Теорема Линдеманна – Вейерштрасса

В трансцендентной теории чисел теорема Линдемана -Вейерштрасса является результатом, который очень полезен для установления трансцендентности чисел. В нем говорится следующее:

Теорема Линдеманна – Вейерштрасса - если α ₁ , ..., α _n — алгебраические числа , линейно независимые над рациональными числами. $\mathbb {Q}$, тогда е ^{1 _​} , ..., и ^{α _н} независимы алгебраически над $\mathbb {Q}$.

Другими словами, поле расширения $\mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},\dots ,e^{\alpha _{n}})$ имеет степень трансцендентности n над $\mathbb {Q}$.

Эквивалентная формулировка ( Baker 1990 , глава 1, теорема 1.4) следующая:

Эквивалентная формулировка : если α ₁ , ..., α _n — различные алгебраические числа, то экспоненты e ^{1 _​} , ..., и ^{α _н} линейно независимы над алгебраическими числами.

Эта эквивалентность преобразует линейное отношение над алгебраическими числами в алгебраическое отношение над $\mathbb {Q}$ используя тот факт, что симметричный многочлен , все аргументы которого сопряжены друг с другом, дает рациональное число.

Теорема названа в честь Фердинанда фон Линдеманна и Карла Вейерштрасса . Линдеманн доказал в 1882 году, что e ^а трансцендентно для любого ненулевого алгебраического числа α, тем самым устанавливая, что π трансцендентно (см. ниже). Вейерштрасс доказал это более общее утверждение в 1885 году.

Теорема, наряду с теоремой Гельфонда-Шнайдера , расширяется теоремой Бейкера , и все это будет дополнительно обобщено гипотезой Шануэля .

Соглашение об именах

Теорема также известна под разными названиями: теорема Эрмита-Линдемана и теорема Эрмита-Линдемана-Вейерштрасса . Чарльз Эрмит первым доказал более простую теорему, в которой показатели степени α _i должны быть целыми рациональными числами , а линейная независимость обеспечивается только для целых рациональных чисел: результат, который иногда называют теоремой Эрмита. Хотя это кажется частным случаем приведенной выше теоремы, общий результат можно свести к этому более простому случаю. Линдеманн был первым, кто включил алгебраические числа в работу Эрмита в 1882 году. Вскоре после этого Вейерштрасс получил полный результат: и дальнейшие упрощения были сделаны несколькими математиками, в первую очередь Дэвидом Гильбертом. и Пол Гордан .

Трансцендентность e и π

См. также: е (математическая константа) и Пи.

Трансцендентность являются прямыми e следствиями и π этой теоремы.

Предположим, что α — ненулевое алгебраическое число; тогда {α} — линейно независимое множество над рациональными числами, и, следовательно, по первой формулировке теоремы { e ^а } — алгебраически независимое множество; или другими словами е ^а является трансцендентальным. В частности, э ¹ = e трансцендентно. (Более элементарное доказательство трансцендентности e изложено в статье о трансцендентных числах .)

В качестве альтернативы, согласно второй формулировке теоремы, если α — ненулевое алгебраическое число, то {0, α} — набор различных алгебраических чисел, и поэтому множество { e ⁰ , и ^а } = {1, и ^а } линейно независима от алгебраических чисел и, в частности, от e ^а не может быть алгебраическим и, следовательно, трансцендентным.

Чтобы доказать, что π трансцендентно, мы докажем, что оно не алгебраично. Если бы π было алгебраическим, то π i также было бы алгебраическим, и тогда по теореме Линдеманна–Вейерштрасса e ^{π я} = −1 (см. тождество Эйлера ) было бы трансцендентно, противоречие. Следовательно, π не является алгебраическим, а значит, трансцендентным.

Небольшой вариант того же доказательства покажет, что если α — ненулевое алгебраическое число, то sin(α), cos(α), tan(α) и их гиперболические аналоги также являются трансцендентными.

p- адическая гипотеза

p -адическая гипотеза Линдеманна – Вейерштрасса. — Предположим, что — некоторое простое число , а α1 _p , ..., αn _— p - адические числа , алгебраические и линейно независимые над $\mathbb {Q}$, такой, что | α _я | _p < 1/ p для всех i ; тогда p -адические экспоненты exp _p (α ₁ ), . . . , exp _p (α _n ) — p -адические числа, алгебраически независимые над $\mathbb {Q}$.

