Теорема Шафаревича – Вейля

В теории алгебраических чисел теорема Шафаревича -Вейля связывает фундаментальный класс расширения Галуа локальных или глобальных полей с расширением групп Галуа . Оно было введено Шафаревичем ( 1946 ) для локальных полей и Вейлем ( 1951 ) для глобальных полей.

Заявление

Предположим, что F — глобальное поле, K — нормальное расширение F и L — абелевое K. расширение Тогда группа Галуа Gal( L / F ) является расширением группы Gal( K / F ) абелевой группой Gal( L / K ), и это расширение соответствует элементу группы когомологий H ² (Гал( К / Ф ), Гал( Л / К )). С другой стороны, теория полей классов дает фундаментальный класс в H ² (Gal( K / F ), IK ₎ отображение закона взаимности из IK _и в Gal( L / K ). Теорема Шафаревича–Вейля утверждает, что класс расширения Gal( L / F ) является образом фундаментального класса при гомоморфизме групп когомологий, индуцированном отображением закона взаимности ( Artin & Tate 2009 , стр.246).

Шафаревич сформулировал свою теорему для локальных полей в терминах тел, а не фундаментального класса ( Weil 1967 ). В этом случае, когда L является максимальным абелевым расширением K , расширение Gal( L / F ) соответствует при отображении взаимности нормализатору K в тел алгебре степени [ K : F ] над F , и теорема Шафаревича утверждает, что инвариант Хассе этого деления равен 1/[ K : F ]. Связь с предыдущей версией теоремы состоит в том, что тела алгебры соответствуют элементам второй группы когомологий (группы Брауэра), и при этом соответствии тело алгебры с инвариантом Хассе 1/[ K : F ] соответствует фундаментальному классу.

Ссылки

• Артин, Эмиль ; Тейт, Джон (2009) [1952], Теория поля классов , AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, ISBN  978-0-8218-4426-7 , МР   0223335
• Шафаревич И. Р. (1946), "О группах Галуа p-адических полей", Ч. Р. (Доклады) акад. наук. URSS , Новая серия, 53 : 15–16, MR   0018170 Перепечатано в собрании сочинений, страницы 4–5.
• Вейль, Андре (1951), «Sur la theorie du Corps de Classes», Журнал Математического общества Японии , 3 : 1–35, doi : 10.2969/jmsj/00310001 , ISSN   0025-5645 , MR   0044569 , перепечатано в томе Я из его собрания статей, ISBN   0-387-90330-5
• Вейль, Андре (1967), «Приложение III: теорема Шафаревича», Основная теория чисел. , Основные положения математических наук, вып. 144, Springer-Verlag New York, Inc., Нью-Йорк, стр. 301–307, ISBN.  3-540-58655-5 , МР   0234930