Гипотеза Гротендика – Каца о p-кривизне
В математике гипотеза Гротендика -Каца о p-кривизне представляет собой локально-глобальный принцип для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений , связанный с дифференциальной теорией Галуа и в широком смысле аналогичный результату в теореме плотности Чеботарева, рассматриваемому как полиномиальный случай. Это гипотеза Александра Гротендика конца 1960-х годов, очевидно, не опубликованная им ни в какой форме.
Общий случай остается нерешенным, несмотря на недавний прогресс; это было связано с геометрическими исследованиями, включающими алгебраические слоения .
Формулировка
[ редактировать ]В простейшей формулировке гипотезу можно сформулировать в ее сути для векторной системы, записанной как
для вектора v размера n и размера n × n матрицы A алгебраических функций с коэффициентами алгебраических чисел . Вопрос состоит в том, чтобы дать критерий того, когда существует полный набор решений алгебраических функций, то есть фундаментальная матрица (т.е. n векторных решений, помещенных в блочную матрицу ). Например, классический вопрос был для гипергеометрического уравнения : когда оно имеет пару алгебраических решений с точки зрения его параметров? Ответ классически известен как список Шварца . В терминах монодромии вопрос состоит в выявлении случаев конечной группы монодромии.
Путем переформулировки и перехода к более крупной системе основной случай касается рациональных функций от A и коэффициентов рационального числа. Тогда необходимым условием является то, что для почти всех простых чисел p система, определенная редукцией по модулю p, также должна иметь полный набор алгебраических решений над конечным полем с p элементами.
Гипотеза Гротендика состоит в том, что эти необходимые условия почти для всех p должны быть достаточными. Связь с p -кривизной заключается в том, что заявленное условие mod p совпадает с высказыванием p -кривизны, образованной рекуррентной операцией над A , [1] равен нулю; иначе говоря, p -кривизна 0 для почти всех p подразумевает достаточное количество алгебраических решений исходного уравнения.
Формулировка Каца для группы Галуа
[ редактировать ]Николас Кац применил технику категорий Таннака, чтобы показать, что эта гипотеза, по сути, то же самое, что сказать, что дифференциальная группа Галуа G (или, строго говоря, алгебра Ли g алгебраической группы G , которая в данном случае является замыканием Зарисского группы монодромии ) может быть определена по модулю p информации для определенного широкого класса дифференциальных уравнений. [2]
Прогресс
[ редактировать ]Широкий класс случаев был доказан Бенсоном Фарбом и Марком Кисиным ; [3] эти уравнения относятся к локально симметричному многообразию X, подчиняющемуся некоторым теоретико-групповым условиям. Эта работа основана на предыдущих результатах Каца для уравнений Пикара-Фукса (в современном смысле связи Гаусса-Манина ), расширенных Андре в таннакском направлении. Он также применяет версию сверхжесткости , характерную для арифметических групп . Другой прогресс был достигнут за счет арифметических методов. [4]
История
[ редактировать ]Николас Кац связал некоторые случаи с теорией деформации в 1972 году в статье, где была опубликована эта гипотеза. [5] С тех пор были опубликованы переформулировки. q -аналог разностных уравнений . Предложен [6]
Отвечая на выступление Кисина об этой работе на коллоке Гротендика 2009 года, [7] Кац, исходя из своих личных знаний, кратко изложил происхождение этой гипотезы. Гротендик выдвинул это на публичное обсуждение весной 1969 года, но ничего не написал по этой теме. К этой идее его привели фундаментальные интуиции в области кристаллических когомологий , которые в то время развивал его ученик Пьер Бертло . В некотором смысле, желая приравнять понятие «нильпотентности» в теории связей к методу разделенной энергетической структуры , который стал стандартом в кристаллической теории, Гротендик выдвинул эту гипотезу как побочный продукт.
Примечания
[ редактировать ]- ^ Даниэль Бертран, Семинар Бурбаки 750, 1991-2 , раздел 5.
- ^ Кац, Николас М. (1982). «Гипотеза из арифметической теории дифференциальных уравнений» (PDF) . Бык. Соц. Математика. Франция . 110 (2): 203–239. дои : 10.24033/bsmf.1960 .
- ^ Фарб, Бенсон; Кисин, Марк (2009). «Жесткость, локально симметричные многообразия и гипотеза Гротендика – Каца» (PDF) . Уведомления об Int Math Res . 2009 (22): 4159–4167. CiteSeerX 10.1.1.158.3198 . дои : 10.1093/imrn/rnp082 .
- ^ Шамбер-Луар, Антуан (2002). «Теоремы алгебрации в диофантовой геометрии». arXiv : math/0103192 .
- ^ Кац, Николас М. (1972). «Алгебраические решения дифференциальных уравнений (p-кривизна и фильтрация Ходжа)». Изобретать. Математика. 18 (1–2): 1–118. Бибкод : 1972InMat..18....1K . дои : 10.1007/BF01389714 . S2CID 119830251 .
- ^ Ди Визио, Люсия (2002). «Арифметическая теория q -разностных уравнений». Изобретать. Математика . 150 (3): 517–578. arXiv : math/0104178 . Бибкод : 2002InMat.150..517D . дои : 10.1007/s00222-002-0241-z . S2CID 119583087 .
- ^ Видеозапись.
Ссылки
[ редактировать ]- Николас М. Кац, Жесткие локальные системы , Глава 9.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Жан-Бенуа Бост, Алгебраические слои алгебраических слоений над числовыми полями , Publications Mathématiques de L’IHÉS, Volume 93, Number 1, сентябрь 2001 г.
- Ив Андре, О гипотезе о p-кривых Гротендика-Каца и проблеме Дворка , в «Геометрических аспектах теории Дворка» (2004), редакторы Алан Адольфсон, Франческо Бальдассарри, Пьер Бертло, Николас Кац, Франсуа Лозер
- Ананд Пиллэй (2006), Дифференциальная алгебра и обобщения гипотезы Гротендика об арифметике линейных дифференциальных уравнений