Модульная гипотеза

Аналог теоремы, связанной с модулярной функцией j, был выдвинут Даниэлем Бертраном в 1997 году и остается открытой проблемой. Написание q = e ^{2 iкв.м} для квадрата нома и j ( τ) = J ( q ) гипотеза состоит в следующем.

Модульная гипотеза . Пусть q ₁ , ..., q _n — ненулевые алгебраические числа в комплексном единичном круге такие, что 3 n чисел

$\left\{J(q_{1}),J'(q_{1}),J''(q_{1}),\ldots ,J(q_{n}),J'(q_{n}),J''(q_{n})\right\}$

алгебраически зависимы от $\mathbb {Q}$. Тогда существуют два индекса 1 ⩽ i < j ⩽ n такие, что q _i и q _j мультипликативно зависимы.

Теорема Линдеманна – Вейерштрасса

Теорема Линдеманна – Вейерштрасса (переформулировка Бейкера). — Если a ₁ , ..., an _— алгебраические числа и α ₁ , ..., α _n — различные алгебраические числа, то

$a_{1}e^{\alpha _{1}}+a_{2}e^{\alpha _{2}}+\cdots +a_{n}e^{\alpha _{n}}=0$

имеет только тривиальное решение $a_{i}=0$ для всех $i=1,\dots ,n.$

Доказательство

Доказательство опирается на две предварительные леммы . Заметим, что самой леммы B уже достаточно, чтобы вывести исходное утверждение теоремы Линдемана–Вейерштрасса.

Предварительные леммы

Лемма А. — Пусть c (1), ..., c ( r ) целые числа и для каждого k между 1 и r пусть { γ ( k ) ₁ , ..., γ ( k ) _{m ( k )} } — корни ненулевого многочлена с целыми коэффициентами $T_{k}(x)$. Если γ ( k ) _я ≠ γ ( ты ) _v всякий раз , когда ( k , я ) ≠ ( ты , v ) , то

$c(1)\left(e^{\gamma (1)_{1}}+\cdots +e^{\gamma (1)_{m(1)}}\right)+\cdots +c(r)\left(e^{\gamma (r)_{1}}+\cdots +e^{\gamma (r)_{m(r)}}\right)=0$

имеет только тривиальное решение $c(i)=0$ для всех $i=1,\dots ,r.$

Доказательство леммы А. Для упрощения системы обозначений:

${\begin{aligned}&n_{0}=0,&&\\&n_{i}=\sum \nolimits _{k=1}^{i}m(k),&&i=1,\ldots ,r\\&n=n_{r},&&\\&\alpha _{n_{i-1}+j}=\gamma (i)_{j},&&1\leq i\leq r,\ 1\leq j\leq m(i)\\&\beta _{n_{i-1}+j}=c(i).\end{aligned}}$

Тогда утверждение становится

$\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}e^{\alpha _{k}}\neq 0.$

Пусть p — простое число и определим следующие многочлены:

$f_{i}(x)={\frac {\ell ^{np}(x-\alpha _{1})^{p}\cdots (x-\alpha _{n})^{p}}{(x-\alpha _{i})}},$

где ℓ — целое ненулевое число такое, что $\ell \alpha _{1},\ldots ,\ell \alpha _{n}$ все алгебраические целые числа . Определять

$I_{i}(s)=\int _{0}^{s}e^{s-x}f_{i}(x)\,dx.$

Интегрируя по частям, приходим к

$I_{i}(s)=e^{s}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)-\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(s),$

где $np-1$ это степень ​ $f_{i}$, и $f_{i}^{(j)}$ является j -й производной от $f_{i}$. Это справедливо и для комплексного s (в этом случае интеграл следует рассматривать как контурный интеграл, например, по прямолинейному отрезку от 0 до s ), поскольку

$-e^{s-x}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(x)$

является примитивом $e^{s-x}f_{i}(x)$.

Рассмотрим следующую сумму:

${\begin{aligned}J_{i}&=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}I_{i}(\alpha _{k})\\[5pt]&=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}\left(e^{\alpha _{k}}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)-\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\right)\\[5pt]&=\left(\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)\right)\left(\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}e^{\alpha _{k}}\right)-\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=0}^{np-1}\beta _{k}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\\[5pt]&=-\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=0}^{np-1}\beta _{k}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\end{aligned}}$

В последней строке мы предположили, что заключение леммы неверно. Для завершения доказательства нам необходимо прийти к противоречию. Мы сделаем это, оценив $|J_{1}\cdots J_{n}|$ двумя разными способами.

