Теорема Габриэля – Попеску

В математике теорема Габриэля-Попеску — это теорема вложения для некоторых абелевых категорий , введенная Пьером Габриэлем и Николае Попеску ( 1964 ). Он характеризует некоторые абелевы категории ( категории Гротендика ) как факторы модульных категорий .

Существует несколько обобщений и вариаций теоремы Габриэля-Попеску, данных Куном (1994) (для категории AB5 с набором образующих ), Лоуэном (2004) , Портой (2010) (для триангулированных категорий ).

Теорема

Пусть A — категория Гротендика ( категория AB5 с генератором), G — A и R — кольцо эндоморфизмов G генератор ; также пусть S будет функтор из A в Mod- R (категория правых R -модулей), определяемый формулой S ( X ) = Hom( G , X ). Тогда теорема Габриэля-Попеску утверждает, что и точное S полное и имеет точное левое сопряженное .

Отсюда следует, что A эквивалентна фактор - категории Серра Mod- R по некоторой локализующей подкатегории C . (Локализирующая подкатегория Mod- R — это полная подкатегория C Mod- R , замкнутая относительно произвольных прямых сумм , такая, что для любой короткой точной последовательности модулей $0\rightarrow M_{1}\rightarrow M_{2}\rightarrow M_{3}\rightarrow 0$, у нас есть M ₂ в C тогда и только тогда, когда M ₁ и M ₃ находятся в C . Фактор Серра Mod- R по любой локализующей подкатегории является категорией Гротендика.) Мы можем взять C в качестве ядра левого сопряженного функтора S .

Заметим, что вложение S группы A в Mod- R является точным слева, но не обязательно точным справа: коядра морфизмов в A , вообще говоря, не соответствуют коядрам соответствующих морфизмов в Mod- R.

Ссылки

• Кастаньо Иглесиас, Флоренция; Эначе, П.; Нэстасеску, Константин; Торресильяс, Блас (2004), «Аналог теоремы Габриэля-Попеску и ее приложения», Bulletin des Sciences Mathematiques , 128 (4): 323–332, doi : 10.1016/j.bulsci.2003.12.004 , IS-SN   - 707407 , МР   2052174
• Габриэль, Пьер; Попеско, Николае (1964), «Характеристика абелевых категорий с генераторами и точными индуктивными пределами», Les Comptes de l'Académie des Sciences , 258 : 4188–4190, MR   0166241 [Примечание: «Попеску» на французском языке пишется «Попеско» .]
• Кун, Николас Дж. (1994), «Общие представления конечных общих линейных групп и алгебры Стинрода. I», American Journal of Mathematics , 116 (2): 327–360, doi : 10.2307/2374932 , ISSN   0002-9327 , МР   1269607
• Лоуэн, Венди (2004), «Обобщение теоремы Габриэля-Попеску», Журнал чистой и прикладной алгебры , 190 (1): 197–211, doi : 10.1016/j.jpaa.2003.11.016 , ISSN   0022-4049 , МР   2043328
• Митчелл, Барри (1981), «Быстрое доказательство теоремы Габриэля-Попеско», Journal of Pure and Applied Algebra , 20 (3): 313–315, doi : 10.1016/0022-4049(81)90065-7 , ISSN   0022-4049 , МР   0604322
• Порта, Марко (2010), «Теорема Попеску-Габриэля для триангулированных категорий», Advances in Mathematics , 225 (3): 1669–1715, arXiv : 0706.4458 , doi : 10.1016/j.aim.2010.04.002 , ISSN   0001- 8708 , МР   2673743

Внешние ссылки

• Лурье (2008), Теорема Габриэля-Куна-Попеско (PDF)