Модуль Галуа

В математике модуль Галуа это G -модуль , где G — группа Галуа некоторого расширения полей — . Термин «представление Галуа» часто используется, когда G -модуль является векторным пространством над полем или свободным модулем над кольцом в теории представлений , но также может использоваться как синоним G -модуля. Изучение модулей Галуа для расширений локальных или глобальных полей и их групповых когомологий — важный инструмент теории чисел .

Примеры

Для данного поля K мультипликативная группа ( K ^с) ^× сепарабельного замыкания K абсолютной является модулем Галуа для группы Галуа . Его вторая группа когомологий изоморфна группе Брауэра группы K его (по теореме Гильберта 90 первая группа когомологий равна нулю).
Если X — гладкая собственная схема над полем K , то ℓ-адические группы когомологий ее геометрического слоя являются модулями Галуа для абсолютной группы Галуа поля K .

Теория ветвления

Пусть K — значённое поле (нормирование обозначается v ), и пусть L / K — конечное расширение Галуа с группой G. Галуа Для расширения w от v до L пусть Iw _{обозначает} его группу инерции . Модуль Галуа ρ : G → Aut( V ) называется неразветвленным, если ρ( I _w ) = {1}.

Структура модуля Галуа целых алгебраических чисел

В классической алгебраической теории чисел пусть L — расширение Галуа поля K , и пусть G — соответствующая группа Галуа. Тогда кольцо O _L целых алгебраических чисел L . можно рассматривать как OK _{]-модуль и} [ G можно задаться вопросом, какова его структура Это арифметический вопрос, поскольку по теореме о нормальном базисе известно, что L является свободным K [ G ]-модулем ранга 1. Если то же самое верно для целых чисел, это эквивалентно существованию нормального целочисленного базиса. . такого α в OL _, что его элементы относительно G дают свободный базис для OL _{, т. е} над OK _{сопряженные} . Это интересный вопрос даже (возможно, особенно), когда — поле чисел рациональных Q. K

Например, если L = Q ( √ −3 ), существует ли нормальный целочисленный базис? Ответ — да, как можно увидеть, отождествив его с Q ( ζ ), где

ζ = exp(2πi

/

3 ).

Фактически, все подполя круговых полей для корней p -й степени из единицы для p простого числа имеют нормальные целые базы (над Z ), как можно вывести из теории гауссовских периодов ( теорема Гильберта – Спейзера ). С другой стороны, гауссово поле этого не делает. Это пример необходимого условия, найденного Эмми Нётер ( возможно, известного ранее? ). Здесь важно ручное разветвление . С точки зрения дискриминанта D числа L и принимая по-прежнему K = Q , никакое простое число p не должно делить D в степени p . Тогда теорема Нётер утверждает, что ручное ветвление необходимо и достаточно для того, чтобы был _OL проективным модулем над Z [ G ]. Поэтому, безусловно, необходимо, чтобы это был бесплатный модуль. Это оставляет вопрос о разрыве между свободным и проективным, для которого сейчас создана большая теория.

Классический результат, основанный на результате Дэвида Гильберта , состоит в том, что правильно разветвленное абелево числовое поле имеет нормальный целочисленный базис. В этом можно убедиться, используя теорему Кронекера-Вебера для встраивания абелева поля в круговое поле. ^[1]

Представления Галуа в теории чисел

Многие объекты, возникающие в теории чисел, естественно, являются представлениями Галуа. Например, если L — расширение Галуа числового поля K , кольцо целых чисел O _L поля L является модулем Галуа над для _OK группы Галуа поля L / K (см. теорему Гильберта – Шпейзера). Если K — локальное поле, мультипликативная группа его сепарабельного замыкания является модулем абсолютной группы Галуа поля K , и ее изучение приводит к локальной теории полей классов . Для глобальной теории полей классов объединение групп идельных классов всех конечных сепарабельных расширений K. вместо этого используется

Существуют также представления Галуа, которые возникают из вспомогательных объектов и могут быть использованы для изучения групп Галуа. Важным семейством примеров являются ℓ-адические модули Тейта абелевых многообразий .