Первый $f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})$ — целое алгебраическое число , которое делится на p ! для $j\geq p$ и исчезает для $j<p$ пока не $j=p-1$ и $k=i$, и в этом случае оно равно

$\ell ^{np}(p-1)!\prod _{k\neq i}(\alpha _{i}-\alpha _{k})^{p}.$

Это число не делится на p, если p достаточно велико, потому что в противном случае, полагая

$\delta _{i}=\prod _{k\neq i}(\ell \alpha _{i}-\ell \alpha _{k})$

(которое является ненулевым алгебраическим целым числом) и вызывая $d_{i}\in \mathbb {Z}$ произведение его сопряженных чисел (которое все еще не равно нулю), мы получим, что p делит $\ell ^{p}(p-1)!d_{i}^{p}$, что неверно.

Так $J_{i}$ – ненулевое целое алгебраическое число, делящееся на ( p − 1)!. Сейчас

$J_{i}=-\sum _{j=0}^{np-1}\sum _{t=1}^{r}c(t)\left(f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t-1}+1})+\cdots +f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t}})\right).$

Поскольку каждый $f_{i}(x)$ получается делением фиксированного многочлена с целыми коэффициентами на $(x-\alpha _{i})$, оно имеет вид

$f_{i}(x)=\sum _{m=0}^{np-1}g_{m}(\alpha _{i})x^{m},$

где $g_{m}$ является полиномом (с целыми коэффициентами), не зависящим от i . То же самое справедливо и для производных $f_{i}^{(j)}(x)$.

Следовательно, по основной теореме о симметричных полиномах

$f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t-1}+1})+\cdots +f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t}})$

представляет собой фиксированный полином с рациональными коэффициентами, вычисляемыми в $\alpha _{i}$ (это видно, если сгруппировать одни и те же степени $\alpha _{n_{t-1}+1},\dots ,\alpha _{n_{t}}$ появляющийся в разложении и использующий тот факт, что эти алгебраические числа представляют собой полный набор сопряженных). То же самое относится и к $J_{i}$, то есть оно равно $G(\alpha _{i})$, где G — многочлен с рациональными коэффициентами, не зависящими от i .

Окончательно $J_{1}\cdots J_{n}=G(\alpha _{1})\cdots G(\alpha _{n})$ рационально (опять же согласно фундаментальной теореме о симметричных многочленах) и представляет собой ненулевое целое алгебраическое число, делящееся на $(p-1)!^{n}$ (поскольку $J_{i}$'s - целые алгебраические числа, делящиеся на $(p-1)!$). Поэтому

$|J_{1}\cdots J_{n}|\geq (p-1)!^{n}.$

Однако явно имеется:

$|I_{i}(\alpha _{k})|\leq |\alpha _{k}|e^{|\alpha _{k}|}F_{i}(|\alpha _{k}|),$

где F _i — многочлен, коэффициенты которого являются абсолютными значениями коэффициентов ( _fi это следует непосредственно из определения $I_{i}(s)$). Таким образом

$|J_{i}|\leq \sum _{k=1}^{n}\left|\beta _{k}\alpha _{k}\right|e^{|\alpha _{k}|}F_{i}\left(\left|\alpha _{k}\right|\right)$

и поэтому при построении $f_{i}$у нас есть $|J_{1}\cdots J_{n}|\leq C^{p}$ для достаточно большого C, не зависящего от p , что противоречит предыдущему неравенству. Это доказывает Лемму А. ∎

Лемма Б. — Если b (1), ..., b ( n ) — целые числа и γ (1), ..., γ ( n ), — различные алгебраические числа , то

$b(1)e^{\gamma (1)}+\cdots +b(n)e^{\gamma (n)}=0$

имеет только тривиальное решение $b(i)=0$ для всех $i=1,\dots ,n.$

Доказательство леммы Б. Предполагая

$b(1)e^{\gamma (1)}+\cdots +b(n)e^{\gamma (n)}=0,$

мы получим противоречие, доказав тем самым лемму Б.

