Теория Аткина – Ленера

В математике теория Аткина-Ленера является частью теории модулярных форм, описывающей, когда они возникают на заданном целочисленном уровне N, таким образом, что теория операторов Гекке может быть расширена на более высокие уровни.

Теория Аткина-Ленера основана на концепции новой формы , которая представляет собой форму возврата «новую» на данном уровне N , где уровни представляют собой вложенные конгруэнтные подгруппы :

$\Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}$

модулярной группы , где N упорядочено по делимости . То есть, если M делит N , Γ ₀ ( N ) является подгруппой Γ ₀ ( M ). для Старые формы Γ ₀ ( N ) — это модулярные формы f(τ) уровня N формы g ( d τ ) для модулярных форм g уровня M с M собственным делителем N , где d делит N/M . Новые формы определяются как векторное подпространство модульных форм уровня N , дополняющее пространство, натянутое старыми формами, т.е. ортогональное пространство относительно скалярного произведения Петерссона .

Операторы Гекке , которые действуют в пространстве всех форм возврата, сохраняют подпространство новых форм и являются самосопряженными и коммутирующими операторами (относительно скалярного произведения Петерсона), когда они ограничены этим подпространством. Следовательно, алгебра операторов на новых формах, которые они порождают, представляет собой конечномерную С*-алгебру , которая является коммутативной; и согласно спектральной теории таких операторов существует основа пространства новых форм, состоящая из собственных форм полной алгебры Гекке .

Инволюции Аткина – Ленера

Рассмотрим делитель Холла e числа N. не только Это означает, что e делит N , но также e и N / e относительно просты (часто обозначаются e || N ). Если N имеет s различных простых делителей, то существует 2 ^с Делители Холла N ; например, если N = 360 = 2 ³ ⋅3 ² ⋅5 ¹ , 8 делителей Холла N равны 1, 2 ³ , 3 ² , 5 ¹ , 2 ³ ⋅3 ² , 2 ³ ⋅5 ¹ , 3 ² ⋅5 ¹ , и 2 ³ ⋅3 ² ⋅5 ¹ .

Для каждого делителя Холла e числа N выберите целую матрицу W _e вида

$W_{e}={\begin{pmatrix}ae&b\\cN&de\end{pmatrix}}$

с det W _e = e . Эти матрицы обладают следующими свойствами:

• Элементы We _{нормализуют} ) Γ0 _{то есть} ( N , если A находится в Γ0 ₍ N ) , WeeAW _то : ⁻¹
  _e находится в Γ ₀ ( N ).
• Матрица W ²
  _e , который имеет определитель e ² , можно записать как eA , где A находится в Γ ₀ ( N ). Нас будут интересовать операторы на параболических формах, в результате действия We _{возникающие} на Γ ₀ ( N ) путем сопряжения, при которых и скаляр e , и матрица A действуют тривиально. Следовательно, равенство W ²
  _e = eA что действие We _{означает ,} квадратично к тождеству; по этой причине результирующий оператор называется инволюцией Аткина – Ленера .
• Если e и f оба являются делителями Холла N , то We _e и W _f коммутируют по модулю Γ ₀ ( N ). Более того, если мы определим g как дивизор Холла g = ef /( e , f ) ² , их произведение равно W _g по модулю Γ ₀ ( N ).
• Если бы мы выбрали другую матрицу W ′ _e вместо We _≡ , то оказалось бы, что W _We ′ e по _модулю Γ ₀ ( N ), поэтому We _{определяли} и W ′ _e бы одну и ту же инволюцию Аткина–Ленера.

Мы можем резюмировать эти свойства следующим образом. Рассмотрим подгруппу группы GL(2, Q порожденную Γ ₀ ( N ) вместе с матрицами We _{) ,} ; пусть Γ ₀ ( N ) ⁺ обозначим его частное через положительные скалярные матрицы. Тогда Γ ₀ ( N ) — нормальная подгруппа в Γ ₀ ( N ). ⁺ индекса 2 ^с (где s — количество различных простых делителей числа N ); факторгруппа изоморфна ( Z /2 Z ) ^с и действует на формы возврата через инволюции Аткина – Ленера.

Ссылки

• Мокану, Андреа. (2019). " Теория Аткина-Ленера Γ ₁ (m)-модулярных форм "
• Аткин, AOL ; Ленер, Дж. (1970), «Операторы Гекке на Γ ₀ (m)», Mathematische Annalen , 185 (2): 134–160, doi : 10.1007/BF01359701 , ISSN   0025-5831 , MR   0268123
• Коитиро Харада (2010) «Самогон» конечных групп , страница 13, Европейское математическое общество ISBN   978-3-03719-090-6 МР 2722318