Волокно (математика)

В математике волокно ( ( американский английский ) или . британский английский ) элемента волокно $y$ под функцией $f$ является прообразом одиночного набора $\{y\}$ , ^[1]^{: стр.69} то есть

f^{-1}(\{y\})=\{x\mathrel {:} f(x)=y\}

В качестве примера злоупотребления обозначениями этот набор часто обозначается как $f^{-1}(y)$ , что технически неверно, поскольку обратное соотношение $f^{-1}$ из $f$ не обязательно является функцией.

Свойства и приложения [ править ]

В наивной теории множеств [ править ]

Если $X$ и $Y$ являются доменом и образом $f$ соответственно, то волокна $f$ это наборы в

\left\{f^{-1}(y)\mathrel {:} y\in Y\right\}\quad =\quad \left\{\left\{x\in X\mathrel {:} f(x)=y\right\}\mathrel {:} y\in Y\right\}

который является разделом набора доменов $X$ . Обратите внимание, что $y$ должно быть ограничено набором изображений $Y$ из $f$ , поскольку в противном случае $f^{-1}(y)$ будет пустой набор , который не разрешен в разделе. Волокно, содержащее элемент $x\in X$ это набор $f^{-1}(f(x)).$

Например, пусть $f$ быть функцией от $\mathbb {R} ^{2}$ к $\mathbb {R}$ это отправляет точку $(a,b)$ к $a+b$ . Волокно 5 под $f$ все точки на прямой с уравнением $a+b=5$ . Волокна $f$ являются той линией и всеми параллельными ей прямыми, которые образуют разбиение плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ .

В более общем смысле, если $f$ является линейным отображением некоторого линейного векторного пространства $X$ в какое-то другое линейное пространство $Y$ , волокна $f$ являются аффинными подпространствами $X$ , которые являются всеми переведенными копиями нулевого пространства $f$ .

Если $f$ — вещественная функция нескольких вещественных переменных , слоями функции являются множества уровня $f$ . Если $f$ также является непрерывной функцией и $y\in \mathbb {R}$ в образе находится $f,$ уровень установлен $f^{-1}(y)$ обычно это кривая в 2D , поверхность в 3D и, в более общем смысле, гиперповерхность в области $f.$

Волокна $f$ являются классами эквивалентности отношения эквивалентности $\equiv _{f}$ определено в домене $X$ такой, что $x'\equiv _{f}x''$ тогда и только тогда, когда $f(x')=f(x'')$ .

В топологии [ править ]

В топологии множества точек обычно рассматриваются функции из топологических пространств в топологические пространства.

Если $f$ является непрерывной функцией , и если $Y$ (или, в более общем смысле, набор изображений $f(X)$ ) является T ₁ пространством , то каждый слой является замкнутым подмножеством $X.$ В частности, если $f$ является локальным гомеоморфизмом из $X$ к $Y$ , каждое волокно $f$ является дискретным подпространством $X$ .

Функция между топологическими пространствами называется монотонно , если каждый слой является связным подпространством своей области определения. Функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ является монотонной в этом топологическом смысле тогда и только тогда, когда она не возрастает или не убывает , что является обычным значением « монотонной функции » в реальном анализе .

Функция между топологическими пространствами (иногда) называется собственным отображением, если каждый слой является компактным подпространством своей области определения. Однако многие авторы используют другие, неэквивалентные конкурирующие определения «правильной карты», поэтому желательно всегда проверять, как конкретный автор определяет этот термин. Непрерывная замкнутая , все слои которой компактны , сюръективная функция называется совершенным отображением .

Пучок волокон — это функция $f$ между топологическими пространствами $X$ и $Y$ слои которого обладают некоторыми специальными свойствами, связанными с топологией этих пространств.