Выберем многочлен с целыми коэффициентами, который обращается в нуль на всех $\gamma (k)$и пусть $\gamma (1),\ldots ,\gamma (n),\gamma (n+1),\ldots ,\gamma (N)$ быть всеми его отдельными корнями. Пусть b ( n + 1) = ... = b ( N ) = 0.

Полином

$P(x_{1},\dots ,x_{N})=\prod _{\sigma \in S_{N}}(b(1)x_{\sigma (1)}+\cdots +b(N)x_{\sigma (N)})$

исчезает в $(e^{\gamma (1)},\dots ,e^{\gamma (N)})$ по предположению. Поскольку произведение симметрично, для любого $\tau \in S_{N}$ мономы $x_{\tau (1)}^{h_{1}}\cdots x_{\tau (N)}^{h_{N}}$ и $x_{1}^{h_{1}}\cdots x_{N}^{h_{N}}$ имеют одинаковый коэффициент в разложении P .

Таким образом, расширяя $P(e^{\gamma (1)},\dots ,e^{\gamma (N)})$ соответственно и сгруппировав члены с одинаковым показателем степени, мы видим, что полученные показатели степени $h_{1}\gamma (1)+\dots +h_{N}\gamma (N)$ образуют полный набор сопряженных чисел, и, если два члена имеют показатели сопряжения, они умножаются на один и тот же коэффициент.

Итак, мы находимся в ситуации леммы А. Чтобы прийти к противоречию, достаточно убедиться, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Это видно, если снабдить C лексикографическим порядком и выбрать для каждого фактора в произведении член с ненулевым коэффициентом, который имеет максимальный показатель в соответствии с этим порядком: произведение этих членов имеет ненулевой коэффициент в разложении и не не упрощаться никаким другим термином. Это доказывает Лемму Б. ∎

Последний шаг

Теперь перейдем к доказательству теоремы: пусть a (1), ..., a ( n ) — ненулевые алгебраические числа , а α (1), ..., α ( n ) — различные алгебраические числа. Тогда предположим, что:

$a(1)e^{\alpha (1)}+\cdots +a(n)e^{\alpha (n)}=0.$

Покажем, что это приводит к противоречию, и тем самым докажем теорему. Доказательство очень похоже на доказательство леммы B, за исключением того, что на этот раз выбор делается среди a ( i ):

Для каждого i ∈ {1, ..., n } a ( i ) является алгебраическим, поэтому он является корнем неприводимого многочлена с целыми коэффициентами степени d ( i ). Обозначим различные корни этого многочлена a ( i ) ₁ , ..., a ( i ) _{d ( i )} , где a ( i ) ₁ = a ( i ).

Пусть S — функции σ, выбирающие по одному элементу из каждой из последовательностей (1,..., d (1)), (1,..., d (2)),...,(1,.. ., d ( n )), так что для каждого 1 ⩽ i ⩽ n σ( i ) является целым числом от 1 до d ( i ). Сформируем полином от переменных $x_{11},\dots ,x_{1d(1)},\dots ,x_{n1},\dots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n}$

$Q(x_{11},\dots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n})=\prod \nolimits _{\sigma \in S}\left(x_{1\sigma (1)}y_{1}+\dots +x_{n\sigma (n)}y_{n}\right).$

Поскольку произведение охватывает все возможные функции выбора σ, Q симметричен относительно $x_{i1},\dots ,x_{id(i)}$ для каждого я . Следовательно, Q является многочленом с целыми коэффициентами от элементарных симметричных многочленов от вышеуказанных переменных для каждого i и от переменных y _i . Каждый из последних симметричных полиномов является рациональным числом при вычислении в $a(i)_{1},\dots ,a(i)_{d(i)}$.

Оцененный полином $Q(a(1)_{1},\dots ,a(n)_{d(n)},e^{\alpha (1)},\dots ,e^{\alpha (n)})$ исчезает, потому что один из вариантов — это просто σ( i ) = 1 для всех i , для которого соответствующий фактор обращается в нуль согласно нашему предположению выше. Таким образом, оцениваемый полином представляет собой сумму вида

$b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(N)e^{\beta (N)}=0,$

где мы уже сгруппировали члены с одинаковым показателем. Итак, в левой части мы имеем различные значения β(1), ..., β( N ), каждое из которых по-прежнему является алгебраическим (представляя собой сумму алгебраических чисел) и коэффициенты $b(1),\dots ,b(N)\in \mathbb {Q}$.Сумма нетривиальна: если $\alpha (i)$ максимален в лексикографическом порядке, коэффициент при $e^{|S|\alpha (i)}$ является просто произведением a ( i ) _j (с возможными повторениями), которое не равно нулю.