Представления Артина

Пусть K — числовое поле. Эмиль Артин ввел класс представлений Галуа абсолютной группы Галуа G _K группы K , теперь называемых представлениями Артина . Это непрерывные конечномерные линейные представления G _K на комплексных векторных пространствах . Изучение Артином этих представлений привело его к формулировке закона взаимности Артина что сейчас называется гипотезой Артина о голоморфности Артина и гипотезе того , L -функций .

Из-за несовместимости проконечной топологии на G _K и обычной (евклидовой) топологии на комплексных векторных пространствах образ представления Артина всегда конечен.

ℓ-адические представления

Пусть ℓ — простое число . ℓ -адическое представление группы G _K — это непрерывный групповой гомоморфизм ρ : G _K → Aut( M ) , где M — либо конечномерное векторное пространство над Q _ℓ (алгебраическое замыкание ℓ-адических чисел Q _ℓ ), либо конечно порожденный Z _ℓ -модуль (где Z _ℓ — замыкание Z ℓ _в Q ℓ _целое ). Первыми возникшими примерами были ℓ-адический круговой характер и ℓ-адические модули Тейта абелевых многообразий над K . Другие примеры взяты из представлений Галуа модулярных форм и автоморфных форм, а также представлений Галуа на ℓ-адических группах когомологий алгебраических многообразий.

В отличие от представлений Артина, ℓ-адические представления могут иметь бесконечный образ. Например, образ G _Q под ℓ-адическим круговым характером равен $\mathbf {Z} _{\ell }^{\times }$ . ℓ-адические представления с конечным образом часто называют представлениями Артина. Благодаря изоморфизму Q _ℓ с C их можно отождествить с настоящими представлениями Артина.

Мод ℓ представления

Это представления над конечным полем характеристики ℓ. Они часто возникают как сокращение по модулю ℓ ℓ-адического представления.

Местные условия по представлениям

Существует множество условий на представления, заданные некоторым свойством представления, ограниченным группой разложения некоторого простого числа. Терминология этих состояний несколько хаотична: разные авторы придумывают разные названия для одного и того же состояния и используют одно и то же название в разных значениях. Некоторые из этих условий включают в себя:

Абелевы представления. Это означает, что образ группы Галуа в представлениях абелев .
Абсолютно неприводимые представления. Они остаются неприводимыми над алгебраическим замыканием поля.
Представления Барсотти–Тейта. Они подобны конечным плоским представлениям.
Кристаллические представления.
представления де Рама.
Конечные плоские представления. (Это название немного вводит в заблуждение, поскольку на самом деле они скорее бесконечны, чем конечны.) Их можно построить как проективный предел представлений группы Галуа на конечной плоской групповой схеме .
Хорошие представительства. Они связаны с представлениями эллиптических кривых с хорошей редукцией.
Представления Ходжа–Тейта.
Неприводимые представления . Они неприводимы в том смысле, что единственным подпредставлением является все пространство или ноль.
Минимально разветвленные представления.
Модульные представления. Это представления, происходящие из модульной формы , но могут также относиться к представлениям над полями положительной характеристики .
Обычные представления. Они связаны с представлениями эллиптических кривых с обычной (несуперсингулярной) редукцией. Точнее, это двумерные представления, приводимые к одномерному подпредставлению, такие, что группа инерции определенным образом действует на подмодуль и фактор. Точное состояние зависит от автора; например, он мог бы действовать тривиально на факторе и характере ε на подмодуле.
Потенциально что-то репрезентативное. Это означает, что представления, ограниченные открытой подгруппой конечного индекса, обладают некоторым указанным свойством.
Приводимые представления. Они имеют правильное ненулевое подпредставление.
Полустабильные представления. Это двумерные представления, связанные с представлениями, исходящими от полустабильных эллиптических кривых .
Укрощенные разветвленные представления. Они тривиальны на (первой) группе ветвления .
Треугольные представления.
Неразветвленные представления. Они тривиальны в группе инерции.
Дико разветвленные представления. Они нетривиальны в (первой) группе ветвления.

