Теорема о прообразе

В математике , особенно в области дифференциальной топологии , теорема о прообразе является вариацией теоремы о неявной функции, касающейся прообраза отдельных точек многообразия под действием гладкого отображения .

теоремы

Определение. Позволять $f:X\to Y$ быть гладким отображением между многообразиями. Мы говорим, что точка $y\in Y$ является регулярным значением $f$ если для всех $x\in f^{-1}(y)$ карта $df_{x}:T_{x}X\to T_{y}Y$ является сюръективным . Здесь, $T_{x}X$ и $T_{y}Y$ являются пространствами касательными $X$ и $Y$ в точках $x$ и $y.$

Теорема. Позволять $f:X\to Y$ будет гладкой картой, и пусть $y\in Y$ быть регулярным значением $f.$ Затем $f^{-1}(y)$ является подмногообразием $X.$ Если $y\in {\text{im}}(f),$ тогда коразмерность ​ $f^{-1}(y)$ равен размерности $Y.$ Кроме того, пространство касательное $f^{-1}(y)$ в $x$ равно $\ker(df_{x}).$

Существует также комплексная версия этой теоремы:

Теорема. Позволять $X^{n}$ и $Y^{m}$ быть двумя комплексными многообразиями комплексных размерностей $n>m.$ Позволять $g:X\to Y$ — голоморфное отображение и пусть $y\in {\text{im}}(g)$ быть таким, что ${\text{rank}}(dg_{x})=m$ для всех $x\in g^{-1}(y).$ Затем $g^{-1}(y)$ представляет собой сложное подмногообразие $X$ комплексной размерности $n-m.$

См. также

• Волокно (математика) - набор всех точек в области определения функции, которые все сопоставляются с какой-то одной заданной точкой.
• Набор уровней - подмножество области определения функции, в которой ее значение равно.