Умножая уравнение на соответствующий целочисленный коэффициент, мы получаем идентичное уравнение, за исключением того, что теперь b (1), ..., b ( N ) являются целыми числами. Следовательно, согласно лемме Б, равенство не может выполняться, и мы приходим к противоречию, завершающему доказательство. ∎

Обратите внимание, что леммы A достаточно, чтобы доказать, что , поскольку e иррационально в противном случае мы можем написать e = p / q , где и p, и q — ненулевые целые числа, но по лемме A мы будем иметь qe − p ≠ 0, что противоречие. Леммы A также достаточно, чтобы доказать, что π иррационально, поскольку в противном случае мы можем написать π = k / n , где оба k и n — целые числа), а затем ± i π — корни n ² х ² + к ² = 0; таким образом, 2 − 1 − 1 = 2 e ⁰ + и ^{и π} + и ^{- я π} ≠ 0; но это неверно.

Точно так же леммы B достаточно, чтобы доказать, что e трансцендентно, поскольку лемма B гласит, что если a ₀ , ..., a _n — целые числа, не все из которых равны нулю, то

$a_{n}e^{n}+\cdots +a_{0}e^{0}\neq 0.$

Леммы Б также достаточно, чтобы доказать, что π трансцендентно, так как в противном случае мы имели бы 1 + e ^{и π}  ≠ 0.

Эквивалентность двух утверждений

Формулировка теоремы Бейкера явно подразумевает первую формулировку. Действительно, если $\alpha (1),\ldots ,\alpha (n)$ — алгебраические числа, линейно независимые над $\mathbb {Q}$, и

$P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum b_{i_{1},\ldots ,i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$

является многочленом с рациональными коэффициентами, то имеем

$P\left(e^{\alpha (1)},\dots ,e^{\alpha (n)}\right)=\sum b_{i_{1},\dots ,i_{n}}e^{i_{1}\alpha (1)+\cdots +i_{n}\alpha (n)},$

и поскольку $\alpha (1),\ldots ,\alpha (n)$ — алгебраические числа, линейно независимые от рациональных чисел, числа $i_{1}\alpha (1)+\cdots +i_{n}\alpha (n)$ алгебраичны и различны для разных n -кортежей $(i_{1},\dots ,i_{n})$. Итак, из формулировки теоремы Бейкера мы получаем $b_{i_{1},\ldots ,i_{n}}=0$ для всех n -кортежей $(i_{1},\dots ,i_{n})$.

Предположим теперь, что справедлива первая формулировка теоремы. Для $n=1$ Формулировка Бейкера тривиальна, поэтому предположим, что $n>1$, и пусть $a(1),\ldots ,a(n)$ быть ненулевыми алгебраическими числами и $\alpha (1),\ldots ,\alpha (n)$ различные алгебраические числа такие, что:

$a(1)e^{\alpha (1)}+\cdots +a(n)e^{\alpha (n)}=0.$

Как видно из предыдущего раздела и с использованием тех же обозначений, значение полинома

$Q(x_{11},\ldots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n})=\prod \nolimits _{\sigma \in S}\left(x_{1\sigma (1)}y_{1}+\dots +x_{n\sigma (n)}y_{n}\right),$

в

$\left(a(1)_{1},\ldots ,a(n)_{d(n)},e^{\alpha (1)},\ldots ,e^{\alpha (n)}\right)$

имеет выражение вида

$b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(M)e^{\beta (M)}=0,$

где мы сгруппировали экспоненты, имеющие один и тот же показатель. Здесь, как было доказано выше, $b(1),\ldots ,b(M)$ являются рациональными числами, не все из которых равны нулю, и каждый показатель степени $\beta (m)$ представляет собой линейную комбинацию $\alpha (i)$ с целыми коэффициентами. Тогда, поскольку $n>1$ и $\alpha (1),\ldots ,\alpha (n)$ попарно различны, то $\mathbb {Q}$-векторное подпространство $V$ из $\mathbb {C}$ созданный $\alpha (1),\ldots ,\alpha (n)$ нетривиально, и мы можем выбрать $\alpha (i_{1}),\ldots ,\alpha (i_{k})$ сформировать основу для $V.$ Для каждого $m=1,\dots ,M$, у нас есть