Представления группы Вейля

Если K — локальное или глобальное поле, теория формирований классов присоединяет к K его группу Вейля W _K , непрерывный групповой гомоморфизм φ : W _K → G _K и изоморфизм топологических групп.

r_{K}:C_{K}{\tilde {\rightarrow }}W_{K}^{\text{ab}}

где C _K представляет собой K ^× или группа идельного класса I _K / K ^× (в зависимости от того, является ли K локальным или глобальным) и W ab
K — абелианизация группы K. Вейля φ любое представление можно _GK рассматривать как представление WK _Через . Однако W _K может иметь строго больше представлений, чем G _K . Например, через r _K непрерывные комплексные характеры W _K находятся в биекции с характерами C _K . Таким образом, символ абсолютного значения на C _K дает характер W _K , образ которого бесконечен и, следовательно, не является характером G _K (поскольку все такие символы имеют конечный образ).

ℓ-адическое представление W _K определяется так же, как и для G _K . Они естественным образом возникают из геометрии: если X — гладкое проективное многообразие над K , то ℓ-адические когомологии геометрического слоя X являются ℓ-адическим представлением G _K, которое через φ индуцирует ℓ-адическое представление W _К. Если K — локальное поле вычетной характеристики p ≠ ℓ, то проще изучать так называемые представления Вейля–Делиня W _K .

Представления Вейля – Делиня

Пусть K — локальное поле. Пусть E — поле нулевой характеристики. Представление Вейля–Делиня над E группы W _K (или просто K ) — это пара ( r , N ), состоящая из

непрерывный групповой гомоморфизм r : WK _{снабженное} → Aut _E ( V ) , где V — конечномерное векторное пространство над E, дискретной топологией ,
нильпотентный ) эндоморфизм N : V → V такой, что ( w ) N r ( w r ⁻¹= || ш || N для всех w ∈ W _K . ^[2]

Эти представления совпадают с представлениями над E группы Вейля–Делиня группы K .

Если характеристика вычета K отличается от ℓ, Гротендика теорема ℓ- адической монодромии устанавливает биекцию между ℓ-адическими представлениями W _K (над Q _ℓ ) и представлениями Вейля – Делиня W _K над Q _ℓ (или, что эквивалентно, над С ). Последние имеют то приятное свойство, что непрерывность r имеет место только по отношению к дискретной топологии на V , что делает ситуацию более алгебраической по своей сути.

См. также

Примечания

^ Фрелих 1983 , с. 8
^ Здесь || ш || определяется как q v ( w )
K где q _K - размер поля вычетов K , а v ( w ) таков, что w эквивалентно - v ( w )-й степени (арифметического) Фробениуса W _K .

Ссылки

Кудла, Стивен С. (1994), «Локальная переписка Ленглендса: неархимедов случай», Мотивы, Часть 2 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 55, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 365–392, ISBN. 978-0-8218-1635-6
Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Основы математических наук , том. 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4 , МР 1737196 , Збл 0948.11001
Тейт, Джон (1979), «Основы теории чисел», Автоморфные формы, представления и L-функции, Часть 2 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 33, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 3–26, ISBN. 978-0-8218-1437-6

Дальнейшее чтение

Снэйт, Виктор П. (1994), Структура модуля Галуа , монографии Института Филдса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0264-Х , Збл 0830.11042
Фрелих, Альбрехт (1983), модульная структура Галуа целых алгебраических чисел , результаты математики и ее пограничные области. 3-я серия, том. 1, Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк-Токио: Springer-Verlag , ISBN 3-540-11920-5 , Збл 0501.12012

[F8-1] Фрелих 1983 , с. 8

[2] Здесь || ш || определяется как q v ( w )
K где q _K - размер поля вычетов K , а v ( w ) таков, что w эквивалентно - v ( w )-й степени (арифметического) Фробениуса W _K .

[1]

[2]