Количественная оценка уникальности

В математике и логике термин «уникальность» относится к свойству быть единственным объектом, удовлетворяющим определенному условию. ^[1] Этот вид количественной оценки известен как количественная оценка уникальности или уникальная квантификация существования и часто обозначается символами « ∃ !» ^[2]или «∃ ₌₁ ». Например, официальное заявление

\exists !n\in \mathbb {N} \,(n-2=4)

можно прочитать как «существует ровно одно натуральное число». $n$ такой, что $n-2=4$ ".

Доказательство уникальности [ править ]

Наиболее распространенный метод доказательства уникальности существования определенного объекта состоит в том, чтобы сначала доказать существование объекта с желаемым условием, а затем доказать, что любые два таких объекта (скажем, $a$ и $b$ ) должны быть равны друг другу (т.е. $a=b$ ).

Например, чтобы показать, что уравнение $x+2=5$ имеет ровно одно решение, то сначала следует установить, что существует хотя бы одно решение, а именно 3; доказательством этой части является просто проверка того, что уравнение ниже справедливо:

3+2=5.

Чтобы установить единственность решения, можно было бы предположить, что существует два решения, а именно: $a$ и $b$ , удовлетворяя $x+2=5$ . То есть,

a+2=5{\text{ and }}b+2=5.

Тогда, поскольку равенство является транзитивным отношением ,

a+2=b+2.

Вычитание 2 из обеих частей дает

a=b.

что завершает доказательство того, что 3 является единственным решением $x+2=5$ .

В общем, необходимо доказать как существование (существует хотя бы один объект), так и уникальность (существует не более одного объекта), чтобы сделать вывод о том, что существует ровно один объект, удовлетворяющий указанному условию.

Альтернативный способ доказать уникальность — доказать, что существует объект $a$ удовлетворяющее условию, а затем доказать, что каждый объект, удовлетворяющий условию, должен быть равен $a$ .

обычной экзистенциальной и универсальной квантификации Сведение к

Квантическую оценку уникальности можно выразить через существования и универсальности кванторы логики предикатов , определив формулу $\exists !xP(x)$ значить

\exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x)),

что логически эквивалентно

\exists x\,(P(x)\wedge \forall y\,(P(y)\to y=x)).

Эквивалентное определение, разделяющее понятия существования и уникальности на два предложения в ущерб краткости, выглядит следующим образом:

\exists x\,P(x)\wedge \forall y\,\forall z\,[(P(y)\wedge P(z))\to y=z].

Другое эквивалентное определение, имеющее преимущество краткости, звучит так:

\exists x\,\forall y\,(P(y)\leftrightarrow y=x).

Обобщения [ править ]

Количественную оценку уникальности можно обобщить до количественной оценки (или числовой количественной оценки). ^[3]). Это включает в себя как количественную оценку формы «существует ровно k объектов таких, что…», так и «существует бесконечно много объектов таких, что…» и «существует только конечное число объектов таких, что…». Первая из этих форм выражается с помощью обычных кванторов, но две последние не могут быть выражены в обычной логике первого порядка . ^[4]

Уникальность зависит от понятия равенства . Ослабление этого отношения до некоторого более грубого отношения эквивалентности дает количественную оценку уникальности до этой эквивалентности (в этой структуре обычная уникальность - это «уникальность с точностью до равенства»). Например, многие понятия в теории категорий определены как уникальные с точностью до изоморфизма .

Восклицательный знак $!$ может также использоваться как отдельный символ количественной оценки, поэтому $(\exists !x.P(x))\leftrightarrow ((\exists x.P(x))\land (!x.P(x)))$ , где $(!x.P(x)):=(\forall a\forall b.P(a)\land P(b)\rightarrow a=b)$ . Например, его можно безопасно использовать в аксиоме замены вместо $\exists !$ .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. «Теорема единственности» . mathworld.wolfram.com . Проверено 15 декабря 2019 г.
^ «2.5 Аргументы уникальности» . www.whitman.edu . Проверено 15 декабря 2019 г.
^ Хелман, Глен (1 августа 2013 г.). «Численная количественная оценка» (PDF) . persweb.wabash.edu . Проверено 14 декабря 2019 г.
^ Это следствие теоремы о компактности .

Библиография [ править ]

Клини, Стивен (1952). Введение в метаматематику . Иши Пресс Интернешнл. п. 199.
Эндрюс, Питер Б. (2002). Введение в математическую логику и теорию типов к истине через доказательство (2-е изд.). Дордрехт: Клювер Акад. Опубл. п. 233. ИСБН 1-4020-0763-9 .

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Теорема единственности» . mathworld.wolfram.com . Проверено 15 декабря 2019 г.

[2] «2.5 Аргументы уникальности» . www.whitman.edu . Проверено 15 декабря 2019 г.

[3] Хелман, Глен (1 августа 2013 г.). «Численная количественная оценка» (PDF) . persweb.wabash.edu . Проверено 14 декабря 2019 г.

[4] Это следствие теоремы о компактности .

[1]

[2]

[3]

[4]