${\begin{aligned}\beta (m)=q_{m,1}\alpha (i_{1})+\cdots +q_{m,k}\alpha (i_{k}),&&q_{m,j}={\frac {c_{m,j}}{d_{m,j}}};\qquad c_{m,j},d_{m,j}\in \mathbb {Z} .\end{aligned}}$

Для каждого $j=1,\ldots ,k,$ позволять $d_{j}$ быть наименьшим общим кратным всех $d_{m,j}$ для $m=1,\ldots ,M$, и положить $v_{j}={\tfrac {1}{d_{j}}}\alpha (i_{j})$. Затем $v_{1},\ldots ,v_{k}$ являются алгебраическими числами, они составляют основу $V$и каждый $\beta (m)$ представляет собой линейную комбинацию $v_{j}$ с целыми коэффициентами. Умножая соотношение

$b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(M)e^{\beta (M)}=0,$

к $e^{N(v_{1}+\cdots +v_{k})}$, где $N$ — достаточно большое натуральное число, мы получаем нетривиальное алгебраическое соотношение с рациональными коэффициентами, связывающее $e^{v_{1}},\cdots ,e^{v_{k}}$, против первой формулировки теоремы.

Связанный результат

вариант теоремы Линдемана–Вейерштрасса, в котором алгебраические числа заменены трансцендентными числами Лиувилля (или, вообще, U- числами ). Известен также

См. также

• Теорема Гельфонда – Шнайдера
• теорема Бейкера ; расширение теоремы Гельфонда – Шнайдера
• Гипотеза Шануэля ; если оно будет доказано, это будет означать как теорему Гельфонда – Шнайдера, так и теорему Линдеманна – Вейерштрасса.

Ссылки

• Гордан, П. (1893), «Трансцендентность e и π ». , Mathematical Annals , 43 (2–3): 222–224, doi : 10.1007/bf01443647 , S2CID   123203471
• Эрмит, К. (1873), «О показательной функции». , Труды Парижской академии наук , 77 : 18–24.
• Эрмит, К. (1874), О показательной функции. , Париж: Готье-Виллар
• Гильберт, Д. (1893), «О трансцендентности чисел e и π ». , Mathematical Annals , 43 (2–3): 216–219, doi : 10.1007/bf01443645 , S2CID   179177945 , заархивировано из оригинала 06 октября 2017 г. , получено 24 декабря 2018 г.
• Линдеманн, Ф. (1882), «О числе Людольфа». , Труды Королевской прусской академии наук в Берлине , 2 : 679–682.
• Линдеманн, Ф. (1882), «О числе π ». , Mathematical Annals , 20 : 213–225, doi : 10.1007/bf01446522 , S2CID   120469397 , заархивировано из оригинала 06 октября 2017 г. , получено 24 декабря 2018 г.
• Мурти, М. Рам; Ратх, Пурушоттам (2014). «Теорема Бейкера». Трансцендентные числа . стр. 95–100. дои : 10.1007/978-1-4939-0832-5_19 . ISBN  978-1-4939-0831-8 .
• Вейерштрасс, К. (1885), «О трактате Линдеманна. «О числе Людольфа».» , Труды Королевской прусской академии наук в Берлине , 5 : 1067–1085.

Дальнейшее чтение

• Бейкер, Алан (1990), Трансцендентная теория чисел , Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-39791-9 , МР   0422171
• Бертран, Д. (1997), «Тэта-функции и трансцендентность», The Ramanujan Journal , 1 (4): 339–350, doi : 10.1023/A:1009749608672 , S2CID   118628723
• Гельфонд, АО (2015) [1960], Трансцендентные и алгебраические числа , Dover Books on Mathematics, перевод Борона, Лео Ф. , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-49526-2 , МР   0057921
• Джейкобсон, Натан (2009) [1985], Основная алгебра , том. Я (2-е изд.), Dover Publications , ISBN  978-0-486-47189-1

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Эрмита-Линдемана» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Линдеманна-Вейерштрасса» . Математический мир .