются коники , которые представляют собой неособые кривые степени два и рода нуль. Эллиптические кривые , которые являются неособыми кривыми рода один, изучаются в теории чисел и имеют важные приложения в криптографии .

См. также

• Координатная кривая
• Морщинистая дуга
• Подгонка кривой
• Ориентация кривой
• Рисование кривых
• Дифференциальная геометрия кривых
• Галерея кривых
• Индекс кривой
• Список тем кривых
• Список кривых
• Соприкасающийся круг
• Параметрическая поверхность
• Путь (топология)
• Многоугольная кривая
• Вектор положения
• Векторнозначная функция
  • Бесконечномерная векторная функция
• Номер обмотки

Ссылки

• А.С. Пархоменко (2001) [1994], «Линия (кривая)» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Б.И. Голубов (2001) [1994], «Спрямляемая кривая» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Евклид , комментарии и пер. от TL Heath Elements Vol. 1 (Кембридж, 1908 г.) Google Книги
• Э. Х. Локвуд. Книга кривых (Кембридж, 1961)

Внешние ссылки

• Индекс знаменитых кривых , Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия
• Математические кривые Коллекция из 874 двумерных математических кривых.
• Галерея космических кривых, сделанных из кругов, включает анимацию Питера Мозеса.
• Галерея бишопских кривых и других сферических кривых, включает анимацию Питера Мозеса.
• Статья в математической энциклопедии о линиях .
• Страница Атласа многообразий об 1-многообразиях .