Короткая пятая лемма

В математике , особенно в гомологической алгебре и других приложениях абелевой теории категорий , короткая лемма о пяти является частным случаем леммы о пяти .Он утверждает, что для следующей коммутативной диаграммы (в любой абелевой категории или в категории групп ), если строки представляют собой короткие точные последовательности и если g и h являются изоморфизмами , то f также является изоморфизмом.

Это следует непосредственно из пятой леммы .

Суть леммы можно сформулировать следующим образом: если имеется гомоморфизм f объекта B в объект B ′ , и этот гомоморфизм индуцирует изоморфизм подобъекта A объекта B в подобъект A ′ объекта B ′ , а также изоморфизм фактор-объекта B / A в B ′ / A ′ , то f сам по себе является изоморфизмом. Однако обратите внимание, что существование f (такого, что диаграмма коммутирует) должно предполагаться с самого начала; два объекта B и B ', которые просто имеют изоморфные суб- и фактор-объекты, не обязательно сами должны быть изоморфными (например, в категории абелевых групп B может быть циклической группой , четвертого порядка а B ' - четырехгруппой Клейна ).

Ссылки

• Хангерфорд, Томас В. (2003) [1980]. Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Том. 73. Берлин: Springer-Verlag . п. 176. ИСБН  0-387-90518-9 . Збл   0442.00002 .
• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-83414-7 . Збл   1034.18001 .