Слабо голоморфная модулярная форма

В математике слабо голоморфная модулярная форма аналогична голоморфной модулярной форме, за исключением того, что ей разрешено иметь полюсы в точках сборки. Примеры включают модульные функции и модульные формы .

Определение

Для упрощения обозначений в этом разделе рассматривается случай уровня 1; расширение на более высокие уровни является простым.

Слабо голоморфная модулярная форма уровня 1 — это функция f на верхней полуплоскости со свойствами:

f преобразуется как модульная форма: $f((a\tau +b)/(c\tau +d))=(c\tau +d)^{k}f(\tau )$ для некоторого целого числа k , называемого весом , для любых элементов SL ₂ ( Z ).
В зависимости от q =e ^{2р и кв.}, f задается рядом Лорана, радиус сходимости которого равен 1 (поэтому f голоморфен в верхней полуплоскости и мероморфен в точках возврата).

Примеры

Кольцо модулярных форм уровня 1 порождается рядами Эйзенштейна E ₄ и E ₆ (которые порождают кольцо голоморфных модулярных форм) вместе с обратным 1/Δ модулярного дискриминанта .

Любую слабо голоморфную модулярную форму любого уровня можно записать как фактор двух голоморфных модулярных форм. Однако не каждый фактор двух голоморфных модулярных форм является слабо голоморфной модулярной формой, поскольку он может иметь полюсы в верхней полуплоскости.

Ссылки

Дюк, В.; Дженкинс, Пол (2008), «О нулях и коэффициентах некоторых слабо голоморфных модулярных форм», Pure Appl. Математика. Вопрос . Спецвыпуск: В честь Жана-Пьера Серра. Часть 1, 4 (4): 1327–1340, doi : 10.4310/PAMQ.2008.v4.n4.a15 , MR 2441704 , Zbl 1200.11027