Вейль группа

В математике группа Вейля , введенная Вейлем ( 1951 ), представляет собой модификацию абсолютной группы Галуа локального глобального или поля , используемой в теории полей классов . такого поля F его группа Вейля обычно обозначается WF _Для . Также существуют модификации групп Галуа «конечного уровня»: если E / F — конечное расширение , то относительная группа Вейля группы E / F равна W _{E / F} = W _F / W c
E (где верхний индекс c обозначает подгруппу коммутатора ).

Более подробную информацию о группах Вейля см. ( Artin & Tate 2009 ), ( Tate 1979 ) или ( Weil 1951 ).

Формирование класса

Группа Вейля классовой формации с фундаментальными классами u _{E / F} ∈ H ²( Э / Ф , А ^Ф) — разновидность модифицированной группы Галуа, используемая в различных формулировках теории полей классов, и в частности в программе Ленглендса .

Если E / F — нормальный слой, то (относительная) группа Вейля W _{E / F} слоя E / F является расширением

1 → А ^Ф → W _{E / F} → Гал( E / F ) → 1

соответствующий (с использованием интерпретации элементов второй групповой когомологии как центральных расширений) фундаментальному классу u _{E / F} в H ²(Гал( E / F ), А ^Ф). Группа Вейля всей формации определяется как обратный предел групп Вейля всех слоев. G / F , поскольку F — подгруппа G. открытая

Отображение взаимности образования классов ( G , A ) индуцирует изоморфизм из A ^Г к абелианизации группы Вейля.

Архимедово локальное поле

Для архимедовых локальных полей группу Вейля описать легко: для C это группа C ^× ненулевых комплексных чисел, а для R это нерасщепляемое расширение группы Галуа порядка 2 группой ненулевых комплексных чисел и может быть отождествлено с подгруппой C ^× ∪ j С ^× ненулевых кватернионов.

Конечное поле

Для конечных полей группа Вейля является бесконечной циклической . Отличным генератором является автоморфизм Фробениуса . Определенные соглашения о терминологии, такие как арифметика Фробениуса , восходят к фиксации здесь генератора (как Фробениуса или его обратного).

Локальное поле

Для локального поля характеристики p > 0 группа Вейля является подгруппой абсолютной группы Галуа элементов, которые действуют как степень автоморфизма Фробениуса на постоянном поле (объединении всех конечных подполей).

Для p -адических полей группа Вейля является плотной подгруппой абсолютной группы Галуа и состоит из всех элементов, образ которых в группе Галуа поля вычетов является целой степенью автоморфизма Фробениуса.

Точнее, в этих случаях группа Вейля имеет не топологию подпространства, а более тонкую топологию. Эта топология определяется путем присвоения инерционной подгруппе ее топологии подпространства и предположения, что она является открытой подгруппой группы Вейля. (Результирующая топология является « локально бесконечной ».)

Поле функции

Для глобальных полей характеристики p > 0 (функциональных полей) группа Вейля является подгруппой абсолютной группы Галуа элементов, которые действуют как степень автоморфизма Фробениуса на постоянном поле (объединении всех конечных подполей).

Числовое поле

Для числовых полей не известна «естественная» конструкция группы Вейля без использования коциклов для построения расширения. Отображение группы Вейля в группу Галуа сюръективно, а его ядро является связной компонентой тождества группы Вейля, что весьма сложно.

Группа Вейля – Делиня

Групповая схема Вейля–Делиня (или просто группа Вейля–Делиня ) W ′ _K неархимедова локального поля K , является расширением группы Вейля W _K с помощью одномерной аддитивной групповой схемы G _a , введенной Делинем. (1973 , 8.3.6). В этом расширении группа Вейля действует на аддитивная группа по

\displaystyle wxw^{-1}=||w||x

где w действует на поле вычетов порядка q при a → a ^{|| в ||} с || ш || степень q .

Локальное соответствие Ленглендса для GL _n над K (теперь доказанное) утверждает, что существует естественная биекция между классами изоморфизма неприводимых допустимых представлений GL _n ( K ) и некоторыми n -мерными представлениями группы Вейля – Делиня K .

Группа Вейля-Делиня часто проявляется в своих репрезентациях. В таких случаях группой Вейля–Делиня иногда принимают W _K × SL (2, C ) или W _K × SU (2, R ), или от нее просто отказываются и представления Вейля–Делиня группы W _K. используют вместо. ^[1]

В архимедовом случае группа Вейля – Делиня просто определяется как группа Вейля.

См. также

Примечания

^ Рорлих 1994 г.

Ссылки

Артин, Эмиль ; Тейт, Джон (2009) [1952], Теория поля классов , AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, ISBN 978-0-8218-4426-7 , МР 0223335
Делинь, Пьер (1973), «Константы функциональных уравнений функций L», Модульные функции одной переменной, II (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, Antwerp, 1972) , Конспекты лекций по математике, вып. 349, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 501–597, номер домена : 10.1007/978-3-540-37855-6_7 , ISBN. 978-3-540-06558-6 , МР 0349635
Котвиц, Роберт (1984), «Формула стабильного следа: члены с умеренным возвратом», Duke Mathematical Journal , 51 (3): 611–650, CiteSeerX 10.1.1.463.719 , doi : 10.1215/S0012-7094-84-05129-9 , МР 0757954
Рорлих, Дэвид (1994), «Эллиптические кривые и группа Вейля – Делиня», в Кисилевском, Херши; Мурти, М. Рам (ред.), Эллиптические кривые и связанные с ними темы , CRM Proceedings and Lecture Notes, vol. 4, Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-6994-9
Тейт, Дж. (1979), «Основы теории чисел» , Автоморфные формы, представления и L-функции. Часть 2 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. XXXIII, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 3–26, ISBN. 978-0-8218-1435-2
Вейль, Андре (1951), «Sur la theorie du corps declasses (О теории полей классов)», Журнал Математического общества Японии , 3 : 1–35, doi : 10.2969/jmsj/00310001 , ISSN 0025-5645 , перепечатано в первом томе его собрания статей, ISBN 0-387-90330-5

[1] Рорлих 1994 г.

[1]