Автоморфный фактор

В математике автоморфный фактор — это определенный тип аналитической функции , определенной на подгруппах группы SL(2,R) , появляющейся в теории модулярных форм . Общий случай для общих групп рассмотрен в статье « Фактор автоморфии ».

Определение

Автоморфный фактор веса k — это функция $\nu :\Gamma \times \mathbb {H} \to \mathbb {C}$ удовлетворяющий четырем свойствам, приведенным ниже. Здесь обозначение $\mathbb {H}$ и $\mathbb {C}$ относятся к верхней полуплоскости и комплексной плоскости соответственно. Обозначения $\Gamma$ является подгруппой SL(2,R), такой как, например, фуксова группа . Элемент $\gamma \in \Gamma$ представляет собой матрицу 2×2 $\gamma ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ с действительными числами a , b , c , d , удовлетворяющими ad − bc =1.

Автоморфный фактор должен удовлетворять:

Для фиксированной $\gamma \in \Gamma$ , функция $\nu (\gamma ,z)$ является функцией голоморфной $z\in \mathbb {H}$ .
Для всех $z\in \mathbb {H}$ и $\gamma \in \Gamma$ , у одного есть $\vert \nu (\gamma ,z)\vert =\vert cz+d\vert ^{k}$ для фиксированного действительного числа k .
Для всех $z\in \mathbb {H}$ и $\gamma ,\delta \in \Gamma$ , у одного есть $\nu (\gamma \delta ,z)=\nu (\gamma ,\delta z)\nu (\delta ,z)$ Здесь, $\delta z$ это дробное линейное преобразование $z$ к $\delta$ .
Если $-I\in \Gamma$ , то для всех $z\in \mathbb {H}$ и $\gamma \in \Gamma$ , у одного есть $\nu (-\gamma ,z)=\nu (\gamma ,z)$ Здесь I обозначает единичную матрицу .

Характеристики

Каждый автоморфный фактор можно записать как

\nu (\gamma ,z)=\upsilon (\gamma )(cz+d)^{k}

с

\vert \upsilon (\gamma )\vert =1

Функция $\upsilon :\Gamma \to S^{1}$ называется системой множителей . Четко,

\upsilon (I)=1

,

пока, если $-I\in \Gamma$ , затем

\upsilon (-I)=e^{-i\pi k}

что равно $(-1)^{k}$ когда k — целое число.

Ссылки

Роберт Рэнкин , Модульные формы и функции , (1977) Издательство Кембриджского университета ISBN 0-521-21212-X . (Глава 3 целиком посвящена автоморфным факторам модулярной группы.)