Неразложимое распределение

В теории вероятностей — неразложимое распределение это распределение вероятностей которое нельзя представить как распределение суммы двух или более непостоянных независимых случайных величин : Z ≠ X + Y. , Если это можно так выразить, то оно : Z = X + Y. разложимо Если, кроме того, его можно выразить как распределение суммы двух или более независимых одинаково распределенных случайных величин, то оно делится: Z = X ₁ + X ₂ .

Примеры

Неразложимый

• Простейшими примерами являются распределения Бернулли : если

$X={\begin{cases}1&{\text{with probability }}p,\\0&{\text{with probability }}1-p,\end{cases}}$

тогда распределение вероятностей X неразложимо.

Доказательство: учитывая непостоянные распределения U и V, так что U принимает как минимум два значения a , b и V принимает два значения c , d, с a < b и c < d , тогда U + V принимает как минимум три различных значения. : a + c , a + d , b + d ( b + c может быть равно a + d , например, если используется 0, 1 и 0, 1). Таким образом, сумма непостоянных распределений принимает как минимум три значения, поэтому распределение Бернулли не является суммой непостоянных распределений.

• Предположим, a + b + c = 1, a , b , c ≥ 0 и

$X={\begin{cases}2&{\text{with probability }}a,\\1&{\text{with probability }}b,\\0&{\text{with probability }}c.\end{cases}}$

Это распределение вероятностей разложимо (как распределение суммы двух , распределенных по Бернулли ), если случайных величин

${\sqrt {a}}+{\sqrt {c}}\leq 1\$

и в остальном неразложим. Чтобы убедиться в этом, предположим, что U и V — независимые случайные величины, и U + V имеет такое распределение вероятностей. Тогда мы должны иметь

${\begin{matrix}U={\begin{cases}1&{\text{with probability }}p,\\0&{\text{with probability }}1-p,\end{cases}}&{\mbox{and}}&V={\begin{cases}1&{\text{with probability }}q,\\0&{\text{with probability }}1-q,\end{cases}}\end{matrix}}$

для некоторых p , q ∈ [0, 1] по рассуждениям, аналогичным случаю Бернулли (иначе сумма U + V примет более трех значений). Отсюда следует, что

$a=pq,\,$

$c=(1-p)(1-q),\,$

$b=1-a-c.\,$

Эта система двух квадратных уравнений с двумя переменными p и q имеет решение ( p , q ) ∈ [0, 1] ² тогда и только тогда, когда

${\sqrt {a}}+{\sqrt {c}}\leq 1.\$

Так, например, дискретное равномерное распределение на множестве {0, 1, 2} неразложимо, но биномиальное распределение для двух испытаний, каждое из которых имеет вероятности 1/2, что дает соответствующие вероятности a, b, c как 1/4, 1/2, 1/4 разложимы.

• Абсолютно непрерывное неразложимое распределение. Можно показать, что распределение, функция плотности которого равна

$f(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \,}}}x^{2}e^{-x^{2}/2}$

является неразложимым.

Разборный

• Все бесконечно делимые распределения заведомо разложимы; в частности, сюда входят стабильные распределения , такие как нормальное распределение .
• Равномерное распределение на интервале [0, 1] является разложимым, поскольку оно представляет собой сумму переменной Бернулли, принимающей 0 или 1/2 с равными вероятностями, и равномерное распределение на [0, 1/2]. Повторение этого дает бесконечное разложение:

$\sum _{n=1}^{\infty }{X_{n} \over 2^{n}},$

где каждая из независимых случайных величин X _n равна 0 или 1 с равными вероятностями – это испытание Бернулли каждой цифры двоичного расширения.

• Сумма неразложимых случайных величин разлагается на исходные слагаемые. Но оно может оказаться бесконечно делимым . Предположим, случайная величина Y имеет геометрическое распределение

$\Pr(Y=n)=(1-p)^{n}p\,$

на {0, 1, 2, ...}.

Для любого положительного целого числа k существует последовательность отрицательно-биномиально распределенных случайных величин Y _j , j = 1, ..., k , такая, что Y ₁ + ... + Y _k имеет это геометрическое распределение. Следовательно, это распределение бесконечно делимо.

С другой стороны, пусть Dn _. будет n-й цифрой Y для n ≥ 0. Тогда Dn _{двоичной} независимы и

$Y=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}D_{n},$

и каждое слагаемое этой суммы неразложимо.

Связанные понятия

Другой крайностью неразложимости является бесконечная делимость .

• Теорема Крамера показывает, что, хотя нормальное распределение бесконечно делимо, его можно разложить только на нормальные распределения.
• Теорема Кокрена показывает, что члены разложения суммы квадратов нормальных случайных величин в суммы квадратов линейных комбинаций этих переменных всегда имеют независимые распределения хи-квадрат .

См. также

• Теорема Крамера
• Теорема Кокрена
• Бесконечная делимость (вероятность)
• Теорема Хинчина о факторизации распределений

Ссылки

• Линник, Ю. В., Островский И. В. Разложение случайных величин и векторов , Амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1977.

• Лукач, Юджин, Характеристические функции , Нью-Йорк, издательство Hafner Publishing Company, 1970.