Черный список

В математической теории специальных функций список Шварца или таблица Шварца — это список из 15 случаев, найденных Германом Шварцем ( 1873 , стр. 323), когда гипергеометрические функции могут быть выражены алгебраически. Точнее, это список параметров, определяющих случаи, в которых гипергеометрическое уравнение имеет конечную группу монодромии или, что то же самое, имеет два независимых решения, которые являются алгебраическими функциями . В нем перечислены 15 случаев, разделенных по классу изоморфизма группы монодромии (исключая случай циклической группы ), и впервые он был выведен Шварцем методами комплексной аналитической геометрии. Соответственно, формулировка ведется не непосредственно в терминах параметров, задающих гипергеометрическое уравнение, а в терминах величин, используемых для описания некоторых сферических треугольников .

Более широкое значение таблицы для общих дифференциальных уравнений второго порядка в комплексной плоскости было показано Феликсом Кляйном , который доказал результат о том, что случаи конечной монодромии для таких уравнений и регулярных особенностей можно объяснить заменами переменных (комплексные аналитические отображения сферы Римана в себя), приводящие уравнение к гипергеометрическому виду. На самом деле верно нечто большее: список Шварца лежит в основе всех уравнений второго порядка с регулярными особенностями на компактных римановых поверхностях , имеющих конечную монодромию, путем возврата к гипергеометрическому уравнению на сфере Римана с помощью комплексного аналитического отображения степени, вычислимой по данным уравнения. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Число	$\lambda$	$\mu$	$\nu$	область/ $\pi$	многогранник
1	1/2	1/2	п / н (≤ 1/2)	п / н	двугранный
2	1/2	1/3	1/3	1/6	Тетраэдрический
3	2/3	1/3	1/3	2/6	Тетраэдрический
4	1/2	1/3	1/4	1/12	Куб/октаэдр
5	2/3	1/4	1/4	2/12	Куб/октаэдр
6	1/2	1/3	1/5	1/30	Икосаэдр/Додекаэдр
7	2/5	1/3	1/3	2/30	Икосаэдр/Додекаэдр
8	2/3	1/5	1/5	2/30	Икосаэдр/Додекаэдр
9	1/2	2/5	1/5	3/30	Икосаэдр/Додекаэдр
10	3/5	1/3	1/5	4/30	Икосаэдр/Додекаэдр
11	2/5	2/5	2/5	6/30	Икосаэдр/Додекаэдр
12	2/3	1/3	1/5	6/30	Икосаэдр/Додекаэдр
13	4/5	1/5	1/5	6/30	Икосаэдр/Додекаэдр
14	1/2	2/5	1/3	7/30	Икосаэдр/Додекаэдр
15	3/5	2/5	1/3	10/30	Икосаэдр/Додекаэдр

Числа $\lambda ,\mu ,\nu$ являются (с точностью до перестановок, смены знака и добавления $(\ell ,m,n)\in \mathbb {Z} ^{3}$ с $\ell +m+n$ даже) различия $1-c,c-a-b,b-a$ показателей гипергеометрического дифференциального уравнения в трех особых точках $0,1,\infty$ . Они являются рациональными числами тогда и только тогда, когда $a,b$ и $c$ являются точкой, которая имеет значение в арифметических, а не геометрических подходах к теории.

Дальнейшая работа

Расширение результатов Шварца было дано Т. Кимурой, который занимался случаями, когда единичная компонента дифференциальной группы Галуа гипергеометрического уравнения является разрешимой группой . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Общий результат, связывающий дифференциальную группу Галуа G и группу монодромии Γ, утверждает, что G является замыканием Зариского группы Γ - эта теорема приписывается в книге Мацуды Мичио Куге . По общей дифференциальной теории Галуа полученная таблица Кимуры-Шварца классифицирует случаи интегрируемости уравнения с помощью алгебраических функций и квадратур .

Другой соответствующий список принадлежит К. Такеучи , который классифицировал (гиперболические) группы треугольников , которые являются арифметическими группами (85 примеров). ^{[ 5 ]}

Эмиль Пикард стремился расширить работу Шварца в комплексной геометрии с помощью обобщенной гипергеометрической функции , чтобы построить случаи уравнений, где монодромия была дискретной группой в проективной унитарной группе PU (1, n ). Пьер Делинь и Джордж Мостоу использовали его идеи для построения решеток в проективной унитарной группе. Эта работа восстанавливает в классическом случае конечность списка Такеучи и посредством характеризации построенных ими решеток, являющихся арифметическими группами, дает новые примеры неарифметических решеток в PU (1, n ). ^{[ 6 ]}

Бальдассари применил универсальность Клейна для обсуждения алгебраических решений уравнения Ламе с помощью списка Шварца. ^{[ 7 ]}

Другие гипергеометрические функции, которые можно выразить алгебраически, например функции из списка Шварца, возникают в теоретической физике в контексте $T{\overline {T}}$ деформации двумерных калибровочных теорий. ^{[ 8 ]}

