Сильная антицепь

В теории порядка подмножество A , P частично упорядоченного множества является сильной нисходящей антицепью , если это антицепь в которой никакие два различных элемента не имеют общей нижней границы в P , то есть

$\forall x,y\in A\;[x\neq y\rightarrow \neg \exists z\in P\;[z\leq x\land z\leq y]].$

В случае, когда P упорядочено по включению и замкнуто относительно подмножеств, но не содержит пустого множества, это просто семейство попарно непересекающихся множеств.

Сильная направленная вверх антицепь B — это подмножество P в котором никакие два различных элемента не имеют общей верхней границы в P. , Авторы часто опускают термины «восходящий» и «нисходящий» и просто ссылаются на сильные антицепи. К сожалению, не существует единого соглашения относительно того, какая версия называется сильной антицепью. В контексте принуждения авторы иногда опускают термин «сильный» и просто ссылаются на антицепи. Чтобы разрешить неоднозначность в этом случае, более слабый тип антицепи называется слабой антицепью .

Если ( P , ≤) — частичный порядок и существуют различные x , y ∈ P такие, что { x , y } — сильная антицепь, то ( P , ≤) не может быть решеткой (или даже пересекающейся полурешеткой ), поскольку по определению каждые два элемента в решетке (или пересекающейся полурешетке) должны иметь общую нижнюю границу. Таким образом, решетки имеют только тривиальные сильные антицепи (т. е. сильные антицепи мощности не выше 1).

Ссылки

• Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: Введение в доказательства независимости , Исследования по логике и основам математики, Северная Голландия: Издательство North-Holland Publishing Company , стр. 53 , ISBN  9780444854018