q - тождество Вандермонда

В математике , в области комбинаторики , q -тождество Вандермонда является q -аналогом тождества Чу –Вандермонда . Используя стандартные обозначения для q -биномиальных коэффициентов , тождество гласит, что

${\binom {m+n}{k}}_{\!\!q}=\sum _{j}{\binom {m}{k-j}}_{\!\!q}{\binom {n}{j}}_{\!\!q}q^{j(m-k+j)}.$

Ненулевые вклады в эту сумму происходят от таких значений j , что q -биномиальные коэффициенты в правой части отличны от нуля, то есть max(0, k − m ) ⩽ j ⩽ min( n , k ).

Другие конвенции

Как это типично для q -аналогов, тождество q -Вандермонда можно переписать несколькими способами. В соглашениях, общих для приложений к квантовым группам другой q , используется -биномиальный коэффициент. Этот q -биномиальный коэффициент, который мы здесь обозначаем через $B_{q}(n,k)$, определяется

$B_{q}(n,k)=q^{-k(n-k)}{\binom {n}{k}}_{\!\!q^{2}}.$

В частности, это единственный сдвиг «обычного» q -биномиального коэффициента в степень q такой, что результат симметричен по q и $q^{-1}$. Используя этот q -биномиальный коэффициент, q- тождество Вандермонда можно записать в виде

$B_{q}(m+n,k)=q^{nk}\sum _{j}q^{-(m+n)j}B_{q}(m,k-j)B_{q}(n,j).$

Доказательство

Как и в случае с (не- q ) тождеством Чу-Вандермонда, существует несколько возможных доказательств q -тождества Вандермонда. Следующее доказательство использует q -биномиальную теорему .

Одним из стандартных доказательств тождества Чу – Вандермонда является разложение произведения $(1+x)^{m}(1+x)^{n}$ двумя разными способами. Следуя за Стэнли, можем изменить это доказательство, чтобы доказать тождество q мы также -Вандермонда. Во-первых, обратите внимание, что продукт

$(1+x)(1+qx)\cdots \left(1+q^{m+n-1}x\right)$

можно расширить с помощью q -биномиальной теоремы как

$(1+x)(1+qx)\cdots \left(1+q^{m+n-1}x\right)=\sum _{k}q^{\frac {k(k-1)}{2}}{\binom {m+n}{k}}_{\!\!q}x^{k}.$

Менее очевидно, мы можем написать

$(1+x)(1+qx)\cdots \left(1+q^{m+n-1}x\right)=\left((1+x)\cdots (1+q^{m-1}x)\right)\left(\left(1+(q^{m}x)\right)\left(1+q(q^{m}x)\right)\cdots \left(1+q^{n-1}(q^{m}x)\right)\right)$

и мы можем разложить оба подпродукта по отдельности, используя q -биномиальную теорему. Это дает

$(1+x)(1+qx)\cdots \left(1+q^{m+n-1}x\right)=\left(\sum _{i}q^{\frac {i(i-1)}{2}}{\binom {m}{i}}_{\!\!q}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{i}q^{mi+{\frac {i(i-1)}{2}}}{\binom {n}{i}}_{\!\!q}x^{i}\right).$

Умножение этого последнего произведения и объединение подобных членов дает

$\sum _{k}\sum _{j}\left(q^{j(m-k+j)+{\frac {k(k-1)}{2}}}{\binom {m}{k-j}}_{\!\!q}{\binom {n}{j}}_{\!\!q}\right)x^{k}.$

Наконец, приравнивая степени $x$ между двумя выражениями дает желаемый результат.

Этот аргумент можно также сформулировать с точки зрения расширения продукта. $(A+B)^{m}(A+B)^{n}$ двумя разными способами, где A и B — операторы (например, пара матриц), которые « q -коммутируют», то есть удовлетворяют условиям BA = qAB .

Ссылки

• Ричард П. Стэнли (2011). Перечислительная комбинаторика, Том 1 (PDF) (2-е изд.) . Проверено 2 августа 2011 г.

• Экстон, Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения , Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд, 1983, ISBN   0853124914 , ISBN   0470274530 , ISBN   978-0470274538
• Гаурав Бхатнагар (2011). «Во славу элементарной личности Эйлера». Электронный журнал комбинаторики . 18 (2): 13. arXiv : 1102.0659 .
• Виктор Дж. В. Го (2008). «Биективные доказательства тождеств Гулда и Роте». Дискретная математика . 308 (9): 1756. arXiv : 1005.4256 . дои : 10.1016/j.disc.2007.04.020 .
• Сильви Кортель ; Карла Сэвидж (2003). «Теоремы лекционного зала, q-ряды и усеченные объекты». arXiv : math/0309108 .