См. также

Черный треугольник

Примечания

^ Современное лечение находится в Бальдассарри, Ф.; Дворк, Б. (1979). «О линейных дифференциальных уравнениях второго порядка с алгебраическими решениями». Американский журнал математики . 101 (1): 42–76. дои : 10.2307/2373938 . JSTOR 2373938 . МР 0527825 . .
^ Бальдассари, Ф. (1986–1987). «К списку Шварца для дифференциальных операторов Ламе через точки деления на эллиптических кривых» . Рабочая группа по ультраметрическому анализу . 14 : Номер презентации. 22, 17 с. ; см. стр. 5-6.
^ Кимура, Тосихуса (1969–1970). «Об уравнениях Римана, разрешимых в квадратурах» (PDF) . Функциональные возможности . 12 : 269–281. МР 0277789 .
^ Моралес-Руис, Хуан Х.; Рамис, Жан Пьер (2001). «Заметка о неинтегрируемости некоторых гамильтоновых систем с однородным потенциалом» . Методы и приложения анализа . 8 (1): 113–120. дои : 10.4310/MAA.2001.v8.n1.a5 . МР 1867496 . ; см. стр. 116 за формулировку.
^ Такеучи, Кисао (1977). «Группы арифметических треугольников» . Журнал Математического общества Японии . 29 (1): 91–106. дои : 10.2969/jmsj/02910091 . МР 0429744 .
^ Делинь, Пьер; Мостоу, Грузия (1986). «Монодромия гипергеометрических функций и нерешетчатая интегральная монодромия» (PDF) . Математические публикации ИХЭН . 63 : 5–89. дои : 10.1007/BF02831622 . S2CID 121385846 .
^ Ф. Бальдассарри, Об алгебраических решениях дифференциального уравнения Ламе , J. Дифференциальные уравнения 41 (1) (1981) 44–58. Исправление в алгебраических решениях уравнения Ламе, новое рассмотрение (PDF) , Роберт С. Майер.
^ Бреннан, Т. Дэниел; Ферко, Кристиан; Сетхи, Савдип (2020). «Неабелев аналог DBI из Т Т » . SciPost Физика . 8 (4): 052. arXiv : 1912.12389 . doi : 10.21468/SciPostPhys.8.4.052 . S2CID 209515455 .

Ссылки

Мацуда, Мичихико (1985). Лекции по алгебраическим решениям гипергеометрических дифференциальных уравнений (PDF) . Лекции по математике. Том. 15. Токио: Kinokuniya Company Ltd. MR. 1104881 .
Блэк, Х.А. (1873). «О тех случаях, когда гауссов гипергеометрический ряд представляет собой алгебраическую функцию своего четвертого элемента» . Журнал чистой и прикладной математики . 75 : 292-335. ISSN 0075-4102 .

Внешние ссылки

К нелинейному списку Шварца (PDF)

[1] Современное лечение находится в Бальдассарри, Ф.; Дворк, Б. (1979). «О линейных дифференциальных уравнениях второго порядка с алгебраическими решениями». Американский журнал математики . 101 (1): 42–76. дои : 10.2307/2373938 . JSTOR 2373938 . МР 0527825 . .

[2] Бальдассари, Ф. (1986–1987). «К списку Шварца для дифференциальных операторов Ламе через точки деления на эллиптических кривых» . Рабочая группа по ультраметрическому анализу . 14 : Номер презентации. 22, 17 с. ; см. стр. 5-6.

[3] Кимура, Тосихуса (1969–1970). «Об уравнениях Римана, разрешимых в квадратурах» (PDF) . Функциональные возможности . 12 : 269–281. МР 0277789 .

[4] Моралес-Руис, Хуан Х.; Рамис, Жан Пьер (2001). «Заметка о неинтегрируемости некоторых гамильтоновых систем с однородным потенциалом» . Методы и приложения анализа . 8 (1): 113–120. дои : 10.4310/MAA.2001.v8.n1.a5 . МР 1867496 . ; см. стр. 116 за формулировку.

[5] Такеучи, Кисао (1977). «Группы арифметических треугольников» . Журнал Математического общества Японии . 29 (1): 91–106. дои : 10.2969/jmsj/02910091 . МР 0429744 .

[6] Делинь, Пьер; Мостоу, Грузия (1986). «Монодромия гипергеометрических функций и нерешетчатая интегральная монодромия» (PDF) . Математические публикации ИХЭН . 63 : 5–89. дои : 10.1007/BF02831622 . S2CID 121385846 .

[7] Ф. Бальдассарри, Об алгебраических решениях дифференциального уравнения Ламе , J. Дифференциальные уравнения 41 (1) (1981) 44–58. Исправление в алгебраических решениях уравнения Ламе, новое рассмотрение (PDF) , Роберт С. Майер.

[8] Бреннан, Т. Дэниел; Ферко, Кристиан; Сетхи, Савдип (2020). «Неабелев аналог DBI из Т Т » . SciPost Физика . 8 (4): 052. arXiv : 1912.12389 . doi : 10.21468/SciPostPhys.8.4.052 . S2CID 209515455 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]